कैलकुलस उदाहरण

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (2 x) d x$

चरण 1

मान लीजिए $u_{1} = 2 x$ .फिर $d u_{1} = 2 d x$ , तो $\frac{1}{2} d u_{1} = d x$ . $u_{1}$ और $d$ $u_{1}$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

मान लें $u_{1} = 2 x$ . $\frac{d u_{1}}{d x}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1

$2 x$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d x} [2 x]$

चरण 1.1.2

चूंकि $2$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $2 x$ का व्युत्पन्न $2 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$2 \frac{d}{d x} [x]$

चरण 1.1.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$2 \cdot 1$

चरण 1.1.4

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$2$

चरण 1.2

$x$ के लिए $u_{1} = 2 x$ में निचली सीमा को प्रतिस्थापित करें.

$u_{lower} = 2 \cdot 0$

चरण 1.3

$2$ को $0$ से गुणा करें.

$u_{lower} = 0$

चरण 1.4

$x$ के लिए $u_{1} = 2 x$ में ऊपरी सीमा को प्रतिस्थापित करें.

$u_{upper} = 2 π$

चरण 1.5

$u_{lower}$ और $u_{upper}$ के लिए पाए गए मानों का उपयोग निश्चित समाकल का मूल्यांकन करने के लिए किया जाएगा.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 2 π$

चरण 1.6

$u_{1}$ , $d u_{1}$ और समाकलन की नई सीमाओं का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$\int_{0}^{2 π} \sin^{2} (u_{1}) \frac{1}{2} d u_{1}$

चरण 2

$\sin^{2} (u_{1})$ और $\frac{1}{2}$ को मिलाएं.

$\int_{0}^{2 π} \frac{\sin^{2} (u_{1})}{2} d u_{1}$

चरण 3

चूँकि $\frac{1}{2}$ बटे $u_{1}$ अचर है, $\frac{1}{2}$ को समाकलन से हटा दें.

$\frac{1}{2} \int_{0}^{2 π} \sin^{2} (u_{1}) d u_{1}$

चरण 4

$\sin^{2} (u_{1})$ को $\frac{1 - \cos (2 u_{1})}{2}$ के रूप में फिर से लिखने के लिए अर्ध-कोण सूत्र का प्रयोग करें.

$\frac{1}{2} \int_{0}^{2 π} \frac{1 - \cos (2 u_{1})}{2} d u_{1}$

चरण 5

चूँकि $\frac{1}{2}$ बटे $u_{1}$ अचर है, $\frac{1}{2}$ को समाकलन से हटा दें.

$\frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int_{0}^{2 π} 1 - \cos (2 u_{1}) d u_{1})$

चरण 6

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

$\frac{1}{2}$ को $\frac{1}{2}$ से गुणा करें.

$\frac{1}{2 \cdot 2} \int_{0}^{2 π} 1 - \cos (2 u_{1}) d u_{1}$

चरण 6.2

$2$ को $2$ से गुणा करें.

$\frac{1}{4} \int_{0}^{2 π} 1 - \cos (2 u_{1}) d u_{1}$

चरण 7

एकल समाकलन को कई समाकलन में विभाजित करें.

$\frac{1}{4} (\int_{0}^{2 π} d u_{1} + \int_{0}^{2 π} - \cos (2 u_{1}) d u_{1})$

चरण 8

स्थिरांक नियम लागू करें.

$\frac{1}{4} (u_{1}]_{0}^{2 π} + \int_{0}^{2 π} - \cos (2 u_{1}) d u_{1})$

चरण 9

चूँकि $- 1$ बटे $u_{1}$ अचर है, $- 1$ को समाकलन से हटा दें.

$\frac{1}{4} (u_{1}]_{0}^{2 π} - \int_{0}^{2 π} \cos (2 u_{1}) d u_{1})$

चरण 10

मान लीजिए $u_{2} = 2 u_{1}$ .फिर $d u_{2} = 2 d u_{1}$ , तो $\frac{1}{2} d u_{2} = d u_{1}$ . $u_{2}$ और $d$ $u_{2}$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.1

मान लें $u_{2} = 2 u_{1}$ . $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.1.1

$2 u_{1}$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d u_{1}} [2 u_{1}]$

चरण 10.1.2

चूंकि $2$ , $u_{1}$ के संबंध में स्थिर है, $u_{1}$ के संबंध में $2 u_{1}$ का व्युत्पन्न $2 \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$ है.

