कैलकुलस उदाहरण

$\int_{1}^{e^{4}} \frac{\ln ({(x)}^{3})}{x} d x$

चरण 1

$\frac{\ln (x^{3})}{x}$ को $\frac{3 \ln (x)}{x}$ के रूप में फिर से लिखें.

$\int_{1}^{e^{4}} \frac{3 \ln (x)}{x} d x$

चरण 2

चूँकि $3$ बटे $x$ अचर है, $3$ को समाकलन से हटा दें.

$3 \int_{1}^{e^{4}} \frac{\ln (x)}{x} d x$

चरण 3

मान लीजिए $u = \ln (x)$ .फिर $d u = \frac{1}{x} d x$ , तो $x d u = d x$ . $u$ और $d$ $u$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

मान लें $u = \ln (x)$ . $\frac{d u}{d x}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1.1

$\ln (x)$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d x} [\ln (x)]$

चरण 3.1.2

$x$ के संबंध में $\ln (x)$ का व्युत्पन्न $\frac{1}{x}$ है.

$\frac{1}{x}$

चरण 3.2

$x$ के लिए $u = \ln (x)$ में निचली सीमा को प्रतिस्थापित करें.

$u_{lower} = \ln (1)$

चरण 3.3

$1$ का प्राकृतिक लघुगणक $0$ है.

$u_{lower} = 0$

चरण 3.4

$x$ के लिए $u = \ln (x)$ में ऊपरी सीमा को प्रतिस्थापित करें.

$u_{upper} = \ln (e^{4})$

चरण 3.5

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.5.1

$4$ को घातांक से बाहर निकालने के लिए लघुगणक नियमों का प्रयोग करें.

$u_{upper} = 4 \ln (e)$

चरण 3.5.2

$e$ का प्राकृतिक लघुगणक $1$ है.

$u_{upper} = 4 \cdot 1$

चरण 3.5.3

$4$ को $1$ से गुणा करें.

$u_{upper} = 4$

चरण 3.6

$u_{lower}$ और $u_{upper}$ के लिए पाए गए मानों का उपयोग निश्चित समाकल का मूल्यांकन करने के लिए किया जाएगा.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 4$

चरण 3.7

$u$ , $d u$ और समाकलन की नई सीमाओं का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$3 \int_{0}^{4} u d u$

चरण 4

घात नियम के अनुसार, $u$ के संबंध में $u$ का समाकलन $\frac{1}{2} u^{2}$ है.

$3 (\frac{1}{2} u^{2}]_{0}^{4})$

चरण 5

$\frac{1}{2}$ और $u^{2}$ को मिलाएं.

$3 (\frac{u^{2}}{2}]_{0}^{4})$

चरण 6

प्रतिस्थापित करें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

$4$ पर और $0$ पर $\frac{u^{2}}{2}$ का मान ज्ञात करें.

$3 ((\frac{4^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

चरण 6.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.1

$4$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$3 (\frac{16}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

चरण 6.2.2

$16$ और $2$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.2.1

$16$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$3 (\frac{2 \cdot 8}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

चरण 6.2.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.2.2.1

$2$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$3 (\frac{2 \cdot 8}{2 (1)} - \frac{0^{2}}{2})$

चरण 6.2.2.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$3 (\frac{2 \cdot 8}{2 \cdot 1} - \frac{0^{2}}{2})$

चरण 6.2.2.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$3 (\frac{8}{1} - \frac{0^{2}}{2})$

चरण 6.2.2.2.4

$8$ को $1$ से विभाजित करें.

$3 (8 - \frac{0^{2}}{2})$

चरण 6.2.3

$0$ को किसी भी धनात्मक घात तक बढ़ाने से $0$ प्राप्त होता है.

$3 (8 - \frac{0}{2})$

चरण 6.2.4

$0$ और $2$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.4.1

$0$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$3 (8 - \frac{2 (0)}{2})$

चरण 6.2.4.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.4.2.1

$2$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$3 (8 - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})$

चरण 6.2.4.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$3 (8 - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})$

चरण 6.2.4.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$3 (8 - \frac{0}{1})$

चरण 6.2.4.2.4

$0$ को $1$ से विभाजित करें.

$3 (8 - 0)$

चरण 6.2.5

$- 1$ को $0$ से गुणा करें.

$3 (8 + 0)$

चरण 6.2.6

$8$ और $0$ जोड़ें.

$3 \cdot 8$

चरण 6.2.7

$3$ को $8$ से गुणा करें.

$24$