कैलकुलस उदाहरण

$f (x) = 2 \ln (\frac{x}{2} + 1)$

चरण 1

$f (x) = 2 \ln (\frac{x}{2} + 1)$ को एक समीकरण के रूप में लिखें.

$y = 2 \ln (\frac{x}{2} + 1)$

चरण 2

चर को एकदूसरे के साथ बदलें.

$x = 2 \ln (\frac{y}{2} + 1)$

चरण 3

$y$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

समीकरण को $2 \ln (\frac{y}{2} + 1) = x$ के रूप में फिर से लिखें.

$2 \ln (\frac{y}{2} + 1) = x$

चरण 3.2

$2 \ln (\frac{y}{2} + 1) = x$ के प्रत्येक पद को $2$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.1

$2 \ln (\frac{y}{2} + 1) = x$ के प्रत्येक पद को $2$ से विभाजित करें.

$\frac{2 \ln (\frac{y}{2} + 1)}{2} = \frac{x}{2}$

चरण 3.2.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.2.1

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{2 \ln (\frac{y}{2} + 1)}{2} = \frac{x}{2}$

चरण 3.2.2.1.2

$\ln (\frac{y}{2} + 1)$ को $1$ से विभाजित करें.

$\ln (\frac{y}{2} + 1) = \frac{x}{2}$

चरण 3.3

$y$ के लिए हल करने के लिए, लघुगणक के गुणों का उपयोग करके समीकरण को फिर से लिखें.

$e^{\ln (\frac{y}{2} + 1)} = e^{\frac{x}{2}}$

चरण 3.4

लघुगणक की परिभाषा का उपयोग करते हुए $\ln (\frac{y}{2} + 1) = \frac{x}{2}$ को घातीय रूप में फिर से लिखें. अगर $x$ और $b$ धनात्मक वास्तविक संख्याएं हैं और $b \neq 1$ , तो $\log_{b} (x) = y$ $b^{y} = x$ के बराबर है.

$e^{\frac{x}{2}} = \frac{y}{2} + 1$

चरण 3.5

$y$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.5.1

समीकरण को $\frac{y}{2} + 1 = e^{\frac{x}{2}}$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{y}{2} + 1 = e^{\frac{x}{2}}$

चरण 3.5.2

समीकरण के दोनों पक्षों से $1$ घटाएं.

$\frac{y}{2} = e^{\frac{x}{2}} - 1$

चरण 3.5.3

समीकरण के दोनों पक्षों को $2$ से गुणा करें.

$2 \frac{y}{2} = 2 (e^{\frac{x}{2}} - 1)$

चरण 3.5.4

समीकरण के दोनों पक्षों को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.5.4.1

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.5.4.1.1

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.5.4.1.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$2 \frac{y}{2} = 2 (e^{\frac{x}{2}} - 1)$

चरण 3.5.4.1.1.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$y = 2 (e^{\frac{x}{2}} - 1)$

चरण 3.5.4.2

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.5.4.2.1

$2 (e^{\frac{x}{2}} - 1)$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.5.4.2.1.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$y = 2 e^{\frac{x}{2}} + 2 \cdot - 1$

चरण 3.5.4.2.1.2

$2$ को $- 1$ से गुणा करें.

$y = 2 e^{\frac{x}{2}} - 2$

चरण 4

अंतिम उत्तर दिखाने के लिए $y$ को $f^{- 1} (x)$ से बदलें.

$f^{- 1} (x) = 2 e^{\frac{x}{2}} - 2$

चरण 5

सत्यापित करें कि क्या $f^{- 1} (x) = 2 e^{\frac{x}{2}} - 2$ , $f (x) = 2 \ln (\frac{x}{2} + 1)$ का व्युत्क्रम है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

व्युत्क्रम सत्यापित करने के लिए, जांचें कि क्या $f^{- 1} (f (x)) = x$ और $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

चरण 5.2

$f^{- 1} (f (x))$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.1

समग्र परिणाम फलन सेट करें.

$f^{- 1} (f (x))$

चरण 5.2.2

$f^{- 1}$ में $f$ का मान प्रतिस्थापित करके $f^{- 1} (2 \ln (\frac{x}{2} + 1))$ का मान ज्ञात करें.

$f^{- 1} (2 \ln (\frac{x}{2} + 1)) = 2 e^{\frac{2 \ln (\frac{x}{2} + 1)}{2}} - 2$

चरण 5.2.3

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.3.1

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.3.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$f^{- 1} (2 \ln (\frac{x}{2} + 1)) = 2 e^{\frac{2 \ln (\frac{x}{2} + 1)}{2}} - 2$

चरण 5.2.3.1.2

$\ln (\frac{x}{2} + 1)$ को $1$ से विभाजित करें.

