कैलकुलस उदाहरण

$\int_{0}^{2} \sin (π x) - (x^{3} - 4 x) d x$

चरण 1

एकल समाकलन को कई समाकलन में विभाजित करें.

$\int_{0}^{2} \sin (π x) d x + \int_{0}^{2} - (x^{3} - 4 x) d x$

चरण 2

मान लीजिए $u = π x$ .फिर $d u = π d x$ , तो $\frac{1}{π} d u = d x$ . $u$ और $d$ $u$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

मान लें $u = π x$ . $\frac{d u}{d x}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.1

$π x$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d x} [π x]$

चरण 2.1.2

चूंकि $π$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $π x$ का व्युत्पन्न $π \frac{d}{d x} [x]$ है.

$π \frac{d}{d x} [x]$

चरण 2.1.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$π \cdot 1$

चरण 2.1.4

$π$ को $1$ से गुणा करें.

$π$

चरण 2.2

$x$ के लिए $u = π x$ में निचली सीमा को प्रतिस्थापित करें.

$u_{lower} = π \cdot 0$

चरण 2.3

$π$ को $0$ से गुणा करें.

$u_{lower} = 0$

चरण 2.4

$x$ के लिए $u = π x$ में ऊपरी सीमा को प्रतिस्थापित करें.

$u_{upper} = π \cdot 2$

चरण 2.5

$2$ को $π$ के बाईं ओर ले जाएं.

$u_{upper} = 2 π$

चरण 2.6

$u_{lower}$ और $u_{upper}$ के लिए पाए गए मानों का उपयोग निश्चित समाकल का मूल्यांकन करने के लिए किया जाएगा.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 2 π$

चरण 2.7

$u$ , $d u$ और समाकलन की नई सीमाओं का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$\int_{0}^{2 π} \sin (u) \frac{1}{π} d u + \int_{0}^{2} - (x^{3} - 4 x) d x$

चरण 3

$\sin (u)$ और $\frac{1}{π}$ को मिलाएं.

$\int_{0}^{2 π} \frac{\sin (u)}{π} d u + \int_{0}^{2} - (x^{3} - 4 x) d x$

चरण 4

चूँकि $\frac{1}{π}$ बटे $u$ अचर है, $\frac{1}{π}$ को समाकलन से हटा दें.

$\frac{1}{π} \int_{0}^{2 π} \sin (u) d u + \int_{0}^{2} - (x^{3} - 4 x) d x$

चरण 5

$u$ के संबंध में $\sin (u)$ का इंटीग्रल $- \cos (u)$ है.

$\frac{1}{π} - \cos (u)]_{0}^{2 π} + \int_{0}^{2} - (x^{3} - 4 x) d x$

चरण 6

चूँकि $- 1$ बटे $x$ अचर है, $- 1$ को समाकलन से हटा दें.

$\frac{1}{π} - \cos (u)]_{0}^{2 π} - \int_{0}^{2} x^{3} - 4 x d x$

चरण 7

एकल समाकलन को कई समाकलन में विभाजित करें.

$\frac{1}{π} - \cos (u)]_{0}^{2 π} - (\int_{0}^{2} x^{3} d x + \int_{0}^{2} - 4 x d x)$

चरण 8

घात नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x^{3}$ का समाकलन $\frac{1}{4} x^{4}$ है.

$\frac{1}{π} - \cos (u)]_{0}^{2 π} - (\frac{1}{4} x^{4}]_{0}^{2} + \int_{0}^{2} - 4 x d x)$

चरण 9

$\frac{1}{4}$ और $x^{4}$ को मिलाएं.

$\frac{1}{π} - \cos (u)]_{0}^{2 π} - (\frac{x^{4}}{4}]_{0}^{2} + \int_{0}^{2} - 4 x d x)$

चरण 10

चूँकि $- 4$ बटे $x$ अचर है, $- 4$ को समाकलन से हटा दें.

$\frac{1}{π} - \cos (u)]_{0}^{2 π} - (\frac{x^{4}}{4}]_{0}^{2} - 4 \int_{0}^{2} x d x)$

चरण 11

घात नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x$ का समाकलन $\frac{1}{2} x^{2}$ है.

