कैलकुलस उदाहरण

$\int_{0.5}^{1} x^{2} \cot (x^{3}) d x$

चरण 1

मान लीजिए $u = x^{3}$ .फिर $d u = 3 x^{2} d x$ , तो $\frac{1}{3} d u = x^{2} d x$ . $u$ और $d$ $u$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

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चरण 1.1

मान लें $u = x^{3}$ . $\frac{d u}{d x}$ ज्ञात करें.

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चरण 1.1.1

$x^{3}$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d x} [x^{3}]$

चरण 1.1.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 3$ है.

$3 x^{2}$

चरण 1.2

$x$ के लिए $u = x^{3}$ में निचली सीमा को प्रतिस्थापित करें.

$u_{lower} = {0.5}^{3}$

चरण 1.3

$0.5$ को $3$ के घात तक बढ़ाएं.

$u_{lower} = 0.125$

चरण 1.4

$x$ के लिए $u = x^{3}$ में ऊपरी सीमा को प्रतिस्थापित करें.

$u_{upper} = 1^{3}$

चरण 1.5

एक का कोई भी घात एक होता है.

$u_{upper} = 1$

चरण 1.6

$u_{lower}$ और $u_{upper}$ के लिए पाए गए मानों का उपयोग निश्चित समाकल का मूल्यांकन करने के लिए किया जाएगा.

$u_{lower} = 0.125$

$u_{upper} = 1$

चरण 1.7

$u$ , $d u$ और समाकलन की नई सीमाओं का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$\int_{0.125}^{1} \cot (u) \frac{1}{3} d u$

चरण 2

$\cot (u)$ और $\frac{1}{3}$ को मिलाएं.

$\int_{0.125}^{1} \frac{\cot (u)}{3} d u$

चरण 3

चूँकि $\frac{1}{3}$ बटे $u$ अचर है, $\frac{1}{3}$ को समाकलन से हटा दें.

$\frac{1}{3} \int_{0.125}^{1} \cot (u) d u$

चरण 4

$u$ के संबंध में $\cot (u)$ का इंटीग्रल $\ln (| \sin (u) |)$ है.

$\frac{1}{3} \ln (| \sin (u) |)]_{0.125}^{1}$

चरण 5

$1$ पर और $0.125$ पर $\ln (| \sin (u) |)$ का मान ज्ञात करें.

$\frac{1}{3} (\ln (| \sin (1) |) - \ln (| \sin (0.125) |))$

चरण 6

सरल करें.

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चरण 6.1

लघुगणक के भागफल गुण $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ का प्रयोग करें.

$\frac{1}{3} \ln (\frac{| \sin (1) |}{| \sin (0.125) |})$

चरण 6.2

$\frac{1}{3}$ और $\ln (\frac{| \sin (1) |}{| \sin (0.125) |})$ को मिलाएं.

$\frac{\ln (\frac{| \sin (1) |}{| \sin (0.125) |})}{3}$

चरण 7

परिणाम कई रूपों में दिखाया जा सकता है.

सटीक रूप:

$\frac{\ln (\frac{| \sin (1) |}{| \sin (0.125) |})}{3}$

दशमलव रूप:

$- 0.65541022 \dots$