कैलकुलस उदाहरण

$\int_{- 0.5}^{0.5} 4 \cos (π x) - (12 x^{2} - 3) d x$

चरण 1

एकल समाकलन को कई समाकलन में विभाजित करें.

$\int_{- 0.5}^{0.5} 4 \cos (π x) d x + \int_{- 0.5}^{0.5} - (12 x^{2} - 3) d x$

चरण 2

चूँकि $4$ बटे $x$ अचर है, $4$ को समाकलन से हटा दें.

$4 \int_{- 0.5}^{0.5} \cos (π x) d x + \int_{- 0.5}^{0.5} - (12 x^{2} - 3) d x$

चरण 3

मान लीजिए $u = π x$ .फिर $d u = π d x$ , तो $\frac{1}{π} d u = d x$ . $u$ और $d$ $u$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

मान लें $u = π x$ . $\frac{d u}{d x}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1.1

$π x$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d x} [π x]$

चरण 3.1.2

चूंकि $π$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $π x$ का व्युत्पन्न $π \frac{d}{d x} [x]$ है.

$π \frac{d}{d x} [x]$

चरण 3.1.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$π \cdot 1$

चरण 3.1.4

$π$ को $1$ से गुणा करें.

$π$

चरण 3.2

$x$ के लिए $u = π x$ में निचली सीमा को प्रतिस्थापित करें.

$u_{lower} = π \cdot - 0.5$

चरण 3.3

$π$ को $- 0.5$ से गुणा करें.

$u_{lower} = - 1.57079632$

चरण 3.4

$x$ के लिए $u = π x$ में ऊपरी सीमा को प्रतिस्थापित करें.

$u_{upper} = π \cdot 0.5$

चरण 3.5

$π$ को $0.5$ से गुणा करें.

$u_{upper} = 1.57079632$

चरण 3.6

$u_{lower}$ और $u_{upper}$ के लिए पाए गए मानों का उपयोग निश्चित समाकल का मूल्यांकन करने के लिए किया जाएगा.

$u_{lower} = - 1.57079632$

$u_{upper} = 1.57079632$

चरण 3.7

$u$ , $d u$ और समाकलन की नई सीमाओं का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$4 \int_{- 1.57079632}^{1.57079632} \cos (u) \frac{1}{π} d u + \int_{- 0.5}^{0.5} - (12 x^{2} - 3) d x$

चरण 4

$\cos (u)$ और $\frac{1}{π}$ को मिलाएं.

$4 \int_{- 1.57079632}^{1.57079632} \frac{\cos (u)}{π} d u + \int_{- 0.5}^{0.5} - (12 x^{2} - 3) d x$

चरण 5

चूँकि $\frac{1}{π}$ बटे $u$ अचर है, $\frac{1}{π}$ को समाकलन से हटा दें.

$4 (\frac{1}{π} \int_{- 1.57079632}^{1.57079632} \cos (u) d u) + \int_{- 0.5}^{0.5} - (12 x^{2} - 3) d x$

चरण 6

$\frac{1}{π}$ और $4$ को मिलाएं.

$\frac{4}{π} \int_{- 1.57079632}^{1.57079632} \cos (u) d u + \int_{- 0.5}^{0.5} - (12 x^{2} - 3) d x$

चरण 7

$u$ के संबंध में $\cos (u)$ का इंटीग्रल $\sin (u)$ है.

$\frac{4}{π} \sin (u)]_{- 1.57079632}^{1.57079632} + \int_{- 0.5}^{0.5} - (12 x^{2} - 3) d x$

चरण 8

$- (12 x^{2} - 3)$ गुणा करें.

$\frac{4}{π} \sin (u)]_{- 1.57079632}^{1.57079632} + \int_{- 0.5}^{0.5} - (12 x^{2}) - - 3 d x$

चरण 9

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1

$12$ को $- 1$ से गुणा करें.

$\frac{4}{π} \sin (u)]_{- 1.57079632}^{1.57079632} + \int_{- 0.5}^{0.5} - 12 x^{2} - - 3 d x$

चरण 9.2

$- 1$ को $- 3$ से गुणा करें.

$\frac{4}{π} \sin (u)]_{- 1.57079632}^{1.57079632} + \int_{- 0.5}^{0.5} - 12 x^{2} + 3 d x$

चरण 10

एकल समाकलन को कई समाकलन में विभाजित करें.

$\frac{4}{π} \sin (u)]_{- 1.57079632}^{1.57079632} + \int_{- 0.5}^{0.5} - 12 x^{2} d x + \int_{- 0.5}^{0.5} 3 d x$

चरण 11

चूँकि $- 12$ बटे $x$ अचर है, $- 12$ को समाकलन से हटा दें.