$\frac{1}{π} - \cos (u)]_{0}^{2 π} - (\frac{x^{4}}{4}]_{0}^{2} - 4 (\frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{2}))$

चरण 12

$\frac{1}{2}$ और $x^{2}$ को मिलाएं.

$\frac{1}{π} - \cos (u)]_{0}^{2 π} - (\frac{x^{4}}{4}]_{0}^{2} - 4 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{2}))$

चरण 13

प्रतिस्थापित करें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 13.1

$2 π$ पर और $0$ पर $- \cos (u)$ का मान ज्ञात करें.

$\frac{1}{π} ((- \cos (2 π)) + \cos (0)) - (\frac{x^{4}}{4}]_{0}^{2} - 4 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{2}))$

चरण 13.2

$2$ पर और $0$ पर $\frac{x^{4}}{4}$ का मान ज्ञात करें.

$\frac{1}{π} ((- \cos (2 π)) + \cos (0)) - ((\frac{2^{4}}{4}) - \frac{0^{4}}{4} - 4 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{2}))$

चरण 13.3

$2$ पर और $0$ पर $\frac{x^{2}}{2}$ का मान ज्ञात करें.

$\frac{1}{π} ((- \cos (2 π)) + \cos (0)) - (\frac{2^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4} - 4 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}))$

चरण 13.4

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 13.4.1

$2$ को $4$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{1}{π} (- \cos (2 π) + \cos (0)) - (\frac{16}{4} - \frac{0^{4}}{4} - 4 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}))$

चरण 13.4.2

$16$ और $4$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 13.4.2.1

$16$ में से $4$ का गुणनखंड करें.

$\frac{1}{π} (- \cos (2 π) + \cos (0)) - (\frac{4 \cdot 4}{4} - \frac{0^{4}}{4} - 4 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}))$

चरण 13.4.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 13.4.2.2.1

$4$ में से $4$ का गुणनखंड करें.

$\frac{1}{π} (- \cos (2 π) + \cos (0)) - (\frac{4 \cdot 4}{4 (1)} - \frac{0^{4}}{4} - 4 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}))$

चरण 13.4.2.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{1}{π} (- \cos (2 π) + \cos (0)) - (\frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 1} - \frac{0^{4}}{4} - 4 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}))$

चरण 13.4.2.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{1}{π} (- \cos (2 π) + \cos (0)) - (\frac{4}{1} - \frac{0^{4}}{4} - 4 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}))$

चरण 13.4.2.2.4

$4$ को $1$ से विभाजित करें.

$\frac{1}{π} (- \cos (2 π) + \cos (0)) - (4 - \frac{0^{4}}{4} - 4 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}))$

चरण 13.4.3

$0$ को किसी भी धनात्मक घात तक बढ़ाने से $0$ प्राप्त होता है.

$\frac{1}{π} (- \cos (2 π) + \cos (0)) - (4 - \frac{0}{4} - 4 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}))$

चरण 13.4.4

$0$ और $4$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 13.4.4.1

$0$ में से $4$ का गुणनखंड करें.

$\frac{1}{π} (- \cos (2 π) + \cos (0)) - (4 - \frac{4 (0)}{4} - 4 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}))$

चरण 13.4.4.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 13.4.4.2.1

$4$ में से $4$ का गुणनखंड करें.

$\frac{1}{π} (- \cos (2 π) + \cos (0)) - (4 - \frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1} - 4 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}))$

चरण 13.4.4.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{1}{π} (- \cos (2 π) + \cos (0)) - (4 - \frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1} - 4 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}))$

चरण 13.4.4.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{1}{π} (- \cos (2 π) + \cos (0)) - (4 - \frac{0}{1} - 4 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}))$

चरण 13.4.4.2.4

$0$ को $1$ से विभाजित करें.

$\frac{1}{π} (- \cos (2 π) + \cos (0)) - (4 - 0 - 4 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}))$

चरण 13.4.5

$- 1$ को $0$ से गुणा करें.

