कैलकुलस उदाहरण

$\int \sin (9 t) + \sin (2 t) d t$

चरण 1

एकल समाकलन को कई समाकलन में विभाजित करें.

$\int \sin (9 t) d t + \int \sin (2 t) d t$

चरण 2

मान लीजिए $u_{1} = 9 t$ .फिर $d u_{1} = 9 d t$ , तो $\frac{1}{9} d u_{1} = d t$ . $u_{1}$ और $d$ $u_{1}$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

मान लें $u_{1} = 9 t$ . $\frac{d u_{1}}{d t}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.1

$9 t$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d t} [9 t]$

चरण 2.1.2

चूंकि $9$ , $t$ के संबंध में स्थिर है, $t$ के संबंध में $9 t$ का व्युत्पन्न $9 \frac{d}{d t} [t]$ है.

$9 \frac{d}{d t} [t]$

चरण 2.1.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ $n t^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$9 \cdot 1$

चरण 2.1.4

$9$ को $1$ से गुणा करें.

$9$

चरण 2.2

$u_{1}$ और $d u_{1}$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$\int \sin (u_{1}) \frac{1}{9} d u_{1} + \int \sin (2 t) d t$

चरण 3

$\sin (u_{1})$ और $\frac{1}{9}$ को मिलाएं.

$\int \frac{\sin (u_{1})}{9} d u_{1} + \int \sin (2 t) d t$

चरण 4

चूँकि $\frac{1}{9}$ बटे $u_{1}$ अचर है, $\frac{1}{9}$ को समाकलन से हटा दें.

$\frac{1}{9} \int \sin (u_{1}) d u_{1} + \int \sin (2 t) d t$

चरण 5

$u_{1}$ के संबंध में $\sin (u_{1})$ का इंटीग्रल $- \cos (u_{1})$ है.

$\frac{1}{9} (- \cos (u_{1}) + C) + \int \sin (2 t) d t$

चरण 6

मान लीजिए $u_{2} = 2 t$ .फिर $d u_{2} = 2 d t$ , तो $\frac{1}{2} d u_{2} = d t$ . $u_{2}$ और $d$ $u_{2}$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

मान लें $u_{2} = 2 t$ . $\frac{d u_{2}}{d t}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1.1

$2 t$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d t} [2 t]$

चरण 6.1.2

चूंकि $2$ , $t$ के संबंध में स्थिर है, $t$ के संबंध में $2 t$ का व्युत्पन्न $2 \frac{d}{d t} [t]$ है.

$2 \frac{d}{d t} [t]$

चरण 6.1.3

$2 \cdot 1$

चरण 6.1.4

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$2$

चरण 6.2

$u_{2}$ और $d u_{2}$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$\frac{1}{9} (- \cos (u_{1}) + C) + \int \sin (u_{2}) \frac{1}{2} d u_{2}$

चरण 7

$\sin (u_{2})$ और $\frac{1}{2}$ को मिलाएं.

$\frac{1}{9} (- \cos (u_{1}) + C) + \int \frac{\sin (u_{2})}{2} d u_{2}$

चरण 8

चूँकि $\frac{1}{2}$ बटे $u_{2}$ अचर है, $\frac{1}{2}$ को समाकलन से हटा दें.

$\frac{1}{9} (- \cos (u_{1}) + C) + \frac{1}{2} \int \sin (u_{2}) d u_{2}$

चरण 9

$u_{2}$ के संबंध में $\sin (u_{2})$ का इंटीग्रल $- \cos (u_{2})$ है.

$\frac{1}{9} (- \cos (u_{1}) + C) + \frac{1}{2} (- \cos (u_{2}) + C)$

चरण 10

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.1

सरल करें.

$- \frac{\cos (u_{1})}{9} + \frac{1}{2} (- \cos (u_{2})) + C$

चरण 10.2

$\frac{1}{2}$ और $\cos (u_{2})$ को मिलाएं.

$- \frac{\cos (u_{1})}{9} - \frac{\cos (u_{2})}{2} + C$

चरण 11

प्रत्येक एकीकरण प्रतिस्थापन चर के लिए वापस प्रतिस्थापित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.1

$u_{1}$ की सभी घटनाओं को $9 t$ से बदलें.

$- \frac{\cos (9 t)}{9} - \frac{\cos (u_{2})}{2} + C$

चरण 11.2

$u_{2}$ की सभी घटनाओं को $2 t$ से बदलें.

$- \frac{\cos (9 t)}{9} - \frac{\cos (2 t)}{2} + C$

चरण 12

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$- \frac{1}{9} \cos (9 t) - \frac{1}{2} \cos (2 t) + C$