$\frac{4}{π} \sin (u)]_{- 1.57079632}^{1.57079632} - 12 \int_{- 0.5}^{0.5} x^{2} d x + \int_{- 0.5}^{0.5} 3 d x$

चरण 12

घात नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x^{2}$ का समाकलन $\frac{1}{3} x^{3}$ है.

$\frac{4}{π} \sin (u)]_{- 1.57079632}^{1.57079632} - 12 (\frac{1}{3} x^{3}]_{- 0.5}^{0.5}) + \int_{- 0.5}^{0.5} 3 d x$

चरण 13

$\frac{1}{3}$ और $x^{3}$ को मिलाएं.

$\frac{4}{π} \sin (u)]_{- 1.57079632}^{1.57079632} - 12 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 0.5}^{0.5}) + \int_{- 0.5}^{0.5} 3 d x$

चरण 14

स्थिरांक नियम लागू करें.

$\frac{4}{π} \sin (u)]_{- 1.57079632}^{1.57079632} - 12 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 0.5}^{0.5}) + 3 x]_{- 0.5}^{0.5}$

चरण 15

प्रतिस्थापित करें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 15.1

$1.57079632$ पर और $- 1.57079632$ पर $\sin (u)$ का मान ज्ञात करें.

$\frac{4}{π} ((\sin (1.57079632)) - \sin (- 1.57079632)) - 12 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 0.5}^{0.5}) + 3 x]_{- 0.5}^{0.5}$

चरण 15.2

$0.5$ पर और $- 0.5$ पर $\frac{x^{3}}{3}$ का मान ज्ञात करें.

$\frac{4}{π} ((\sin (1.57079632)) - \sin (- 1.57079632)) - 12 ((\frac{{0.5}^{3}}{3}) - \frac{{(- 0.5)}^{3}}{3}) + 3 x]_{- 0.5}^{0.5}$

चरण 15.3

$0.5$ पर और $- 0.5$ पर $3 x$ का मान ज्ञात करें.

$\frac{4}{π} ((\sin (1.57079632)) - \sin (- 1.57079632)) - 12 (\frac{{0.5}^{3}}{3} - \frac{{(- 0.5)}^{3}}{3}) + 3 \cdot 0.5 - 3 \cdot - 0.5$

चरण 15.4

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 15.4.1

$0.5$ को $3$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{4}{π} (\sin (1.57079632) - \sin (- 1.57079632)) - 12 (\frac{0.125}{3} - \frac{{(- 0.5)}^{3}}{3}) + 3 \cdot 0.5 - 3 \cdot - 0.5$

चरण 15.4.2

$- 0.5$ को $3$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{4}{π} (\sin (1.57079632) - \sin (- 1.57079632)) - 12 (\frac{0.125}{3} - \frac{- 0.125}{3}) + 3 \cdot 0.5 - 3 \cdot - 0.5$

चरण 15.4.3

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$\frac{4}{π} (\sin (1.57079632) - \sin (- 1.57079632)) - 12 (\frac{0.125}{3} - - \frac{0.125}{3}) + 3 \cdot 0.5 - 3 \cdot - 0.5$

चरण 15.4.4

$- 1$ को $- 1$ से गुणा करें.

$\frac{4}{π} (\sin (1.57079632) - \sin (- 1.57079632)) - 12 (\frac{0.125}{3} + 1 (\frac{0.125}{3})) + 3 \cdot 0.5 - 3 \cdot - 0.5$

चरण 15.4.5

$\frac{0.125}{3}$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{4}{π} (\sin (1.57079632) - \sin (- 1.57079632)) - 12 (\frac{0.125}{3} + \frac{0.125}{3}) + 3 \cdot 0.5 - 3 \cdot - 0.5$

चरण 15.4.6

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{4}{π} (\sin (1.57079632) - \sin (- 1.57079632)) - 12 \frac{0.125 + 0.125}{3} + 3 \cdot 0.5 - 3 \cdot - 0.5$

चरण 15.4.7

$0.125$ और $0.125$ जोड़ें.

$\frac{4}{π} (\sin (1.57079632) - \sin (- 1.57079632)) - 12 (\frac{0.25}{3}) + 3 \cdot 0.5 - 3 \cdot - 0.5$

चरण 15.4.8

$- 12$ और $\frac{0.25}{3}$ को मिलाएं.

