कैलकुलस उदाहरण

$\int_{1}^{e} 6 x^{2} \ln (x) d x$

चरण 1

चूँकि $6$ बटे $x$ अचर है, $6$ को समाकलन से हटा दें.

$6 \int_{1}^{e} x^{2} \ln (x) d x$

चरण 2

$\int u d v = u v - \int v d u$ , जहां $u = \ln (x)$ और $d v = x^{2}$ सूत्र का उपयोग करके भागों द्वारा एकीकृत करें.

$6 (\ln (x) (\frac{1}{3} x^{3})]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} \frac{1}{3} x^{3} \frac{1}{x} d x)$

चरण 3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

$\frac{1}{3}$ और $x^{3}$ को मिलाएं.

$6 (\ln (x) \frac{x^{3}}{3}]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} \frac{1}{3} x^{3} \frac{1}{x} d x)$

चरण 3.2

$\ln (x)$ और $\frac{x^{3}}{3}$ को मिलाएं.

$6 (\frac{\ln (x) x^{3}}{3}]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} \frac{1}{3} x^{3} \frac{1}{x} d x)$

चरण 3.3

$\frac{1}{3}$ और $x^{3}$ को मिलाएं.

$6 (\frac{\ln (x) x^{3}}{3}]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} \frac{x^{3}}{3} \cdot \frac{1}{x} d x)$

चरण 3.4

$\frac{x^{3}}{3}$ को $\frac{1}{x}$ से गुणा करें.

$6 (\frac{\ln (x) x^{3}}{3}]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} \frac{x^{3}}{3 x} d x)$

चरण 3.5

$x^{3}$ और $x$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.5.1

$x^{3}$ में से $x$ का गुणनखंड करें.

$6 (\frac{\ln (x) x^{3}}{3}]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} \frac{x \cdot x^{2}}{3 x} d x)$

चरण 3.5.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.5.2.1

$3 x$ में से $x$ का गुणनखंड करें.

$6 (\frac{\ln (x) x^{3}}{3}]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} \frac{x \cdot x^{2}}{x \cdot 3} d x)$

चरण 3.5.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$6 (\frac{\ln (x) x^{3}}{3}]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} \frac{x \cdot x^{2}}{x \cdot 3} d x)$

चरण 3.5.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$6 (\frac{\ln (x) x^{3}}{3}]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} \frac{x^{2}}{3} d x)$

चरण 4

चूँकि $\frac{1}{3}$ बटे $x$ अचर है, $\frac{1}{3}$ को समाकलन से हटा दें.

$6 (\frac{\ln (x) x^{3}}{3}]_{1}^{e} - (\frac{1}{3} \int_{1}^{e} x^{2} d x))$

चरण 5

घात नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x^{2}$ का समाकलन $\frac{1}{3} x^{3}$ है.

$6 (\frac{\ln (x) x^{3}}{3}]_{1}^{e} - \frac{1}{3} \frac{1}{3} x^{3}]_{1}^{e})$

चरण 6

उत्तर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1.1

$\frac{1}{3}$ और $x^{3}$ को मिलाएं.

$6 (\frac{\ln (x) x^{3}}{3}]_{1}^{e} - \frac{1}{3} \frac{x^{3}}{3}]_{1}^{e})$

चरण 6.1.2

$\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{e}$ और $\frac{1}{3}$ को मिलाएं.

$6 (\frac{\ln (x) x^{3}}{3}]_{1}^{e} - \frac{\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{e}}{3})$

चरण 6.2

प्रतिस्थापित करें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.1

$e$ पर और $1$ पर $\frac{\ln (x) x^{3}}{3}$ का मान ज्ञात करें.

$6 ((\frac{\ln (e) e^{3}}{3}) - \frac{\ln (1) \cdot 1^{3}}{3} - \frac{\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{e}}{3})$

चरण 6.2.2

$e$ पर और $1$ पर $\frac{x^{3}}{3}$ का मान ज्ञात करें.

