कैलकुलस उदाहरण

$\int_{0}^{1} 4 \cos (\frac{π t}{2}) d t$

चरण 1

चूँकि $4$ बटे $t$ अचर है, $4$ को समाकलन से हटा दें.

$4 \int_{0}^{1} \cos (\frac{π t}{2}) d t$

चरण 2

मान लीजिए $u = \frac{π t}{2}$ .फिर $d u = \frac{π}{2} d t$ , तो $\frac{2}{π} d u = d t$ . $u$ और $d$ $u$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

मान लें $u = \frac{π t}{2}$ . $\frac{d u}{d t}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.1

$\frac{π t}{2}$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d t} [\frac{π t}{2}]$

चरण 2.1.2

चूंकि $\frac{π}{2}$ , $t$ के संबंध में स्थिर है, $t$ के संबंध में $\frac{π t}{2}$ का व्युत्पन्न $\frac{π}{2} \frac{d}{d t} [t]$ है.

$\frac{π}{2} \frac{d}{d t} [t]$

चरण 2.1.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ $n t^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$\frac{π}{2} \cdot 1$

चरण 2.1.4

$\frac{π}{2}$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{π}{2}$

चरण 2.2

$t$ के लिए $u = \frac{π t}{2}$ में निचली सीमा को प्रतिस्थापित करें.

$u_{lower} = \frac{π \cdot 0}{2}$

चरण 2.3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1

$0$ और $2$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1.1

$π \cdot 0$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$u_{lower} = \frac{2 (π \cdot 0)}{2}$

चरण 2.3.1.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1.2.1

$2$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$u_{lower} = \frac{2 (π \cdot 0)}{2 (1)}$

चरण 2.3.1.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$u_{lower} = \frac{2 (π \cdot 0)}{2 \cdot 1}$

चरण 2.3.1.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$u_{lower} = \frac{π \cdot 0}{1}$

चरण 2.3.1.2.4

$π \cdot 0$ को $1$ से विभाजित करें.

$u_{lower} = π \cdot 0$

चरण 2.3.2

$π$ को $0$ से गुणा करें.

$u_{lower} = 0$

चरण 2.4

$t$ के लिए $u = \frac{π t}{2}$ में ऊपरी सीमा को प्रतिस्थापित करें.

$u_{upper} = \frac{π \cdot 1}{2}$

चरण 2.5

$π$ को $1$ से गुणा करें.

$u_{upper} = \frac{π}{2}$

चरण 2.6

$u_{lower}$ और $u_{upper}$ के लिए पाए गए मानों का उपयोग निश्चित समाकल का मूल्यांकन करने के लिए किया जाएगा.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = \frac{π}{2}$

चरण 2.7

$u$ , $d u$ और समाकलन की नई सीमाओं का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$4 \int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos (u) \frac{1}{\frac{π}{2}} d u$

चरण 3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

$\frac{π}{2}$ से भाग देने के लिए भिन्न के प्रतिलोम से गुणा करें.

$4 \int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos (u) (1 \frac{2}{π}) d u$

चरण 3.2

$\frac{2}{π}$ को $1$ से गुणा करें.

$4 \int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos (u) \frac{2}{π} d u$

चरण 3.3

$\cos (u)$ और $\frac{2}{π}$ को मिलाएं.

$4 \int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{\cos (u) \cdot 2}{π} d u$

चरण 3.4

$2$ को $\cos (u)$ के बाईं ओर ले जाएं.

$4 \int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{2 \cos (u)}{π} d u$

चरण 4

चूँकि $\frac{2}{π}$ बटे $u$ अचर है, $\frac{2}{π}$ को समाकलन से हटा दें.

$4 (\frac{2}{π} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos (u) d u)$

चरण 5

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

$\frac{2}{π}$ और $4$ को मिलाएं.

$\frac{2 \cdot 4}{π} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos (u) d u$

चरण 5.2

$2$ को $4$ से गुणा करें.

$\frac{8}{π} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos (u) d u$

चरण 6

$u$ के संबंध में $\cos (u)$ का इंटीग्रल $\sin (u)$ है.

$\frac{8}{π} \sin (u)]_{0}^{\frac{π}{2}}$

चरण 7

$\frac{π}{2}$ पर और $0$ पर $\sin (u)$ का मान ज्ञात करें.

$\frac{8}{π} (\sin (\frac{π}{2}) - \sin (0))$

चरण 8

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1

$\sin (\frac{π}{2})$ का सटीक मान $1$ है.

$\frac{8}{π} (1 - \sin (0))$

चरण 8.2

$\sin (0)$ का सटीक मान $0$ है.

$\frac{8}{π} (1 - 0)$

चरण 8.3

$- 1$ को $0$ से गुणा करें.

$\frac{8}{π} (1 + 0)$

चरण 8.4

$1$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{8}{π} \cdot 1$

चरण 8.5

$\frac{8}{π}$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{8}{π}$

चरण 9

परिणाम कई रूपों में दिखाया जा सकता है.

सटीक रूप:

$\frac{8}{π}$

दशमलव रूप:

$2.54647908 \dots$