कैलकुलस उदाहरण

$\int_{0}^{1} z e^{- z} d z$

चरण 1

$\int u d v = u v - \int v d u$ , जहां $u = z$ और $d v = e^{- z}$ सूत्र का उपयोग करके भागों द्वारा एकीकृत करें.

$z (- e^{- z})]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} - e^{- z} d z$

चरण 2

चूँकि $- 1$ बटे $z$ अचर है, $- 1$ को समाकलन से हटा दें.

$z (- e^{- z})]_{0}^{1} - - \int_{0}^{1} e^{- z} d z$

चरण 3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

$- 1$ को $- 1$ से गुणा करें.

$z (- e^{- z})]_{0}^{1} + 1 \int_{0}^{1} e^{- z} d z$

चरण 3.2

$\int_{0}^{1} e^{- z} d z$ को $1$ से गुणा करें.

$z (- e^{- z})]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} e^{- z} d z$

चरण 4

मान लीजिए $u = - z$ .फिर $d u = - d z$ , तो $- d u = d z$ . $u$ और $d$ $u$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

मान लें $u = - z$ . $\frac{d u}{d z}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.1

$- z$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d z} [- z]$

चरण 4.1.2

चूंकि $- 1$ , $z$ के संबंध में स्थिर है, $z$ के संबंध में $- z$ का व्युत्पन्न $- \frac{d}{d z} [z]$ है.

$- \frac{d}{d z} [z]$

चरण 4.1.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d z} [z^{n}]$ $n z^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$- 1 \cdot 1$

चरण 4.1.4

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$- 1$

चरण 4.2

$z$ के लिए $u = - z$ में निचली सीमा को प्रतिस्थापित करें.

$u_{lower} = - 0$

चरण 4.3

$- 1$ को $0$ से गुणा करें.

$u_{lower} = 0$

चरण 4.4

$z$ के लिए $u = - z$ में ऊपरी सीमा को प्रतिस्थापित करें.

$u_{upper} = - 1 \cdot 1$

चरण 4.5

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$u_{upper} = - 1$

चरण 4.6

$u_{lower}$ और $u_{upper}$ के लिए पाए गए मानों का उपयोग निश्चित समाकल का मूल्यांकन करने के लिए किया जाएगा.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = - 1$

चरण 4.7

$u$ , $d u$ और समाकलन की नई सीमाओं का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$z (- e^{- z})]_{0}^{1} + \int_{0}^{- 1} - e^{u} d u$

चरण 5

चूँकि $- 1$ बटे $u$ अचर है, $- 1$ को समाकलन से हटा दें.

$z (- e^{- z})]_{0}^{1} - \int_{0}^{- 1} e^{u} d u$

चरण 6

$u$ के संबंध में $e^{u}$ का इंटीग्रल $e^{u}$ है.

$z (- e^{- z})]_{0}^{1} - (e^{u}]_{0}^{- 1})$

चरण 7

प्रतिस्थापित करें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1

$1$ पर और $0$ पर $z (- e^{- z})$ का मान ज्ञात करें.

$(1 (- e^{- 1 \cdot 1})) + 0 (- e^{- 0}) - (e^{u}]_{0}^{- 1})$

चरण 7.2

$- 1$ पर और $0$ पर $e^{u}$ का मान ज्ञात करें.

$(1 (- e^{- 1 \cdot 1})) + 0 (- e^{- 0}) - ((e^{- 1}) - e^{0})$

चरण 7.3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.3.1

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$1 (- e^{- 1}) + 0 (- e^{- 0}) - ((e^{- 1}) - e^{0})$

चरण 7.3.2

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$- e^{- 1} + 0 (- e^{- 0}) - ((e^{- 1}) - e^{0})$

चरण 7.3.3

$- 1$ को $0$ से गुणा करें.

$- e^{- 1} + 0 (- e^{0}) - ((e^{- 1}) - e^{0})$

चरण 7.3.4

$0$ तक बढ़ाई गई कोई भी चीज़ $1$ होती है.

$- e^{- 1} + 0 (- 1 \cdot 1) - ((e^{- 1}) - e^{0})$

चरण 7.3.5

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$- e^{- 1} + 0 \cdot - 1 - ((e^{- 1}) - e^{0})$

चरण 7.3.6

$0$ को $- 1$ से गुणा करें.

$- e^{- 1} + 0 - ((e^{- 1}) - e^{0})$

चरण 7.3.7

$- e^{- 1}$ और $0$ जोड़ें.

$- e^{- 1} - ((e^{- 1}) - e^{0})$

चरण 7.3.8

$0$ तक बढ़ाई गई कोई भी चीज़ $1$ होती है.

$- e^{- 1} - (e^{- 1} - 1 \cdot 1)$

चरण 7.3.9

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$- e^{- 1} - (e^{- 1} - 1)$

चरण 8

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1.1

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का प्रयोग करके व्यंजक को फिर से लिखें.

$- \frac{1}{e} - (e^{- 1} - 1)$

चरण 8.1.2

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का प्रयोग करके व्यंजक को फिर से लिखें.

$- \frac{1}{e} - (\frac{1}{e} - 1)$

चरण 8.1.3

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$- \frac{1}{e} - \frac{1}{e} - - 1$

चरण 8.1.4

$- 1$ को $- 1$ से गुणा करें.

$- \frac{1}{e} - \frac{1}{e} + 1$

चरण 8.2

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$1 + \frac{- 1 - 1}{e}$

चरण 8.3

$- 1$ में से $1$ घटाएं.

$1 + \frac{- 2}{e}$

चरण 8.4

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$1 - \frac{2}{e}$

चरण 9

परिणाम कई रूपों में दिखाया जा सकता है.

सटीक रूप:

$1 - \frac{2}{e}$

दशमलव रूप:

$0.26424111 \dots$

चरण 10