$f^{- 1} (2 \ln (\frac{x}{2} + 1)) = 2 e^{\ln (\frac{x}{2} + 1)} - 2$

चरण 5.2.3.2

चरघातांक और लघुगणक व्युत्क्रम फलन होते हैं

$f^{- 1} (2 \ln (\frac{x}{2} + 1)) = 2 (\frac{x}{2} + 1) - 2$

चरण 5.2.3.3

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$f^{- 1} (2 \ln (\frac{x}{2} + 1)) = 2 (\frac{x}{2}) + 2 \cdot 1 - 2$

चरण 5.2.3.4

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.3.4.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$f^{- 1} (2 \ln (\frac{x}{2} + 1)) = 2 (\frac{x}{2}) + 2 \cdot 1 - 2$

चरण 5.2.3.4.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$f^{- 1} (2 \ln (\frac{x}{2} + 1)) = x + 2 \cdot 1 - 2$

चरण 5.2.3.5

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$f^{- 1} (2 \ln (\frac{x}{2} + 1)) = x + 2 - 2$

चरण 5.2.4

$x + 2 - 2$ में विपरीत पदों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.4.1

$2$ में से $2$ घटाएं.

$f^{- 1} (2 \ln (\frac{x}{2} + 1)) = x + 0$

चरण 5.2.4.2

$x$ और $0$ जोड़ें.

$f^{- 1} (2 \ln (\frac{x}{2} + 1)) = x$

चरण 5.3

$f (f^{- 1} (x))$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.1

समग्र परिणाम फलन सेट करें.

$f (f^{- 1} (x))$

चरण 5.3.2

$f$ में $f^{- 1}$ का मान प्रतिस्थापित करके $f (2 e^{\frac{x}{2}} - 2)$ का मान ज्ञात करें.

$f (2 e^{\frac{x}{2}} - 2) = 2 \ln (\frac{2 e^{\frac{x}{2}} - 2}{2} + 1)$

चरण 5.3.3

$2 e^{\frac{x}{2}} - 2$ और $2$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.3.1

$2 e^{\frac{x}{2}}$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$f (2 e^{\frac{x}{2}} - 2) = 2 \ln (\frac{2 (e^{\frac{x}{2}}) - 2}{2} + 1)$

चरण 5.3.3.2

$- 2$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$f (2 e^{\frac{x}{2}} - 2) = 2 \ln (\frac{2 (e^{\frac{x}{2}}) + 2 \cdot - 1}{2} + 1)$

चरण 5.3.3.3

$2 (e^{\frac{x}{2}}) + 2 (- 1)$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$f (2 e^{\frac{x}{2}} - 2) = 2 \ln (\frac{2 (e^{\frac{x}{2}} - 1)}{2} + 1)$

चरण 5.3.3.4

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.3.4.1

$2$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$f (2 e^{\frac{x}{2}} - 2) = 2 \ln (\frac{2 (e^{\frac{x}{2}} - 1)}{2 (1)} + 1)$

चरण 5.3.3.4.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$f (2 e^{\frac{x}{2}} - 2) = 2 \ln (\frac{2 (e^{\frac{x}{2}} - 1)}{2 \cdot 1} + 1)$

चरण 5.3.3.4.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$f (2 e^{\frac{x}{2}} - 2) = 2 \ln (\frac{e^{\frac{x}{2}} - 1}{1} + 1)$

चरण 5.3.3.4.4

$e^{\frac{x}{2}} - 1$ को $1$ से विभाजित करें.

$f (2 e^{\frac{x}{2}} - 2) = 2 \ln (e^{\frac{x}{2}} - 1 + 1)$

चरण 5.3.4

$e^{\frac{x}{2}} - 1 + 1$ में विपरीत पदों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.4.1

$- 1$ और $1$ जोड़ें.

$f (2 e^{\frac{x}{2}} - 2) = 2 \ln (e^{\frac{x}{2}} + 0)$

चरण 5.3.4.2

$e^{\frac{x}{2}}$ और $0$ जोड़ें.

$f (2 e^{\frac{x}{2}} - 2) = 2 \ln (e^{\frac{x}{2}})$

चरण 5.3.5

$\frac{x}{2}$ को घातांक से बाहर निकालने के लिए लघुगणक नियमों का प्रयोग करें.

$f (2 e^{\frac{x}{2}} - 2) = 2 (\frac{x}{2} \cdot \ln (e))$

चरण 5.3.6

$e$ का प्राकृतिक लघुगणक $1$ है.

$f (2 e^{\frac{x}{2}} - 2) = 2 (\frac{x}{2} \cdot 1)$

चरण 5.3.7

$\frac{x}{2}$ को $1$ से गुणा करें.

$f (2 e^{\frac{x}{2}} - 2) = 2 (\frac{x}{2})$

चरण 5.3.8

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.8.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$f (2 e^{\frac{x}{2}} - 2) = 2 (\frac{x}{2})$

चरण 5.3.8.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$f (2 e^{\frac{x}{2}} - 2) = x$

चरण 5.4

चूँकि $f^{- 1} (f (x)) = x$ और $f (f^{- 1} (x)) = x$ , तो $f^{- 1} (x) = 2 e^{\frac{x}{2}} - 2$ , $f (x) = 2 \ln (\frac{x}{2} + 1)$ का व्युत्क्रम है.

$f^{- 1} (x) = 2 e^{\frac{x}{2}} - 2$