कैलकुलस उदाहरण

$\int_{0}^{π} {(1 + \sin (x))}^{2} d x$

चरण 1

${(1 + \sin (x))}^{2}$ का प्रसार करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

${(1 + \sin (x))}^{2}$ को $(1 + \sin (x)) (1 + \sin (x))$ के रूप में फिर से लिखें.

$\int_{0}^{π} (1 + \sin (x)) (1 + \sin (x)) d x$

चरण 1.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\int_{0}^{π} 1 (1 + \sin (x)) + \sin (x) (1 + \sin (x)) d x$

चरण 1.3

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\int_{0}^{π} 1 \cdot 1 + 1 \sin (x) + \sin (x) (1 + \sin (x)) d x$

चरण 1.4

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\int_{0}^{π} 1 \cdot 1 + 1 \sin (x) + \sin (x) \cdot 1 + \sin (x) \sin (x) d x$

चरण 1.5

$\sin (x)$ और $1$ को पुन: क्रमित करें.

$\int_{0}^{π} 1 \cdot 1 + 1 \sin (x) + 1 \cdot \sin (x) + \sin (x) \sin (x) d x$

चरण 1.6

$1$ को $1$ से गुणा करें.

$\int_{0}^{π} 1 + 1 \sin (x) + 1 \sin (x) + \sin (x) \sin (x) d x$

चरण 1.7

$\sin (x)$ को $1$ से गुणा करें.

$\int_{0}^{π} 1 + \sin (x) + 1 \sin (x) + \sin (x) \sin (x) d x$

चरण 1.8

$\sin (x)$ को $1$ से गुणा करें.

$\int_{0}^{π} 1 + \sin (x) + \sin (x) + \sin (x) \sin (x) d x$

चरण 1.9

$\sin (x)$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\int_{0}^{π} 1 + \sin (x) + \sin (x) + \sin^{1} (x) \sin (x) d x$

चरण 1.10

$\sin (x)$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\int_{0}^{π} 1 + \sin (x) + \sin (x) + \sin^{1} (x) \sin^{1} (x) d x$

चरण 1.11

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$\int_{0}^{π} 1 + \sin (x) + \sin (x) + {\sin (x)}^{1 + 1} d x$

चरण 1.12

$1$ और $1$ जोड़ें.

$\int_{0}^{π} 1 + \sin (x) + \sin (x) + \sin^{2} (x) d x$

चरण 1.13

$\sin (x)$ और $\sin (x)$ जोड़ें.

$\int_{0}^{π} 1 + 2 \sin (x) + \sin^{2} (x) d x$

चरण 2

एकल समाकलन को कई समाकलन में विभाजित करें.

$\int_{0}^{π} d x + \int_{0}^{π} 2 \sin (x) d x + \int_{0}^{π} \sin^{2} (x) d x$

चरण 3

स्थिरांक नियम लागू करें.

$x]_{0}^{π} + \int_{0}^{π} 2 \sin (x) d x + \int_{0}^{π} \sin^{2} (x) d x$

चरण 4

चूँकि $2$ बटे $x$ अचर है, $2$ को समाकलन से हटा दें.

$x]_{0}^{π} + 2 \int_{0}^{π} \sin (x) d x + \int_{0}^{π} \sin^{2} (x) d x$

चरण 5

$x$ के संबंध में $\sin (x)$ का इंटीग्रल $- \cos (x)$ है.

$x]_{0}^{π} + 2 (- \cos (x)]_{0}^{π}) + \int_{0}^{π} \sin^{2} (x) d x$

चरण 6

$\sin^{2} (x)$ को $\frac{1 - \cos (2 x)}{2}$ के रूप में फिर से लिखने के लिए अर्ध-कोण सूत्र का प्रयोग करें.

$x]_{0}^{π} + 2 (- \cos (x)]_{0}^{π}) + \int_{0}^{π} \frac{1 - \cos (2 x)}{2} d x$

चरण 7

चूँकि $\frac{1}{2}$ बटे $x$ अचर है, $\frac{1}{2}$ को समाकलन से हटा दें.

$x]_{0}^{π} + 2 (- \cos (x)]_{0}^{π}) + \frac{1}{2} \int_{0}^{π} 1 - \cos (2 x) d x$

चरण 8

एकल समाकलन को कई समाकलन में विभाजित करें.

$x]_{0}^{π} + 2 (- \cos (x)]_{0}^{π}) + \frac{1}{2} (\int_{0}^{π} d x + \int_{0}^{π} - \cos (2 x) d x)$

चरण 9

स्थिरांक नियम लागू करें.