$6 ((\frac{\ln (e) e^{3}}{3}) - \frac{\ln (1) \cdot 1^{3}}{3} - \frac{(\frac{e^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3}}{3})$

चरण 6.2.3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.3.1

एक का कोई भी घात एक होता है.

$6 (\frac{\ln (e) e^{3}}{3} - \frac{\ln (1) \cdot 1}{3} - \frac{(\frac{e^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3}}{3})$

चरण 6.2.3.2

$\ln (1)$ को $1$ से गुणा करें.

$6 (\frac{\ln (e) e^{3}}{3} - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{(\frac{e^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3}}{3})$

चरण 6.2.3.3

एक का कोई भी घात एक होता है.

$6 (\frac{\ln (e) e^{3}}{3} - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{\frac{e^{3}}{3} - \frac{1}{3}}{3})$

चरण 6.2.3.4

$\frac{\frac{e^{3}}{3} - \frac{1}{3}}{3}$ को $\frac{3}{3}$ से गुणा करें.

$6 (\frac{\ln (e) e^{3}}{3} - \frac{\ln (1)}{3} - (\frac{3}{3} \cdot \frac{\frac{e^{3}}{3} - \frac{1}{3}}{3}))$

चरण 6.2.3.5

जोड़ना.

$6 (\frac{\ln (e) e^{3}}{3} - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{3 (\frac{e^{3}}{3} - \frac{1}{3})}{3 \cdot 3})$

चरण 6.2.3.6

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$6 (\frac{\ln (e) e^{3}}{3} - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{3 \frac{e^{3}}{3} + 3 (- \frac{1}{3})}{3 \cdot 3})$

चरण 6.2.3.7

$3$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.3.7.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$6 (\frac{\ln (e) e^{3}}{3} - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{3 \frac{e^{3}}{3} + 3 (- \frac{1}{3})}{3 \cdot 3})$

चरण 6.2.3.7.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$6 (\frac{\ln (e) e^{3}}{3} - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{e^{3} + 3 (- \frac{1}{3})}{3 \cdot 3})$

चरण 6.2.3.8

$- 1$ को $3$ से गुणा करें.

$6 (\frac{\ln (e) e^{3}}{3} - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{e^{3} - 3 (\frac{1}{3})}{3 \cdot 3})$

चरण 6.2.3.9

$- 3$ और $\frac{1}{3}$ को मिलाएं.

$6 (\frac{\ln (e) e^{3}}{3} - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{e^{3} + \frac{- 3}{3}}{3 \cdot 3})$

चरण 6.2.3.10

$- 3$ और $3$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.3.10.1

$- 3$ में से $3$ का गुणनखंड करें.

$6 (\frac{\ln (e) e^{3}}{3} - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{e^{3} + \frac{3 \cdot - 1}{3}}{3 \cdot 3})$

चरण 6.2.3.10.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.3.10.2.1

$3$ में से $3$ का गुणनखंड करें.

$6 (\frac{\ln (e) e^{3}}{3} - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{e^{3} + \frac{3 \cdot - 1}{3 (1)}}{3 \cdot 3})$

चरण 6.2.3.10.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$6 (\frac{\ln (e) e^{3}}{3} - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{e^{3} + \frac{3 \cdot - 1}{3 \cdot 1}}{3 \cdot 3})$

चरण 6.2.3.10.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$6 (\frac{\ln (e) e^{3}}{3} - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{e^{3} + \frac{- 1}{1}}{3 \cdot 3})$

चरण 6.2.3.10.2.4

$- 1$ को $1$ से विभाजित करें.

$6 (\frac{\ln (e) e^{3}}{3} - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{e^{3} - 1}{3 \cdot 3})$

चरण 6.2.3.11

$3$ को $3$ से गुणा करें.

$6 (\frac{\ln (e) e^{3}}{3} - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{e^{3} - 1}{9})$

चरण 6.2.3.12

$\frac{\ln (e) e^{3}}{3}$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{3}{3}$ से गुणा करें.

