कैलकुलस उदाहरण

$\int_{0}^{π} 5 {(5 - 4 \cos (t))}^{\frac{1}{4}} \sin (t) d t$

चरण 1

चूँकि $5$ बटे $t$ अचर है, $5$ को समाकलन से हटा दें.

$5 \int_{0}^{π} {(5 - 4 \cos (t))}^{\frac{1}{4}} \sin (t) d t$

चरण 2

मान लीजिए $u = 5 - 4 \cos (t)$ .फिर $d u = 4 \sin (t) d t$ , तो $\frac{1}{4} d u = \sin (t) d t$ . $u$ और $d$ $u$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

मान लें $u = 5 - 4 \cos (t)$ . $\frac{d u}{d t}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.1

$5 - 4 \cos (t)$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d t} [5 - 4 \cos (t)]$

चरण 2.1.2

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.2.1

योग नियम के अनुसार, $t$ के संबंध में $5 - 4 \cos (t)$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d t} [5] + \frac{d}{d t} [- 4 \cos (t)]$ है.

$\frac{d}{d t} [5] + \frac{d}{d t} [- 4 \cos (t)]$

चरण 2.1.2.2

चूंकि $t$ के संबंध में $5$ स्थिर है, $t$ के संबंध में $5$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$0 + \frac{d}{d t} [- 4 \cos (t)]$

चरण 2.1.3

$\frac{d}{d t} [- 4 \cos (t)]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.3.1

चूंकि $- 4$ , $t$ के संबंध में स्थिर है, $t$ के संबंध में $- 4 \cos (t)$ का व्युत्पन्न $- 4 \frac{d}{d t} [\cos (t)]$ है.

$0 - 4 \frac{d}{d t} [\cos (t)]$

चरण 2.1.3.2

$t$ के संबंध में $\cos (t)$ का व्युत्पन्न $- \sin (t)$ है.

$0 - 4 (- \sin (t))$

चरण 2.1.3.3

$- 1$ को $- 4$ से गुणा करें.

$0 + 4 \sin (t)$

चरण 2.1.4

$0$ और $4 \sin (t)$ जोड़ें.

$4 \sin (t)$

चरण 2.2

$t$ के लिए $u = 5 - 4 \cos (t)$ में निचली सीमा को प्रतिस्थापित करें.

$u_{lower} = 5 - 4 \cos (0)$

चरण 2.3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1.1

$\cos (0)$ का सटीक मान $1$ है.

$u_{lower} = 5 - 4 \cdot 1$

चरण 2.3.1.2

$- 4$ को $1$ से गुणा करें.

$u_{lower} = 5 - 4$

चरण 2.3.2

$5$ में से $4$ घटाएं.

$u_{lower} = 1$

चरण 2.4

$t$ के लिए $u = 5 - 4 \cos (t)$ में ऊपरी सीमा को प्रतिस्थापित करें.

$u_{upper} = 5 - 4 \cos (π)$

चरण 2.5

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.5.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.5.1.1

पहले चतुर्थांश में तुल्य त्रिभुज मानों वाला कोण ज्ञात करके संदर्भ कोण लागू करें. व्यंजक को ऋणात्मक बनाएंं क्योंकि दूसरे चतुर्थांश में कोज्या ऋणात्मक है.

$u_{upper} = 5 - 4 (- \cos (0))$

चरण 2.5.1.2

$\cos (0)$ का सटीक मान $1$ है.

$u_{upper} = 5 - 4 (- 1 \cdot 1)$

चरण 2.5.1.3

$- 4 (- 1 \cdot 1)$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.5.1.3.1

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$u_{upper} = 5 - 4 \cdot - 1$

चरण 2.5.1.3.2

$- 4$ को $- 1$ से गुणा करें.

$u_{upper} = 5 + 4$

चरण 2.5.2

$5$ और $4$ जोड़ें.

$u_{upper} = 9$

चरण 2.6

$u_{lower}$ और $u_{upper}$ के लिए पाए गए मानों का उपयोग निश्चित समाकल का मूल्यांकन करने के लिए किया जाएगा.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 9$

चरण 2.7

$u$ , $d u$ और समाकलन की नई सीमाओं का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$5 \int_{1}^{9} u^{\frac{1}{4}} \frac{1}{4} d u$

चरण 3

$u^{\frac{1}{4}}$ और $\frac{1}{4}$ को मिलाएं.

