कैलकुलस उदाहरण

$\int_{0}^{8} x e^{1 - x} d x$

चरण 1

$\int u d v = u v - \int v d u$ , जहां $u = x$ और $d v = e^{1 - x}$ सूत्र का उपयोग करके भागों द्वारा एकीकृत करें.

$x (- e^{1 - x})]_{0}^{8} - \int_{0}^{8} - e^{1 - x} d x$

चरण 2

चूँकि $- 1$ बटे $x$ अचर है, $- 1$ को समाकलन से हटा दें.

$x (- e^{1 - x})]_{0}^{8} - - \int_{0}^{8} e^{1 - x} d x$

चरण 3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

$- 1$ को $- 1$ से गुणा करें.

$x (- e^{1 - x})]_{0}^{8} + 1 \int_{0}^{8} e^{1 - x} d x$

चरण 3.2

$\int_{0}^{8} e^{1 - x} d x$ को $1$ से गुणा करें.

$x (- e^{1 - x})]_{0}^{8} + \int_{0}^{8} e^{1 - x} d x$

चरण 4

मान लीजिए $u = 1 - x$ .फिर $d u = - d x$ , तो $- d u = d x$ . $u$ और $d$ $u$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

मान लें $u = 1 - x$ . $\frac{d u}{d x}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.1

$1 - x$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d x} [1 - x]$

चरण 4.1.2

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.2.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $1 - x$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]$ है.

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]$

चरण 4.1.2.2

चूंकि $x$ के संबंध में $1$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$0 + \frac{d}{d x} [- x]$

चरण 4.1.3

$\frac{d}{d x} [- x]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.3.1

चूंकि $- 1$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- x$ का व्युत्पन्न $- \frac{d}{d x} [x]$ है.

$0 - \frac{d}{d x} [x]$

चरण 4.1.3.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$0 - 1 \cdot 1$

चरण 4.1.3.3

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$0 - 1$

चरण 4.1.4

$0$ में से $1$ घटाएं.

$- 1$

चरण 4.2

$x$ के लिए $u = 1 - x$ में निचली सीमा को प्रतिस्थापित करें.

$u_{lower} = 1 - 0$

चरण 4.3

$1$ में से $0$ घटाएं.

$u_{lower} = 1$

चरण 4.4

$x$ के लिए $u = 1 - x$ में ऊपरी सीमा को प्रतिस्थापित करें.

$u_{upper} = 1 - 1 \cdot 8$

चरण 4.5

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.5.1

$- 1$ को $8$ से गुणा करें.

$u_{upper} = 1 - 8$

चरण 4.5.2

$1$ में से $8$ घटाएं.

$u_{upper} = - 7$

चरण 4.6

$u_{lower}$ और $u_{upper}$ के लिए पाए गए मानों का उपयोग निश्चित समाकल का मूल्यांकन करने के लिए किया जाएगा.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = - 7$

चरण 4.7

$u$ , $d u$ और समाकलन की नई सीमाओं का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$x (- e^{1 - x})]_{0}^{8} + \int_{1}^{- 7} - e^{u} d u$

चरण 5

चूँकि $- 1$ बटे $u$ अचर है, $- 1$ को समाकलन से हटा दें.

$x (- e^{1 - x})]_{0}^{8} - \int_{1}^{- 7} e^{u} d u$

चरण 6

$u$ के संबंध में $e^{u}$ का इंटीग्रल $e^{u}$ है.

$x (- e^{1 - x})]_{0}^{8} - (e^{u}]_{1}^{- 7})$

चरण 7

प्रतिस्थापित करें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1

$8$ पर और $0$ पर $x (- e^{1 - x})$ का मान ज्ञात करें.

$(8 (- e^{1 - 1 \cdot 8})) + 0 (- e^{1 - 0}) - (e^{u}]_{1}^{- 7})$

चरण 7.2

$- 7$ पर और $1$ पर $e^{u}$ का मान ज्ञात करें.

$(8 (- e^{1 - 1 \cdot 8})) + 0 (- e^{1 - 0}) - ((e^{- 7}) - e^{1})$

चरण 7.3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.3.1

$- 1$ को $8$ से गुणा करें.

$8 (- e^{1 - 8}) + 0 (- e^{1 - 0}) - ((e^{- 7}) - e^{1})$

चरण 7.3.2

$1$ में से $8$ घटाएं.

$8 (- e^{- 7}) + 0 (- e^{1 - 0}) - ((e^{- 7}) - e^{1})$

चरण 7.3.3

$- 1$ को $8$ से गुणा करें.

$- 8 e^{- 7} + 0 (- e^{1 - 0}) - ((e^{- 7}) - e^{1})$

चरण 7.3.4

$- 1$ को $0$ से गुणा करें.

$- 8 e^{- 7} + 0 (- e^{1 + 0}) - ((e^{- 7}) - e^{1})$

चरण 7.3.5

$1$ और $0$ जोड़ें.

$- 8 e^{- 7} + 0 (- e^{1}) - ((e^{- 7}) - e^{1})$

चरण 7.3.6

सरल करें.

$- 8 e^{- 7} + 0 (- e) - ((e^{- 7}) - e^{1})$

चरण 7.3.7

$- 1$ को $0$ से गुणा करें.

$- 8 e^{- 7} + 0 e - ((e^{- 7}) - e^{1})$

चरण 7.3.8

$0$ को $e$ से गुणा करें.

$- 8 e^{- 7} + 0 - ((e^{- 7}) - e^{1})$

चरण 7.3.9

$- 8 e^{- 7}$ और $0$ जोड़ें.

$- 8 e^{- 7} - ((e^{- 7}) - e^{1})$

चरण 7.3.10

सरल करें.

$- 8 e^{- 7} - (e^{- 7} - e)$

चरण 8

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का प्रयोग करके व्यंजक को फिर से लिखें.

$- 8 \frac{1}{e^{7}} - (e^{- 7} - e)$

चरण 8.2

$- 8$ और $\frac{1}{e^{7}}$ को मिलाएं.

$\frac{- 8}{e^{7}} - (e^{- 7} - e)$

चरण 8.3

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$- \frac{8}{e^{7}} - (e^{- 7} - e)$

चरण 8.4

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$- \frac{8}{e^{7}} - e^{- 7} - - e$

चरण 8.5

$- - e$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.5.1

$- 1$ को $- 1$ से गुणा करें.

$- \frac{8}{e^{7}} - e^{- 7} + 1 e$

चरण 8.5.2

$e$ को $1$ से गुणा करें.

$- \frac{8}{e^{7}} - e^{- 7} + e$

चरण 9

परिणाम कई रूपों में दिखाया जा सकता है.

सटीक रूप:

$- \frac{8}{e^{7}} - e^{- 7} + e$

दशमलव रूप:

$2.71007489 \dots$

चरण 10