$6 (\frac{\ln (e) e^{3}}{3} \cdot \frac{3}{3} - \frac{e^{3} - 1}{9} - \frac{\ln (1)}{3})$

चरण 6.2.3.13

प्रत्येक व्यंजक को $9$ के सामान्य भाजक के साथ लिखें, प्रत्येक को $1$ के उपयुक्त गुणनखंड से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.3.13.1

$\frac{\ln (e) e^{3}}{3}$ को $\frac{3}{3}$ से गुणा करें.

$6 (\frac{\ln (e) e^{3} \cdot 3}{3 \cdot 3} - \frac{e^{3} - 1}{9} - \frac{\ln (1)}{3})$

चरण 6.2.3.13.2

$3$ को $3$ से गुणा करें.

$6 (\frac{\ln (e) e^{3} \cdot 3}{9} - \frac{e^{3} - 1}{9} - \frac{\ln (1)}{3})$

चरण 6.2.3.14

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$6 (\frac{\ln (e) e^{3} \cdot 3 - (e^{3} - 1)}{9} - \frac{\ln (1)}{3})$

चरण 6.2.3.15

$3$ को $\ln (e) e^{3}$ के बाईं ओर ले जाएं.

$6 (\frac{3 \ln (e) e^{3} - (e^{3} - 1)}{9} - \frac{\ln (1)}{3})$

चरण 7

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1.1

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1.1.1

$e$ का प्राकृतिक लघुगणक $1$ है.

$6 (\frac{3 \cdot 1 e^{3} - (e^{3} - 1)}{9} - \frac{\ln (1)}{3})$

चरण 7.1.1.2

$3$ को $1$ से गुणा करें.

$6 (\frac{3 e^{3} - (e^{3} - 1)}{9} - \frac{\ln (1)}{3})$

चरण 7.1.1.3

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$6 (\frac{3 e^{3} - e^{3} - - 1}{9} - \frac{\ln (1)}{3})$

चरण 7.1.1.4

$- 1$ को $- 1$ से गुणा करें.

$6 (\frac{3 e^{3} - e^{3} + 1}{9} - \frac{\ln (1)}{3})$

चरण 7.1.1.5

$3 e^{3}$ में से $e^{3}$ घटाएं.

$6 (\frac{2 e^{3} + 1}{9} - \frac{\ln (1)}{3})$

चरण 7.1.2

$1$ का प्राकृतिक लघुगणक $0$ है.

$6 (\frac{2 e^{3} + 1}{9} - \frac{0}{3})$

चरण 7.1.3

$0$ को $3$ से विभाजित करें.

$6 (\frac{2 e^{3} + 1}{9} - 0)$

चरण 7.1.4

$- 1$ को $0$ से गुणा करें.

$6 (\frac{2 e^{3} + 1}{9} + 0)$

चरण 7.2

$\frac{2 e^{3} + 1}{9}$ और $0$ जोड़ें.

$6 \frac{2 e^{3} + 1}{9}$

चरण 7.3

$3$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.3.1

$6$ में से $3$ का गुणनखंड करें.

$3 (2) \frac{2 e^{3} + 1}{9}$

चरण 7.3.2

$9$ में से $3$ का गुणनखंड करें.

$3 \cdot 2 \frac{2 e^{3} + 1}{3 \cdot 3}$

चरण 7.3.3

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$3 \cdot 2 \frac{2 e^{3} + 1}{3 \cdot 3}$

चरण 7.3.4

व्यंजक को फिर से लिखें.

$2 \frac{2 e^{3} + 1}{3}$

चरण 7.4

$2$ और $\frac{2 e^{3} + 1}{3}$ को मिलाएं.

$\frac{2 (2 e^{3} + 1)}{3}$

चरण 8

परिणाम कई रूपों में दिखाया जा सकता है.

सटीक रूप:

$\frac{2 (2 e^{3} + 1)}{3}$

दशमलव रूप:

$27.44738256 \dots$