$x]_{0}^{π} + 2 (- \cos (x)]_{0}^{π}) + \frac{1}{2} (x]_{0}^{π} + \int_{0}^{π} - \cos (2 x) d x)$

चरण 10

चूँकि $- 1$ बटे $x$ अचर है, $- 1$ को समाकलन से हटा दें.

$x]_{0}^{π} + 2 (- \cos (x)]_{0}^{π}) + \frac{1}{2} (x]_{0}^{π} - \int_{0}^{π} \cos (2 x) d x)$

चरण 11

मान लीजिए $u = 2 x$ .फिर $d u = 2 d x$ , तो $\frac{1}{2} d u = d x$ . $u$ और $d$ $u$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.1

मान लें $u = 2 x$ . $\frac{d u}{d x}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.1.1

$2 x$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d x} [2 x]$

चरण 11.1.2

चूंकि $2$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $2 x$ का व्युत्पन्न $2 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$2 \frac{d}{d x} [x]$

चरण 11.1.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$2 \cdot 1$

चरण 11.1.4

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$2$

चरण 11.2

$x$ के लिए $u = 2 x$ में निचली सीमा को प्रतिस्थापित करें.

$u_{lower} = 2 \cdot 0$

चरण 11.3

$2$ को $0$ से गुणा करें.

$u_{lower} = 0$

चरण 11.4

$x$ के लिए $u = 2 x$ में ऊपरी सीमा को प्रतिस्थापित करें.

$u_{upper} = 2 π$

चरण 11.5

$u_{lower}$ और $u_{upper}$ के लिए पाए गए मानों का उपयोग निश्चित समाकल का मूल्यांकन करने के लिए किया जाएगा.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 2 π$

चरण 11.6

$u$ , $d u$ और समाकलन की नई सीमाओं का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$x]_{0}^{π} + 2 (- \cos (x)]_{0}^{π}) + \frac{1}{2} (x]_{0}^{π} - \int_{0}^{2 π} \cos (u) \frac{1}{2} d u)$

चरण 12

$\cos (u)$ और $\frac{1}{2}$ को मिलाएं.

$x]_{0}^{π} + 2 (- \cos (x)]_{0}^{π}) + \frac{1}{2} (x]_{0}^{π} - \int_{0}^{2 π} \frac{\cos (u)}{2} d u)$

चरण 13

चूँकि $\frac{1}{2}$ बटे $u$ अचर है, $\frac{1}{2}$ को समाकलन से हटा दें.

$x]_{0}^{π} + 2 (- \cos (x)]_{0}^{π}) + \frac{1}{2} (x]_{0}^{π} - (\frac{1}{2} \int_{0}^{2 π} \cos (u) d u))$

चरण 14

$u$ के संबंध में $\cos (u)$ का इंटीग्रल $\sin (u)$ है.

$x]_{0}^{π} + 2 (- \cos (x)]_{0}^{π}) + \frac{1}{2} (x]_{0}^{π} - \frac{1}{2} \sin (u)]_{0}^{2 π})$

चरण 15

प्रतिस्थापित करें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 15.1

$π$ पर और $0$ पर $x$ का मान ज्ञात करें.

$(π) + 0 + 2 (- \cos (x)]_{0}^{π}) + \frac{1}{2} (x]_{0}^{π} - \frac{1}{2} \sin (u)]_{0}^{2 π})$

चरण 15.2

$π$ पर और $0$ पर $- \cos (x)$ का मान ज्ञात करें.

$π + 0 + 2 (- \cos (π) + \cos (0)) + \frac{1}{2} (x]_{0}^{π} - \frac{1}{2} \sin (u)]_{0}^{2 π})$

चरण 15.3

$π$ पर और $0$ पर $x$ का मान ज्ञात करें.

$π + 0 + 2 (- \cos (π) + \cos (0)) + \frac{1}{2} ((π) + 0 - \frac{1}{2} \sin (u)]_{0}^{2 π})$

चरण 15.4

$2 π$ पर और $0$ पर $\sin (u)$ का मान ज्ञात करें.

$π + 0 + 2 (- \cos (π) + \cos (0)) + \frac{1}{2} ((π) + 0 - \frac{1}{2} ((\sin (2 π)) - \sin (0)))$

चरण 15.5

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 15.5.1

$π$ और $0$ जोड़ें.

$π + 2 (- \cos (π) + \cos (0)) + \frac{1}{2} ((π) + 0 - \frac{1}{2} ((\sin (2 π)) - \sin (0)))$

चरण 15.5.2

$π$ और $0$ जोड़ें.