$\frac{4}{π} (\sin (1.57079632) - \sin (- 1.57079632)) + \frac{- 12 \cdot 0.25}{3} + 3 \cdot 0.5 - 3 \cdot - 0.5$

चरण 15.4.9

$- 12$ को $0.25$ से गुणा करें.

$\frac{4}{π} (\sin (1.57079632) - \sin (- 1.57079632)) + \frac{- 3}{3} + 3 \cdot 0.5 - 3 \cdot - 0.5$

चरण 15.4.10

$- 3$ और $3$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 15.4.10.1

$- 3$ में से $3$ का गुणनखंड करें.

$\frac{4}{π} (\sin (1.57079632) - \sin (- 1.57079632)) + \frac{3 \cdot - 1}{3} + 3 \cdot 0.5 - 3 \cdot - 0.5$

चरण 15.4.10.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 15.4.10.2.1

$3$ में से $3$ का गुणनखंड करें.

$\frac{4}{π} (\sin (1.57079632) - \sin (- 1.57079632)) + \frac{3 \cdot - 1}{3 (1)} + 3 \cdot 0.5 - 3 \cdot - 0.5$

चरण 15.4.10.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{4}{π} (\sin (1.57079632) - \sin (- 1.57079632)) + \frac{3 \cdot - 1}{3 \cdot 1} + 3 \cdot 0.5 - 3 \cdot - 0.5$

चरण 15.4.10.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{4}{π} (\sin (1.57079632) - \sin (- 1.57079632)) + \frac{- 1}{1} + 3 \cdot 0.5 - 3 \cdot - 0.5$

चरण 15.4.10.2.4

$- 1$ को $1$ से विभाजित करें.

$\frac{4}{π} (\sin (1.57079632) - \sin (- 1.57079632)) - 1 + 3 \cdot 0.5 - 3 \cdot - 0.5$

चरण 15.4.11

$3$ को $0.5$ से गुणा करें.

$\frac{4}{π} (\sin (1.57079632) - \sin (- 1.57079632)) - 1 + 1.5 - 3 \cdot - 0.5$

चरण 15.4.12

$- 3$ को $- 0.5$ से गुणा करें.

$\frac{4}{π} (\sin (1.57079632) - \sin (- 1.57079632)) - 1 + 1.5 + 1.5$

चरण 15.4.13

$1.5$ और $1.5$ जोड़ें.

$\frac{4}{π} (\sin (1.57079632) - \sin (- 1.57079632)) - 1 + 3$

चरण 15.4.14

$- 1$ और $3$ जोड़ें.

$\frac{4}{π} (\sin (1.57079632) - \sin (- 1.57079632)) + 2$

चरण 16

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 16.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 16.1.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{4}{π} \sin (1.57079632) + \frac{4}{π} (- \sin (- 1.57079632)) + 2$

चरण 16.1.2

$\frac{4}{π}$ और $\sin (1.57079632)$ को मिलाएं.

$\frac{4 \sin (1.57079632)}{π} + \frac{4}{π} (- \sin (- 1.57079632)) + 2$

चरण 16.1.3

$\frac{4}{π}$ और $\sin (- 1.57079632)$ को मिलाएं.

$\frac{4 \sin (1.57079632)}{π} - \frac{4 \sin (- 1.57079632)}{π} + 2$

चरण 16.1.4

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 16.1.4.1

$\sin (1.57079632)$ का मान ज्ञात करें.

$\frac{4 \cdot 1}{π} - \frac{4 \sin (- 1.57079632)}{π} + 2$

चरण 16.1.4.2

$4$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{4}{π} - \frac{4 \sin (- 1.57079632)}{π} + 2$

चरण 16.1.4.3

$\sin (- 1.57079632)$ का मान ज्ञात करें.

$\frac{4}{π} - \frac{4 \cdot - 1}{π} + 2$

चरण 16.1.4.4

$4$ को $- 1$ से गुणा करें.

$\frac{4}{π} - \frac{- 4}{π} + 2$

चरण 16.1.4.5

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$\frac{4}{π} - - \frac{4}{π} + 2$

चरण 16.1.4.6

$- - \frac{4}{π}$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 16.1.4.6.1

$- 1$ को $- 1$ से गुणा करें.

$\frac{4}{π} + 1 \frac{4}{π} + 2$

चरण 16.1.4.6.2

$\frac{4}{π}$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{4}{π} + \frac{4}{π} + 2$

चरण 16.1.5

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{4 + 4}{π} + 2$

चरण 16.1.6

$4$ और $4$ जोड़ें.

$\frac{8}{π} + 2$

चरण 16.2

$\frac{8}{π}$ और $2$ जोड़ें.

$4.54647908$