कैलकुलस उदाहरण

$(\cos (0) + \cos (\frac{π}{8}) + \cos (\frac{π}{4}) + \cos (\frac{3 π}{8})) (\frac{π}{8})$

चरण 1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

$\cos (0)$ का सटीक मान $1$ है.

$(1 + \cos (\frac{π}{8}) + \cos (\frac{π}{4}) + \cos (\frac{3 π}{8})) \frac{π}{8}$

चरण 1.2

$\cos (\frac{π}{8})$ का सटीक मान $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.1

$\frac{π}{8}$ को एक कोण के रूप में फिर से लिखें जहां छह त्रिकोणमितीय फलनों के मान $2$ से विभाजित हों.

$(1 + \cos (\frac{\frac{π}{4}}{2}) + \cos (\frac{π}{4}) + \cos (\frac{3 π}{8})) \frac{π}{8}$

चरण 1.2.2

कोज्या अर्ध-कोण सर्वसमिका $\cos (\frac{x}{2}) = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos (x)}{2}}$ लागू करें.

$(1 \pm \sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{π}{4})}{2}} + \cos (\frac{π}{4}) + \cos (\frac{3 π}{8})) \frac{π}{8}$

चरण 1.2.3

$\pm$ को $+$ में बदलें क्योंकि पहले चतुर्थांश में कोज्या धनात्मक है.

$(1 + \sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{π}{4})}{2}} + \cos (\frac{π}{4}) + \cos (\frac{3 π}{8})) \frac{π}{8}$

चरण 1.2.4

$\cos (\frac{π}{4})$ का सटीक मान $\frac{\sqrt{2}}{2}$ है.

$(1 + \sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}} + \cos (\frac{π}{4}) + \cos (\frac{3 π}{8})) \frac{π}{8}$

चरण 1.2.5

$\sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.5.1

एक सामान्य भाजक के साथ $1$ को भिन्न के रूप में लिखें.

$(1 + \sqrt{\frac{\frac{2}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}} + \cos (\frac{π}{4}) + \cos (\frac{3 π}{8})) \frac{π}{8}$

चरण 1.2.5.2

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$(1 + \sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}{2}} + \cos (\frac{π}{4}) + \cos (\frac{3 π}{8})) \frac{π}{8}$

चरण 1.2.5.3

भाजक के प्रतिलोम से न्यूमेरेटर को गुणा करें.

$(1 + \sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}} + \cos (\frac{π}{4}) + \cos (\frac{3 π}{8})) \frac{π}{8}$

चरण 1.2.5.4

$\frac{2 + \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.5.4.1

$\frac{2 + \sqrt{2}}{2}$ को $\frac{1}{2}$ से गुणा करें.

$(1 + \sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{2 \cdot 2}} + \cos (\frac{π}{4}) + \cos (\frac{3 π}{8})) \frac{π}{8}$

चरण 1.2.5.4.2

$2$ को $2$ से गुणा करें.

$(1 + \sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{4}} + \cos (\frac{π}{4}) + \cos (\frac{3 π}{8})) \frac{π}{8}$

चरण 1.2.5.5

$\sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{4}}$ को $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{4}}$ के रूप में फिर से लिखें.

$(1 + \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{4}} + \cos (\frac{π}{4}) + \cos (\frac{3 π}{8})) \frac{π}{8}$

चरण 1.2.5.6

भाजक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.5.6.1

$4$ को $2^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$(1 + \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{2^{2}}} + \cos (\frac{π}{4}) + \cos (\frac{3 π}{8})) \frac{π}{8}$

चरण 1.2.5.6.2

धनात्मक वास्तविक संख्या मानकर, करणी के अंतर्गत पदों को बाहर निकालें.

$(1 + \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + \cos (\frac{π}{4}) + \cos (\frac{3 π}{8})) \frac{π}{8}$

चरण 1.3

$\cos (\frac{π}{4})$ का सटीक मान $\frac{\sqrt{2}}{2}$ है.

$(1 + \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} + \cos (\frac{3 π}{8})) \frac{π}{8}$

चरण 1.4

$\cos (\frac{3 π}{8})$ का सटीक मान $\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.1

$\frac{3 π}{8}$ को एक कोण के रूप में फिर से लिखें जहां छह त्रिकोणमितीय फलनों के मान $2$ से विभाजित हों.

$(1 + \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} + \cos (\frac{\frac{3 π}{4}}{2})) \frac{π}{8}$

चरण 1.4.2

कोज्या अर्ध-कोण सर्वसमिका $\cos (\frac{x}{2}) = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos (x)}{2}}$ लागू करें.

$(1 + \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \pm \sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{3 π}{4})}{2}}) \frac{π}{8}$

चरण 1.4.3

$\pm$ को $+$ में बदलें क्योंकि पहले चतुर्थांश में कोज्या धनात्मक है.

