कैलकुलस उदाहरण

$\int_{0}^{4} \sqrt{25 - y^{2}} d y$

चरण 1

मान लीजिए $y = 5 \sin (t)$ , जहां $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . फिर $d y = 5 \cos (t) d t$ . ध्यान दें कि $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ से, $5 \cos (t)$ सकारात्मक है.

$\int_{0}^{0.92729521} \sqrt{25 - {(5 \sin (t))}^{2}} (5 \cos (t)) d t$

चरण 2

पदों को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

$\sqrt{25 - {(5 \sin (t))}^{2}}$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.1.1

उत्पाद नियम को $5 \sin (t)$ पर लागू करें.

$\int_{0}^{0.92729521} \sqrt{25 - (5^{2} \sin^{2} (t))} (5 \cos (t)) d t$

चरण 2.1.1.2

$5$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$\int_{0}^{0.92729521} \sqrt{25 - (25 \sin^{2} (t))} (5 \cos (t)) d t$

चरण 2.1.1.3

$25$ को $- 1$ से गुणा करें.

$\int_{0}^{0.92729521} \sqrt{25 - 25 \sin^{2} (t)} (5 \cos (t)) d t$

चरण 2.1.2

$25$ में से $25$ का गुणनखंड करें.

$\int_{0}^{0.92729521} \sqrt{25 (1) - 25 \sin^{2} (t)} (5 \cos (t)) d t$

चरण 2.1.3

$- 25 \sin^{2} (t)$ में से $25$ का गुणनखंड करें.

$\int_{0}^{0.92729521} \sqrt{25 (1) + 25 (- \sin^{2} (t))} (5 \cos (t)) d t$

चरण 2.1.4

$25 (1) + 25 (- \sin^{2} (t))$ में से $25$ का गुणनखंड करें.

$\int_{0}^{0.92729521} \sqrt{25 (1 - \sin^{2} (t))} (5 \cos (t)) d t$

चरण 2.1.5

पाइथागोरस सर्वसमिका लागू करें.

$\int_{0}^{0.92729521} \sqrt{25 \cos^{2} (t)} (5 \cos (t)) d t$

चरण 2.1.6

$25 \cos^{2} (t)$ को ${(5 \cos (t))}^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$\int_{0}^{0.92729521} \sqrt{{(5 \cos (t))}^{2}} (5 \cos (t)) d t$

चरण 2.1.7

धनात्मक वास्तविक संख्या मानकर, करणी के अंतर्गत पदों को बाहर निकालें.

$\int_{0}^{0.92729521} 5 \cos (t) (5 \cos (t)) d t$

चरण 2.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1

$5$ को $5$ से गुणा करें.

$\int_{0}^{0.92729521} 25 \cos (t) \cos (t) d t$

चरण 2.2.2

$\cos (t)$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\int_{0}^{0.92729521} 25 (\cos^{1} (t) \cos (t)) d t$

चरण 2.2.3

$\cos (t)$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\int_{0}^{0.92729521} 25 (\cos^{1} (t) \cos^{1} (t)) d t$

चरण 2.2.4

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$\int_{0}^{0.92729521} 25 {\cos (t)}^{1 + 1} d t$

चरण 2.2.5

$1$ और $1$ जोड़ें.

$\int_{0}^{0.92729521} 25 \cos^{2} (t) d t$

चरण 3

चूँकि $25$ बटे $t$ अचर है, $25$ को समाकलन से हटा दें.

$25 \int_{0}^{0.92729521} \cos^{2} (t) d t$

चरण 4

$\cos^{2} (t)$ को $\frac{1 + \cos (2 t)}{2}$ के रूप में फिर से लिखने के लिए अर्ध-कोण सूत्र का प्रयोग करें.

$25 \int_{0}^{0.92729521} \frac{1 + \cos (2 t)}{2} d t$

चरण 5

चूँकि $\frac{1}{2}$ बटे $t$ अचर है, $\frac{1}{2}$ को समाकलन से हटा दें.

$25 (\frac{1}{2} \int_{0}^{0.92729521} 1 + \cos (2 t) d t)$

चरण 6

$\frac{1}{2}$ और $25$ को मिलाएं.

$\frac{25}{2} \int_{0}^{0.92729521} 1 + \cos (2 t) d t$

चरण 7

एकल समाकलन को कई समाकलन में विभाजित करें.

$\frac{25}{2} (\int_{0}^{0.92729521} d t + \int_{0}^{0.92729521} \cos (2 t) d t)$

चरण 8

स्थिरांक नियम लागू करें.