$2 \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$

चरण 10.1.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ $n {u_{1}}^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$2 \cdot 1$

चरण 10.1.4

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$2$

चरण 10.2

$u_{1}$ के लिए $u_{2} = 2 u_{1}$ में निचली सीमा को प्रतिस्थापित करें.

$u_{lower} = 2 \cdot 0$

चरण 10.3

$2$ को $0$ से गुणा करें.

$u_{lower} = 0$

चरण 10.4

$u_{1}$ के लिए $u_{2} = 2 u_{1}$ में ऊपरी सीमा को प्रतिस्थापित करें.

$u_{upper} = 2 (2 π)$

चरण 10.5

$2$ को $2$ से गुणा करें.

$u_{upper} = 4 π$

चरण 10.6

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 4 π$

चरण 10.7

$u_{2}$ , $d u_{2}$ और समाकलन की नई सीमाओं का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$\frac{1}{4} (u_{1}]_{0}^{2 π} - \int_{0}^{4 π} \cos (u_{2}) \frac{1}{2} d u_{2})$

चरण 11

$\cos (u_{2})$ और $\frac{1}{2}$ को मिलाएं.

$\frac{1}{4} (u_{1}]_{0}^{2 π} - \int_{0}^{4 π} \frac{\cos (u_{2})}{2} d u_{2})$

चरण 12

चूँकि $\frac{1}{2}$ बटे $u_{2}$ अचर है, $\frac{1}{2}$ को समाकलन से हटा दें.

$\frac{1}{4} (u_{1}]_{0}^{2 π} - (\frac{1}{2} \int_{0}^{4 π} \cos (u_{2}) d u_{2}))$

चरण 13

$u_{2}$ के संबंध में $\cos (u_{2})$ का इंटीग्रल $\sin (u_{2})$ है.

$\frac{1}{4} (u_{1}]_{0}^{2 π} - \frac{1}{2} \sin (u_{2})]_{0}^{4 π})$

चरण 14

प्रतिस्थापित करें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 14.1

$2 π$ पर और $0$ पर $u_{1}$ का मान ज्ञात करें.

$\frac{1}{4} ((2 π) + 0 - \frac{1}{2} \sin (u_{2})]_{0}^{4 π})$

चरण 14.2

$4 π$ पर और $0$ पर $\sin (u_{2})$ का मान ज्ञात करें.

$\frac{1}{4} ((2 π) + 0 - \frac{1}{2} ((\sin (4 π)) - \sin (0)))$

चरण 14.3

$2 π$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{1}{4} (2 π - \frac{1}{2} (\sin (4 π) - \sin (0)))$

चरण 15

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 15.1

$\sin (0)$ का सटीक मान $0$ है.

$\frac{1}{4} (2 π - \frac{1}{2} (\sin (4 π) - 0))$

चरण 15.2

$- 1$ को $0$ से गुणा करें.

$\frac{1}{4} (2 π - \frac{1}{2} (\sin (4 π) + 0))$

चरण 15.3

$\sin (4 π)$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{1}{4} (2 π - \frac{1}{2} \sin (4 π))$

चरण 15.4

$\sin (4 π)$ और $\frac{1}{2}$ को मिलाएं.

$\frac{1}{4} (2 π - \frac{\sin (4 π)}{2})$

चरण 16

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 16.1

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 16.1.1

$2 π$ का पूरा घुमाव घटाएं जब तक कि कोण $0$ से बड़ा या उसके बराबर और $2 π$ से कम न हो जाए.

$\frac{1}{4} (2 π - \frac{\sin (0)}{2})$

चरण 16.1.2

$\sin (0)$ का सटीक मान $0$ है.

$\frac{1}{4} (2 π - \frac{0}{2})$

चरण 16.2

$0$ को $2$ से विभाजित करें.

$\frac{1}{4} (2 π - 0)$

चरण 16.3

$- 1$ को $0$ से गुणा करें.

$\frac{1}{4} (2 π + 0)$

चरण 16.4

$2 π$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{1}{4} (2 π)$

चरण 16.5

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 16.5.1

$4$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\frac{1}{2 (2)} (2 π)$

चरण 16.5.2

$2 π$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\frac{1}{2 (2)} (2 (π))$

चरण 16.5.3

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{1}{2 \cdot 2} (2 π)$

चरण 16.5.4

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{1}{2} π$

चरण 16.6

$\frac{1}{2}$ और $π$ को मिलाएं.

$\frac{π}{2}$

चरण 17

परिणाम कई रूपों में दिखाया जा सकता है.

सटीक रूप:

$\frac{π}{2}$

दशमलव रूप:

$1.57079632 \dots$