$(1 + \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} + \sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{3 π}{4})}{2}}) \frac{π}{8}$

चरण 1.4.4

$\sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{3 π}{4})}{2}}$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.4.1

पहले चतुर्थांश में तुल्य त्रिभुज मानों वाला कोण ज्ञात करके संदर्भ कोण लागू करें. व्यंजक को ऋणात्मक बनाएंं क्योंकि दूसरे चतुर्थांश में कोज्या ऋणात्मक है.

$(1 + \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} + \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{π}{4})}{2}}) \frac{π}{8}$

चरण 1.4.4.2

$\cos (\frac{π}{4})$ का सटीक मान $\frac{\sqrt{2}}{2}$ है.

$(1 + \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} + \sqrt{\frac{1 - \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}) \frac{π}{8}$

चरण 1.4.4.3

एक सामान्य भाजक के साथ $1$ को भिन्न के रूप में लिखें.

$(1 + \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} + \sqrt{\frac{\frac{2}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}) \frac{π}{8}$

चरण 1.4.4.4

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$(1 + \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} + \sqrt{\frac{\frac{2 - \sqrt{2}}{2}}{2}}) \frac{π}{8}$

चरण 1.4.4.5

भाजक के प्रतिलोम से न्यूमेरेटर को गुणा करें.

$(1 + \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} + \sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}}) \frac{π}{8}$

चरण 1.4.4.6

$\frac{2 - \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.4.6.1

$\frac{2 - \sqrt{2}}{2}$ को $\frac{1}{2}$ से गुणा करें.

$(1 + \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} + \sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{2 \cdot 2}}) \frac{π}{8}$

चरण 1.4.4.6.2

$2$ को $2$ से गुणा करें.

$(1 + \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} + \sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{4}}) \frac{π}{8}$

चरण 1.4.4.7

$\sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{4}}$ को $\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{\sqrt{4}}$ के रूप में फिर से लिखें.

$(1 + \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{\sqrt{4}}) \frac{π}{8}$

चरण 1.4.4.8

भाजक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.4.8.1

$4$ को $2^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$(1 + \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{\sqrt{2^{2}}}) \frac{π}{8}$

चरण 1.4.4.8.2

धनात्मक वास्तविक संख्या मानकर, करणी के अंतर्गत पदों को बाहर निकालें.

$(1 + \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}) \frac{π}{8}$

चरण 2

से गुणा करके सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

एक सामान्य भाजक के साथ $1$ को भिन्न के रूप में लिखें.

$(\frac{2}{2} + \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}) \frac{π}{8}$

चरण 2.2

न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$(\frac{2 + \sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}) \frac{π}{8}$

चरण 2.2.2

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$(\frac{2 + \sqrt{2 + \sqrt{2}} + \sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}) \frac{π}{8}$

चरण 2.3

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{2 + \sqrt{2 + \sqrt{2}} + \sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} \cdot \frac{π}{8} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{π}{8}$

चरण 3

$\frac{2 + \sqrt{2 + \sqrt{2}} + \sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} \cdot \frac{π}{8}$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

$\frac{2 + \sqrt{2 + \sqrt{2}} + \sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}$ को $\frac{π}{8}$ से गुणा करें.

$\frac{(2 + \sqrt{2 + \sqrt{2}} + \sqrt{2 - \sqrt{2}}) π}{2 \cdot 8} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{π}{8}$

चरण 3.2

$2$ को $8$ से गुणा करें.

$\frac{(2 + \sqrt{2 + \sqrt{2}} + \sqrt{2 - \sqrt{2}}) π}{16} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{π}{8}$

चरण 4

$\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{π}{8}$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

$\frac{\sqrt{2}}{2}$ को $\frac{π}{8}$ से गुणा करें.

$\frac{(2 + \sqrt{2 + \sqrt{2}} + \sqrt{2 - \sqrt{2}}) π}{16} + \frac{\sqrt{2} π}{2 \cdot 8}$

चरण 4.2

$2$ को $8$ से गुणा करें.

$\frac{(2 + \sqrt{2 + \sqrt{2}} + \sqrt{2 - \sqrt{2}}) π}{16} + \frac{\sqrt{2} π}{16}$

चरण 5

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{(2 + \sqrt{2 + \sqrt{2}} + \sqrt{2 - \sqrt{2}}) π + \sqrt{2} π}{16}$

चरण 6

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{2 π + \sqrt{2 + \sqrt{2}} π + \sqrt{2 - \sqrt{2}} π + \sqrt{2} π}{16}$

चरण 7

परिणाम कई रूपों में दिखाया जा सकता है.

सटीक रूप:

$\frac{2 π + \sqrt{2 + \sqrt{2}} π + \sqrt{2 - \sqrt{2}} π + \sqrt{2} π}{16}$

दशमलव रूप:

$1.18346534 \dots$