कैलकुलस उदाहरण

$\int_{1}^{3} 9 r^{3} \ln (r) d r$

चरण 1

चूँकि $9$ बटे $r$ अचर है, $9$ को समाकलन से हटा दें.

$9 \int_{1}^{3} r^{3} \ln (r) d r$

चरण 2

$\int u d v = u v - \int v d u$ , जहां $u = \ln (r)$ और $d v = r^{3}$ सूत्र का उपयोग करके भागों द्वारा एकीकृत करें.

$9 (\ln (r) (\frac{1}{4} r^{4})]_{1}^{3} - \int_{1}^{3} \frac{1}{4} r^{4} \frac{1}{r} d r)$

चरण 3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

$\frac{1}{4}$ और $r^{4}$ को मिलाएं.

$9 (\ln (r) \frac{r^{4}}{4}]_{1}^{3} - \int_{1}^{3} \frac{1}{4} r^{4} \frac{1}{r} d r)$

चरण 3.2

$\ln (r)$ और $\frac{r^{4}}{4}$ को मिलाएं.

$9 (\frac{\ln (r) r^{4}}{4}]_{1}^{3} - \int_{1}^{3} \frac{1}{4} r^{4} \frac{1}{r} d r)$

चरण 3.3

$\frac{1}{4}$ और $r^{4}$ को मिलाएं.

$9 (\frac{\ln (r) r^{4}}{4}]_{1}^{3} - \int_{1}^{3} \frac{r^{4}}{4} \cdot \frac{1}{r} d r)$

चरण 3.4

$\frac{r^{4}}{4}$ को $\frac{1}{r}$ से गुणा करें.

$9 (\frac{\ln (r) r^{4}}{4}]_{1}^{3} - \int_{1}^{3} \frac{r^{4}}{4 r} d r)$

चरण 3.5

$r^{4}$ और $r$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.5.1

$r^{4}$ में से $r$ का गुणनखंड करें.

$9 (\frac{\ln (r) r^{4}}{4}]_{1}^{3} - \int_{1}^{3} \frac{r \cdot r^{3}}{4 r} d r)$

चरण 3.5.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.5.2.1

$4 r$ में से $r$ का गुणनखंड करें.

$9 (\frac{\ln (r) r^{4}}{4}]_{1}^{3} - \int_{1}^{3} \frac{r \cdot r^{3}}{r \cdot 4} d r)$

चरण 3.5.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$9 (\frac{\ln (r) r^{4}}{4}]_{1}^{3} - \int_{1}^{3} \frac{r \cdot r^{3}}{r \cdot 4} d r)$

चरण 3.5.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$9 (\frac{\ln (r) r^{4}}{4}]_{1}^{3} - \int_{1}^{3} \frac{r^{3}}{4} d r)$

चरण 4

चूँकि $\frac{1}{4}$ बटे $r$ अचर है, $\frac{1}{4}$ को समाकलन से हटा दें.

$9 (\frac{\ln (r) r^{4}}{4}]_{1}^{3} - (\frac{1}{4} \int_{1}^{3} r^{3} d r))$

चरण 5

घात नियम के अनुसार, $r$ के संबंध में $r^{3}$ का समाकलन $\frac{1}{4} r^{4}$ है.

$9 (\frac{\ln (r) r^{4}}{4}]_{1}^{3} - \frac{1}{4} \frac{1}{4} r^{4}]_{1}^{3})$

चरण 6

उत्तर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1.1

$\frac{1}{4}$ और $r^{4}$ को मिलाएं.

$9 (\frac{\ln (r) r^{4}}{4}]_{1}^{3} - \frac{1}{4} \frac{r^{4}}{4}]_{1}^{3})$

चरण 6.1.2

$\frac{r^{4}}{4}]_{1}^{3}$ और $\frac{1}{4}$ को मिलाएं.

$9 (\frac{\ln (r) r^{4}}{4}]_{1}^{3} - \frac{\frac{r^{4}}{4}]_{1}^{3}}{4})$

चरण 6.2

प्रतिस्थापित करें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.1

$3$ पर और $1$ पर $\frac{\ln (r) r^{4}}{4}$ का मान ज्ञात करें.

$9 ((\frac{\ln (3) \cdot 3^{4}}{4}) - \frac{\ln (1) \cdot 1^{4}}{4} - \frac{\frac{r^{4}}{4}]_{1}^{3}}{4})$

चरण 6.2.2

$3$ पर और $1$ पर $\frac{r^{4}}{4}$ का मान ज्ञात करें.

$9 ((\frac{\ln (3) \cdot 3^{4}}{4}) - \frac{\ln (1) \cdot 1^{4}}{4} - \frac{(\frac{3^{4}}{4}) - \frac{1^{4}}{4}}{4})$

चरण 6.2.3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.3.1

$3$ को $4$ के घात तक बढ़ाएं.

$9 (\frac{\ln (3) \cdot 81}{4} - \frac{\ln (1) \cdot 1^{4}}{4} - \frac{(\frac{3^{4}}{4}) - \frac{1^{4}}{4}}{4})$

चरण 6.2.3.2

$81$ को $\ln (3)$ के बाईं ओर ले जाएं.

