कैलकुलस उदाहरण

$\int_{1}^{e} \frac{1 - \ln (x)}{x} d x$

चरण 1

भिन्न को अनेक भिन्नों में विभाजित करें.

$\int_{1}^{e} \frac{1}{x} + \frac{- \ln (x)}{x} d x$

चरण 2

एकल समाकलन को कई समाकलन में विभाजित करें.

$\int_{1}^{e} \frac{1}{x} d x + \int_{1}^{e} \frac{- \ln (x)}{x} d x$

चरण 3

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$\int_{1}^{e} \frac{1}{x} d x + \int_{1}^{e} - \frac{\ln (x)}{x} d x$

चरण 4

$x$ के संबंध में $\frac{1}{x}$ का इंटीग्रल $\ln (| x |)$ है.

$\ln (| x |)]_{1}^{e} + \int_{1}^{e} - \frac{\ln (x)}{x} d x$

चरण 5

चूँकि $- 1$ बटे $x$ अचर है, $- 1$ को समाकलन से हटा दें.

$\ln (| x |)]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} \frac{\ln (x)}{x} d x$

चरण 6

मान लीजिए $u = \ln (x)$ .फिर $d u = \frac{1}{x} d x$ , तो $x d u = d x$ . $u$ और $d$ $u$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

मान लें $u = \ln (x)$ . $\frac{d u}{d x}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1.1

$\ln (x)$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d x} [\ln (x)]$

चरण 6.1.2

$x$ के संबंध में $\ln (x)$ का व्युत्पन्न $\frac{1}{x}$ है.

$\frac{1}{x}$

चरण 6.2

$x$ के लिए $u = \ln (x)$ में निचली सीमा को प्रतिस्थापित करें.

$u_{lower} = \ln (1)$

चरण 6.3

$1$ का प्राकृतिक लघुगणक $0$ है.

$u_{lower} = 0$

चरण 6.4

$x$ के लिए $u = \ln (x)$ में ऊपरी सीमा को प्रतिस्थापित करें.

$u_{upper} = \ln (e)$

चरण 6.5

$e$ का प्राकृतिक लघुगणक $1$ है.

$u_{upper} = 1$

चरण 6.6

$u_{lower}$ और $u_{upper}$ के लिए पाए गए मानों का उपयोग निश्चित समाकल का मूल्यांकन करने के लिए किया जाएगा.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 1$

चरण 6.7

$u$ , $d u$ और समाकलन की नई सीमाओं का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$\ln (| x |)]_{1}^{e} - \int_{0}^{1} u d u$

चरण 7

घात नियम के अनुसार, $u$ के संबंध में $u$ का समाकलन $\frac{1}{2} u^{2}$ है.

$\ln (| x |)]_{1}^{e} - (\frac{1}{2} u^{2}]_{0}^{1})$

चरण 8

$\frac{1}{2}$ और $u^{2}$ को मिलाएं.

$\ln (| x |)]_{1}^{e} - (\frac{u^{2}}{2}]_{0}^{1})$

चरण 9

प्रतिस्थापित करें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1

$e$ पर और $1$ पर $\ln (| x |)$ का मान ज्ञात करें.

$(\ln (| e |)) - \ln (| 1 |) - (\frac{u^{2}}{2}]_{0}^{1})$

चरण 9.2

$1$ पर और $0$ पर $\frac{u^{2}}{2}$ का मान ज्ञात करें.

$(\ln (| e |)) - \ln (| 1 |) - ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

चरण 9.3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.3.1

एक का कोई भी घात एक होता है.

$\ln (| e |) - \ln (| 1 |) - (\frac{1}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

चरण 9.3.2

$0$ को किसी भी धनात्मक घात तक बढ़ाने से $0$ प्राप्त होता है.

$\ln (| e |) - \ln (| 1 |) - (\frac{1}{2} - \frac{0}{2})$

चरण 9.3.3

$0$ और $2$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.3.3.1

$0$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\ln (| e |) - \ln (| 1 |) - (\frac{1}{2} - \frac{2 (0)}{2})$

चरण 9.3.3.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.3.3.2.1

$2$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\ln (| e |) - \ln (| 1 |) - (\frac{1}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})$

चरण 9.3.3.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\ln (| e |) - \ln (| 1 |) - (\frac{1}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})$

चरण 9.3.3.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\ln (| e |) - \ln (| 1 |) - (\frac{1}{2} - \frac{0}{1})$

चरण 9.3.3.2.4

$0$ को $1$ से विभाजित करें.

$\ln (| e |) - \ln (| 1 |) - (\frac{1}{2} - 0)$

चरण 9.3.4

$- 1$ को $0$ से गुणा करें.

$\ln (| e |) - \ln (| 1 |) - (\frac{1}{2} + 0)$

चरण 9.3.5

$\frac{1}{2}$ और $0$ जोड़ें.

$\ln (| e |) - \ln (| 1 |) - \frac{1}{2}$

चरण 10

लघुगणक के भागफल गुण $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ का प्रयोग करें.

$\ln (\frac{| e |}{| 1 |}) - \frac{1}{2}$

चरण 11

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.1

$e$ लगभग $2.71828182$ है जो सकारात्मक है इसलिए निरपेक्ष मान हटा दें

$\ln (\frac{e}{| 1 |}) - \frac{1}{2}$

चरण 11.2

निरपेक्ष मान किसी संख्या और शून्य के बीच की दूरी है. $0$ और $1$ के बीच की दूरी $1$ है.

$\ln (\frac{e}{1}) - \frac{1}{2}$

चरण 11.3

$e$ को $1$ से विभाजित करें.

$\ln (e) - \frac{1}{2}$

चरण 12

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.1

$e$ का प्राकृतिक लघुगणक $1$ है.

$1 - \frac{1}{2}$

चरण 12.2

एक सामान्य भाजक के साथ $1$ को भिन्न के रूप में लिखें.

$\frac{2}{2} - \frac{1}{2}$

चरण 12.3

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{2 - 1}{2}$

चरण 12.4

$2$ में से $1$ घटाएं.

$\frac{1}{2}$

चरण 13

परिणाम कई रूपों में दिखाया जा सकता है.

सटीक रूप:

$\frac{1}{2}$

दशमलव रूप:

$0.5$