$π + 2 (- \cos (π) + \cos (0)) + \frac{1}{2} (π - \frac{1}{2} (\sin (2 π) - \sin (0)))$

चरण 16

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 16.1

$\cos (0)$ का सटीक मान $1$ है.

$π + 2 (- \cos (π) + 1) + \frac{1}{2} (π - \frac{1}{2} (\sin (2 π) - \sin (0)))$

चरण 16.2

$\sin (0)$ का सटीक मान $0$ है.

$π + 2 (- \cos (π) + 1) + \frac{1}{2} (π - \frac{1}{2} (\sin (2 π) - 0))$

चरण 16.3

$- 1$ को $0$ से गुणा करें.

$π + 2 (- \cos (π) + 1) + \frac{1}{2} (π - \frac{1}{2} (\sin (2 π) + 0))$

चरण 16.4

$\sin (2 π)$ और $0$ जोड़ें.

$π + 2 (- \cos (π) + 1) + \frac{1}{2} (π - \frac{1}{2} \sin (2 π))$

चरण 16.5

$\sin (2 π)$ और $\frac{1}{2}$ को मिलाएं.

$π + 2 (- \cos (π) + 1) + \frac{1}{2} (π - \frac{\sin (2 π)}{2})$

चरण 17

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 17.1

पहले चतुर्थांश में तुल्य त्रिभुज मानों वाला कोण ज्ञात करके संदर्भ कोण लागू करें. व्यंजक को ऋणात्मक बनाएंं क्योंकि दूसरे चतुर्थांश में कोज्या ऋणात्मक है.

$π + 2 (- - \cos (0) + 1) + \frac{1}{2} (π - \frac{\sin (2 π)}{2})$

चरण 17.2

$\cos (0)$ का सटीक मान $1$ है.

$π + 2 (- (- 1 \cdot 1) + 1) + \frac{1}{2} (π - \frac{\sin (2 π)}{2})$

चरण 17.3

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$π + 2 (- - 1 + 1) + \frac{1}{2} (π - \frac{\sin (2 π)}{2})$

चरण 17.4

$- 1$ को $- 1$ से गुणा करें.

$π + 2 (1 + 1) + \frac{1}{2} (π - \frac{\sin (2 π)}{2})$

चरण 17.5

$1$ और $1$ जोड़ें.

$π + 2 \cdot 2 + \frac{1}{2} (π - \frac{\sin (2 π)}{2})$

चरण 17.6

$2$ को $2$ से गुणा करें.

$π + 4 + \frac{1}{2} (π - \frac{\sin (2 π)}{2})$

चरण 17.7

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 17.7.1

$2 π$ का पूरा घुमाव घटाएं जब तक कि कोण $0$ से बड़ा या उसके बराबर और $2 π$ से कम न हो जाए.

$π + 4 + \frac{1}{2} (π - \frac{\sin (0)}{2})$

चरण 17.7.2

$\sin (0)$ का सटीक मान $0$ है.

$π + 4 + \frac{1}{2} (π - \frac{0}{2})$

चरण 17.8

$0$ को $2$ से विभाजित करें.

$π + 4 + \frac{1}{2} (π - 0)$

चरण 17.9

$- 1$ को $0$ से गुणा करें.

$π + 4 + \frac{1}{2} (π + 0)$

चरण 17.10

$π$ और $0$ जोड़ें.

$π + 4 + \frac{1}{2} π$

चरण 17.11

$\frac{1}{2}$ और $π$ को मिलाएं.

$π + 4 + \frac{π}{2}$

चरण 17.12

$π$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{2}{2}$ से गुणा करें.

$π \cdot \frac{2}{2} + \frac{π}{2} + 4$

चरण 17.13

$π$ और $\frac{2}{2}$ को मिलाएं.

$\frac{π \cdot 2}{2} + \frac{π}{2} + 4$

चरण 17.14

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{π \cdot 2 + π}{2} + 4$

चरण 17.15

$π \cdot 2$ और $π$ जोड़ें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 17.15.1

$π$ और $2$ को पुन: क्रमित करें.

$\frac{2 \cdot π + π}{2} + 4$

चरण 17.15.2

$2 \cdot π$ और $π$ जोड़ें.

$\frac{3 \cdot π}{2} + 4$

$\frac{3 π}{2} + 4$

चरण 18

परिणाम कई रूपों में दिखाया जा सकता है.

सटीक रूप:

$\frac{3 π}{2} + 4$

दशमलव रूप:

$8.71238898 \dots$