कैलकुलस उदाहरण

$\int_{1}^{2} \frac{6 x - 1}{3 x^{2} - x} d x$

चरण 1

मान लीजिए $u = 3 x^{2} - x$ .फिर $d u = (6 x - 1) d x$ , तो $\frac{1}{6 x - 1} d u = d x$ . $u$ और $d$ $u$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

मान लें $u = 3 x^{2} - x$ . $\frac{d u}{d x}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1

$3 x^{2} - x$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d x} [3 x^{2} - x]$

चरण 1.1.2

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $3 x^{2} - x$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x]$ है.

$\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x]$

चरण 1.1.3

$\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.3.1

चूंकि $3$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $3 x^{2}$ का व्युत्पन्न $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ है.

$3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x]$

चरण 1.1.3.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$3 (2 x) + \frac{d}{d x} [- x]$

चरण 1.1.3.3

$2$ को $3$ से गुणा करें.

$6 x + \frac{d}{d x} [- x]$

चरण 1.1.4

$\frac{d}{d x} [- x]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.4.1

चूंकि $- 1$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- x$ का व्युत्पन्न $- \frac{d}{d x} [x]$ है.

$6 x - \frac{d}{d x} [x]$

चरण 1.1.4.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$6 x - 1 \cdot 1$

चरण 1.1.4.3

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$6 x - 1$

चरण 1.2

$x$ के लिए $u = 3 x^{2} - x$ में निचली सीमा को प्रतिस्थापित करें.

$u_{lower} = 3 \cdot 1^{2} - 1 \cdot 1$

चरण 1.3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.1.1

एक का कोई भी घात एक होता है.

$u_{lower} = 3 \cdot 1 - 1 \cdot 1$

चरण 1.3.1.2

$3$ को $1$ से गुणा करें.

$u_{lower} = 3 - 1 \cdot 1$

चरण 1.3.1.3

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$u_{lower} = 3 - 1$

चरण 1.3.2

$3$ में से $1$ घटाएं.

$u_{lower} = 2$

चरण 1.4

$x$ के लिए $u = 3 x^{2} - x$ में ऊपरी सीमा को प्रतिस्थापित करें.

$u_{upper} = 3 \cdot 2^{2} - 1 \cdot 2$

चरण 1.5

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.5.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.5.1.1

$2$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$u_{upper} = 3 \cdot 4 - 1 \cdot 2$

चरण 1.5.1.2

$3$ को $4$ से गुणा करें.

$u_{upper} = 12 - 1 \cdot 2$

चरण 1.5.1.3

$- 1$ को $2$ से गुणा करें.

$u_{upper} = 12 - 2$

चरण 1.5.2

$12$ में से $2$ घटाएं.

$u_{upper} = 10$

चरण 1.6

$u_{lower}$ और $u_{upper}$ के लिए पाए गए मानों का उपयोग निश्चित समाकल का मूल्यांकन करने के लिए किया जाएगा.

$u_{lower} = 2$

$u_{upper} = 10$

चरण 1.7

$u$ , $d u$ और समाकलन की नई सीमाओं का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$\int_{2}^{10} \frac{1}{u} d u$

चरण 2

$u$ के संबंध में $\frac{1}{u}$ का इंटीग्रल $\ln (| u |)$ है.

$\ln (| u |)]_{2}^{10}$

चरण 3

$10$ पर और $2$ पर $\ln (| u |)$ का मान ज्ञात करें.

$\ln (| 10 |) - \ln (| 2 |)$

चरण 4

लघुगणक के भागफल गुण $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ का प्रयोग करें.

$\ln (\frac{| 10 |}{| 2 |})$

चरण 5

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

निरपेक्ष मान किसी संख्या और शून्य के बीच की दूरी है. $0$ और $10$ के बीच की दूरी $10$ है.

$\ln (\frac{10}{| 2 |})$

चरण 5.2

निरपेक्ष मान किसी संख्या और शून्य के बीच की दूरी है. $0$ और $2$ के बीच की दूरी $2$ है.

$\ln (\frac{10}{2})$

चरण 5.3

$10$ को $2$ से विभाजित करें.

$\ln (5)$

चरण 6

परिणाम कई रूपों में दिखाया जा सकता है.

सटीक रूप:

$\ln (5)$

दशमलव रूप:

$1.60943791 \dots$

चरण 7