$5 \int_{1}^{9} \frac{u^{\frac{1}{4}}}{4} d u$

चरण 4

चूँकि $\frac{1}{4}$ बटे $u$ अचर है, $\frac{1}{4}$ को समाकलन से हटा दें.

$5 (\frac{1}{4} \int_{1}^{9} u^{\frac{1}{4}} d u)$

चरण 5

$\frac{1}{4}$ और $5$ को मिलाएं.

$\frac{5}{4} \int_{1}^{9} u^{\frac{1}{4}} d u$

चरण 6

घात नियम के अनुसार, $u$ के संबंध में $u^{\frac{1}{4}}$ का समाकलन $\frac{4}{5} u^{\frac{5}{4}}$ है.

$\frac{5}{4} \frac{4}{5} u^{\frac{5}{4}}]_{1}^{9}$

चरण 7

प्रतिस्थापित करें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1

$9$ पर और $1$ पर $\frac{4}{5} u^{\frac{5}{4}}$ का मान ज्ञात करें.

$\frac{5}{4} ((\frac{4}{5} \cdot 9^{\frac{5}{4}}) - \frac{4}{5} \cdot 1^{\frac{5}{4}})$

चरण 7.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.1

$\frac{4}{5}$ और $9^{\frac{5}{4}}$ को मिलाएं.

$\frac{5}{4} (\frac{4 \cdot 9^{\frac{5}{4}}}{5} - \frac{4}{5} \cdot 1^{\frac{5}{4}})$

चरण 7.2.2

एक का कोई भी घात एक होता है.

$\frac{5}{4} (\frac{4 \cdot 9^{\frac{5}{4}}}{5} - \frac{4}{5} \cdot 1)$

चरण 7.2.3

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{5}{4} (\frac{4 \cdot 9^{\frac{5}{4}}}{5} - \frac{4}{5})$

चरण 8

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{5}{4} \cdot \frac{4 \cdot 9^{\frac{5}{4}}}{5} + \frac{5}{4} (- \frac{4}{5})$

चरण 8.2

जोड़ना.

$\frac{5 (4 \cdot 9^{\frac{5}{4}})}{4 \cdot 5} + \frac{5}{4} (- \frac{4}{5})$

चरण 8.3

$5$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.3.1

$- \frac{4}{5}$ में अग्रणी ऋणात्मक को न्यूमेरेटर में ले जाएं.

$\frac{5 (4 \cdot 9^{\frac{5}{4}})}{4 \cdot 5} + \frac{5}{4} \cdot \frac{- 4}{5}$

चरण 8.3.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{5 (4 \cdot 9^{\frac{5}{4}})}{4 \cdot 5} + \frac{5}{4} \cdot \frac{- 4}{5}$

चरण 8.3.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{5 (4 \cdot 9^{\frac{5}{4}})}{4 \cdot 5} + \frac{1}{4} \cdot - 4$

चरण 8.4

$4$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.4.1

$- 4$ में से $4$ का गुणनखंड करें.

$\frac{5 (4 \cdot 9^{\frac{5}{4}})}{4 \cdot 5} + \frac{1}{4} \cdot (4 (- 1))$

चरण 8.4.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{5 (4 \cdot 9^{\frac{5}{4}})}{4 \cdot 5} + \frac{1}{4} \cdot (4 \cdot - 1)$

चरण 8.4.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{5 (4 \cdot 9^{\frac{5}{4}})}{4 \cdot 5} - 1$

चरण 8.5

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.5.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{5 (4 \cdot 9^{\frac{5}{4}})}{4 \cdot 5} - 1$

चरण 8.5.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{4 \cdot 9^{\frac{5}{4}}}{4} - 1$

चरण 8.5.3

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{4 \cdot 9^{\frac{5}{4}}}{4} - 1$

चरण 8.5.4

$9^{\frac{5}{4}}$ को $1$ से विभाजित करें.

$9^{\frac{5}{4}} - 1$

चरण 9

परिणाम कई रूपों में दिखाया जा सकता है.

सटीक रूप:

$9^{\frac{5}{4}} - 1$

दशमलव रूप:

$14.58845726 \dots$