$\frac{25}{2} (t]_{0}^{0.92729521} + \int_{0}^{0.92729521} \cos (2 t) d t)$

चरण 9

मान लीजिए $u = 2 t$ .फिर $d u = 2 d t$ , तो $\frac{1}{2} d u = d t$ . $u$ और $d$ $u$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1

मान लें $u = 2 t$ . $\frac{d u}{d t}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1.1

$2 t$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d t} [2 t]$

चरण 9.1.2

चूंकि $2$ , $t$ के संबंध में स्थिर है, $t$ के संबंध में $2 t$ का व्युत्पन्न $2 \frac{d}{d t} [t]$ है.

$2 \frac{d}{d t} [t]$

चरण 9.1.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ $n t^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$2 \cdot 1$

चरण 9.1.4

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$2$

चरण 9.2

$t$ के लिए $u = 2 t$ में निचली सीमा को प्रतिस्थापित करें.

$u_{lower} = 2 \cdot 0$

चरण 9.3

$2$ को $0$ से गुणा करें.

$u_{lower} = 0$

चरण 9.4

$t$ के लिए $u = 2 t$ में ऊपरी सीमा को प्रतिस्थापित करें.

$u_{upper} = 2 \cdot 0.92729521$

चरण 9.5

$2$ को $0.92729521$ से गुणा करें.

$u_{upper} = 1.85459043$

चरण 9.6

$u_{lower}$ और $u_{upper}$ के लिए पाए गए मानों का उपयोग निश्चित समाकल का मूल्यांकन करने के लिए किया जाएगा.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 1.85459043$

चरण 9.7

$u$ , $d u$ और समाकलन की नई सीमाओं का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$\frac{25}{2} (t]_{0}^{0.92729521} + \int_{0}^{1.85459043} \cos (u) \frac{1}{2} d u)$

चरण 10

$\cos (u)$ और $\frac{1}{2}$ को मिलाएं.

$\frac{25}{2} (t]_{0}^{0.92729521} + \int_{0}^{1.85459043} \frac{\cos (u)}{2} d u)$

चरण 11

चूँकि $\frac{1}{2}$ बटे $u$ अचर है, $\frac{1}{2}$ को समाकलन से हटा दें.

$\frac{25}{2} (t]_{0}^{0.92729521} + \frac{1}{2} \int_{0}^{1.85459043} \cos (u) d u)$

चरण 12

$u$ के संबंध में $\cos (u)$ का इंटीग्रल $\sin (u)$ है.

$\frac{25}{2} (t]_{0}^{0.92729521} + \frac{1}{2} \sin (u)]_{0}^{1.85459043})$

चरण 13

प्रतिस्थापित करें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 13.1

$0.92729521$ पर और $0$ पर $t$ का मान ज्ञात करें.

$\frac{25}{2} ((0.92729521) + 0 + \frac{1}{2} \sin (u)]_{0}^{1.85459043})$

चरण 13.2

$1.85459043$ पर और $0$ पर $\sin (u)$ का मान ज्ञात करें.

$\frac{25}{2} ((0.92729521) + 0 + \frac{1}{2} ((\sin (1.85459043)) - \sin (0)))$

चरण 13.3

$0.92729521$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{25}{2} (0.92729521 + \frac{1}{2} (\sin (1.85459043) - \sin (0)))$

चरण 14

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 14.1

$\sin (0)$ का सटीक मान $0$ है.

$\frac{25}{2} (0.92729521 + \frac{1}{2} (\sin (1.85459043) - 0))$

चरण 14.2

$- 1$ को $0$ से गुणा करें.

$\frac{25}{2} (0.92729521 + \frac{1}{2} (\sin (1.85459043) + 0))$

चरण 14.3

$\sin (1.85459043)$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{25}{2} (0.92729521 + \frac{1}{2} \sin (1.85459043))$

चरण 14.4

$\frac{1}{2}$ और $\sin (1.85459043)$ को मिलाएं.

$\frac{25}{2} (0.92729521 + \frac{\sin (1.85459043)}{2})$

चरण 14.5

$0.92729521$ और $\frac{\sin (1.85459043)}{2}$ जोड़ें.

$\frac{25}{2} \cdot 1.40729521$

चरण 14.6

$\frac{25}{2}$ और $1.40729521$ को मिलाएं.

$\frac{25 \cdot 1.40729521}{2}$

चरण 14.7

$25$ को $1.40729521$ से गुणा करें.

$\frac{35.18238045}{2}$

चरण 15

$35.18238045$ को $2$ से विभाजित करें.

$17.59119022$

चरण 16