$9 (\frac{81 \cdot \ln (3)}{4} - \frac{\ln (1) \cdot 1^{4}}{4} - \frac{(\frac{3^{4}}{4}) - \frac{1^{4}}{4}}{4})$

चरण 6.2.3.3

एक का कोई भी घात एक होता है.

$9 (\frac{81 \ln (3)}{4} - \frac{\ln (1) \cdot 1}{4} - \frac{(\frac{3^{4}}{4}) - \frac{1^{4}}{4}}{4})$

चरण 6.2.3.4

$\ln (1)$ को $1$ से गुणा करें.

$9 (\frac{81 \ln (3)}{4} - \frac{\ln (1)}{4} - \frac{(\frac{3^{4}}{4}) - \frac{1^{4}}{4}}{4})$

चरण 6.2.3.5

$3$ को $4$ के घात तक बढ़ाएं.

$9 (\frac{81 \ln (3)}{4} - \frac{\ln (1)}{4} - \frac{\frac{81}{4} - \frac{1^{4}}{4}}{4})$

चरण 6.2.3.6

एक का कोई भी घात एक होता है.

$9 (\frac{81 \ln (3)}{4} - \frac{\ln (1)}{4} - \frac{\frac{81}{4} - \frac{1}{4}}{4})$

चरण 6.2.3.7

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$9 (\frac{81 \ln (3)}{4} - \frac{\ln (1)}{4} - \frac{\frac{81 - 1}{4}}{4})$

चरण 6.2.3.8

$81$ में से $1$ घटाएं.

$9 (\frac{81 \ln (3)}{4} - \frac{\ln (1)}{4} - \frac{\frac{80}{4}}{4})$

चरण 6.2.3.9

$80$ और $4$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.3.9.1

$80$ में से $4$ का गुणनखंड करें.

$9 (\frac{81 \ln (3)}{4} - \frac{\ln (1)}{4} - \frac{\frac{4 \cdot 20}{4}}{4})$

चरण 6.2.3.9.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.3.9.2.1

$4$ में से $4$ का गुणनखंड करें.

$9 (\frac{81 \ln (3)}{4} - \frac{\ln (1)}{4} - \frac{\frac{4 \cdot 20}{4 (1)}}{4})$

चरण 6.2.3.9.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$9 (\frac{81 \ln (3)}{4} - \frac{\ln (1)}{4} - \frac{\frac{4 \cdot 20}{4 \cdot 1}}{4})$

चरण 6.2.3.9.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$9 (\frac{81 \ln (3)}{4} - \frac{\ln (1)}{4} - \frac{\frac{20}{1}}{4})$

चरण 6.2.3.9.2.4

$20$ को $1$ से विभाजित करें.

$9 (\frac{81 \ln (3)}{4} - \frac{\ln (1)}{4} - \frac{20}{4})$

चरण 6.2.3.10

$20$ और $4$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.3.10.1

$20$ में से $4$ का गुणनखंड करें.

$9 (\frac{81 \ln (3)}{4} - \frac{\ln (1)}{4} - \frac{4 \cdot 5}{4})$

चरण 6.2.3.10.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.3.10.2.1

$4$ में से $4$ का गुणनखंड करें.

$9 (\frac{81 \ln (3)}{4} - \frac{\ln (1)}{4} - \frac{4 \cdot 5}{4 (1)})$

चरण 6.2.3.10.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$9 (\frac{81 \ln (3)}{4} - \frac{\ln (1)}{4} - \frac{4 \cdot 5}{4 \cdot 1})$

चरण 6.2.3.10.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$9 (\frac{81 \ln (3)}{4} - \frac{\ln (1)}{4} - \frac{5}{1})$

चरण 6.2.3.10.2.4

$5$ को $1$ से विभाजित करें.

$9 (\frac{81 \ln (3)}{4} - \frac{\ln (1)}{4} - 1 \cdot 5)$

चरण 6.2.3.11

$- 1$ को $5$ से गुणा करें.

$9 (\frac{81 \ln (3)}{4} - \frac{\ln (1)}{4} - 5)$

चरण 7

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$9 (- 5 + \frac{81 \ln (3) - \ln (1)}{4})$

चरण 7.2

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.1

$1$ का प्राकृतिक लघुगणक $0$ है.

$9 (- 5 + \frac{81 \ln (3) - 0}{4})$

चरण 7.2.2

$- 1$ को $0$ से गुणा करें.

$9 (- 5 + \frac{81 \ln (3) + 0}{4})$

चरण 7.3

$81 \ln (3)$ और $0$ जोड़ें.

$9 (- 5 + \frac{81 \ln (3)}{4})$

चरण 7.4

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$9 \cdot - 5 + 9 \frac{81 \ln (3)}{4}$

चरण 7.5

$9$ को $- 5$ से गुणा करें.

$- 45 + 9 \frac{81 \ln (3)}{4}$

चरण 7.6

$9 \frac{81 \ln (3)}{4}$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.6.1

$9$ और $\frac{81 \ln (3)}{4}$ को मिलाएं.

$- 45 + \frac{9 (81 \ln (3))}{4}$

चरण 7.6.2

$81$ को $9$ से गुणा करें.

$- 45 + \frac{729 \ln (3)}{4}$

चरण 8

परिणाम कई रूपों में दिखाया जा सकता है.

सटीक रूप:

$- 45 + \frac{729 \ln (3)}{4}$

दशमलव रूप:

$155.22208960 \dots$