कैलकुलस उदाहरण

$\int_{\ln (27)}^{\ln (216)} e^{\frac{x}{3}} d x$

चरण 1

मान लीजिए $u = \frac{x}{3}$ .फिर $d u = \frac{1}{3} d x$ , तो $3 d u = d x$ . $u$ और $d$ $u$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

मान लें $u = \frac{x}{3}$ . $\frac{d u}{d x}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1

$\frac{x}{3}$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d x} [\frac{x}{3}]$

चरण 1.1.2

चूंकि $\frac{1}{3}$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $\frac{x}{3}$ का व्युत्पन्न $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x]$ है.

$\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x]$

चरण 1.1.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$\frac{1}{3} \cdot 1$

चरण 1.1.4

$\frac{1}{3}$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{1}{3}$

चरण 1.2

$x$ के लिए $u = \frac{x}{3}$ में निचली सीमा को प्रतिस्थापित करें.

$u_{lower} = \frac{\ln (27)}{3}$

चरण 1.3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.1

$\ln (27)$ को $\ln (3^{3})$ के रूप में फिर से लिखें.

$u_{lower} = \frac{\ln (3^{3})}{3}$

चरण 1.3.2

$3$ को लघुगणक के बाहर ले जाकर $\ln (3^{3})$ का प्रसार करें.

$u_{lower} = \frac{3 \ln (3)}{3}$

चरण 1.3.3

$3$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.3.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$u_{lower} = \frac{3 \ln (3)}{3}$

चरण 1.3.3.2

$\ln (3)$ को $1$ से विभाजित करें.

$u_{lower} = \ln (3)$

चरण 1.4

$x$ के लिए $u = \frac{x}{3}$ में ऊपरी सीमा को प्रतिस्थापित करें.

$u_{upper} = \frac{\ln (216)}{3}$

चरण 1.5

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.5.1

$\frac{\ln (216)}{3}$ को $\frac{1}{3} \ln (216)$ के रूप में फिर से लिखें.

$u_{upper} = \frac{1}{3} \ln (216)$

चरण 1.5.2

$\frac{1}{3}$ को लघुगणक के अंदर ले जाकर $\frac{1}{3} \ln (216)$ को सरल करें.

$u_{upper} = \ln (216^{\frac{1}{3}})$

चरण 1.5.3

$216$ को $6^{3}$ के रूप में फिर से लिखें.

$u_{upper} = \ln ({(6^{3})}^{\frac{1}{3}})$

चरण 1.5.4

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$u_{upper} = \ln (6^{3 (\frac{1}{3})})$

चरण 1.5.5

$3$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.5.5.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$u_{upper} = \ln (6^{3 (\frac{1}{3})})$

चरण 1.5.5.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$u_{upper} = \ln (6^{1})$

चरण 1.5.6

घातांक का मान ज्ञात करें.

$u_{upper} = \ln (6)$

चरण 1.6

$u_{lower}$ और $u_{upper}$ के लिए पाए गए मानों का उपयोग निश्चित समाकल का मूल्यांकन करने के लिए किया जाएगा.

$u_{lower} = \ln (3)$

$u_{upper} = \ln (6)$

चरण 1.7

$u$ , $d u$ और समाकलन की नई सीमाओं का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$\int_{\ln (3)}^{\ln (6)} e^{u} \frac{1}{\frac{1}{3}} d u$

चरण 2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

$\frac{1}{3}$ से भाग देने के लिए भिन्न के प्रतिलोम से गुणा करें.

$\int_{\ln (3)}^{\ln (6)} e^{u} (1 \cdot 3) d u$

चरण 2.2

$3$ को $1$ से गुणा करें.

$\int_{\ln (3)}^{\ln (6)} e^{u} \cdot 3 d u$

चरण 2.3

$3$ को $e^{u}$ के बाईं ओर ले जाएं.

$\int_{\ln (3)}^{\ln (6)} 3 e^{u} d u$

चरण 3

चूँकि $3$ बटे $u$ अचर है, $3$ को समाकलन से हटा दें.

$3 \int_{\ln (3)}^{\ln (6)} e^{u} d u$

चरण 4

$u$ के संबंध में $e^{u}$ का इंटीग्रल $e^{u}$ है.

$3 (e^{u}]_{\ln (3)}^{\ln (6)})$

चरण 5

प्रतिस्थापित करें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

$\ln (6)$ पर और $\ln (3)$ पर $e^{u}$ का मान ज्ञात करें.

$3 ((e^{\ln (6)}) - e^{\ln (3)})$

चरण 5.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.1

चरघातांक और लघुगणक व्युत्क्रम फलन होते हैं

$3 (6 - e^{\ln (3)})$

चरण 5.2.2

चरघातांक और लघुगणक व्युत्क्रम फलन होते हैं

$3 (6 - 1 \cdot 3)$

चरण 5.2.3

$- 1$ को $3$ से गुणा करें.

$3 (6 - 3)$

चरण 5.2.4

$6$ में से $3$ घटाएं.

$3 \cdot 3$

चरण 5.2.5

$3$ को $3$ से गुणा करें.

$9$

चरण 6