$\frac{1}{π} (- \cos (2 π) + \cos (0)) - (4 + 0 - 4 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}))$

चरण 13.4.6

$4$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{1}{π} (- \cos (2 π) + \cos (0)) - (4 - 4 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}))$

चरण 13.4.7

$2$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{1}{π} (- \cos (2 π) + \cos (0)) - (4 - 4 (\frac{4}{2} - \frac{0^{2}}{2}))$

चरण 13.4.8

$4$ और $2$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 13.4.8.1

$4$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\frac{1}{π} (- \cos (2 π) + \cos (0)) - (4 - 4 (\frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{0^{2}}{2}))$

चरण 13.4.8.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 13.4.8.2.1

$2$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\frac{1}{π} (- \cos (2 π) + \cos (0)) - (4 - 4 (\frac{2 \cdot 2}{2 (1)} - \frac{0^{2}}{2}))$

चरण 13.4.8.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{1}{π} (- \cos (2 π) + \cos (0)) - (4 - 4 (\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} - \frac{0^{2}}{2}))$

चरण 13.4.8.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{1}{π} (- \cos (2 π) + \cos (0)) - (4 - 4 (\frac{2}{1} - \frac{0^{2}}{2}))$

चरण 13.4.8.2.4

$2$ को $1$ से विभाजित करें.

$\frac{1}{π} (- \cos (2 π) + \cos (0)) - (4 - 4 (2 - \frac{0^{2}}{2}))$

चरण 13.4.9

$0$ को किसी भी धनात्मक घात तक बढ़ाने से $0$ प्राप्त होता है.

$\frac{1}{π} (- \cos (2 π) + \cos (0)) - (4 - 4 (2 - \frac{0}{2}))$

चरण 13.4.10

$0$ और $2$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 13.4.10.1

$0$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\frac{1}{π} (- \cos (2 π) + \cos (0)) - (4 - 4 (2 - \frac{2 (0)}{2}))$

चरण 13.4.10.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 13.4.10.2.1

$2$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\frac{1}{π} (- \cos (2 π) + \cos (0)) - (4 - 4 (2 - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}))$

चरण 13.4.10.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{1}{π} (- \cos (2 π) + \cos (0)) - (4 - 4 (2 - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}))$

चरण 13.4.10.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{1}{π} (- \cos (2 π) + \cos (0)) - (4 - 4 (2 - \frac{0}{1}))$

चरण 13.4.10.2.4

$0$ को $1$ से विभाजित करें.

$\frac{1}{π} (- \cos (2 π) + \cos (0)) - (4 - 4 (2 - 0))$

चरण 13.4.11

$- 1$ को $0$ से गुणा करें.

$\frac{1}{π} (- \cos (2 π) + \cos (0)) - (4 - 4 (2 + 0))$

चरण 13.4.12

$2$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{1}{π} (- \cos (2 π) + \cos (0)) - (4 - 4 \cdot 2)$

चरण 13.4.13

$- 4$ को $2$ से गुणा करें.

$\frac{1}{π} (- \cos (2 π) + \cos (0)) - (4 - 8)$

चरण 13.4.14

$4$ में से $8$ घटाएं.

$\frac{1}{π} (- \cos (2 π) + \cos (0)) - - 4$

चरण 13.4.15

$- 1$ को $- 4$ से गुणा करें.

$\frac{1}{π} (- \cos (2 π) + \cos (0)) + 4$

चरण 14

$\cos (0)$ का सटीक मान $1$ है.

$\frac{1}{π} (- \cos (2 π) + 1) + 4$

चरण 15

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 15.1

$2 π$ का पूरा घुमाव घटाएं जब तक कि कोण $0$ से बड़ा या उसके बराबर और $2 π$ से कम न हो जाए.

$\frac{1}{π} (- \cos (0) + 1) + 4$

चरण 15.2

$\cos (0)$ का सटीक मान $1$ है.

$\frac{1}{π} (- 1 \cdot 1 + 1) + 4$

चरण 15.3

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{1}{π} (- 1 + 1) + 4$

चरण 15.4

$- 1$ और $1$ जोड़ें.

$\frac{1}{π} \cdot 0 + 4$

चरण 15.5

$\frac{1}{π}$ को $0$ से गुणा करें.

$0 + 4$

चरण 15.6

$0$ और $4$ जोड़ें.

$4$