कैलकुलस उदाहरण

$\int \frac{1}{x \sqrt{9 - 4 x^{2}}} d x$

चरण 1

मान लीजिए $x = \frac{3}{2} \sin (t)$ , जहां $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . फिर $d x = \frac{3 \cos (t)}{2} d t$ . ध्यान दें कि $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ से, $\frac{3 \cos (t)}{2}$ सकारात्मक है.

$\int \frac{1}{\frac{3}{2} \sin (t) \sqrt{9 - 4 {(\frac{3}{2} \sin (t))}^{2}}} \cdot \frac{3 \cos (t)}{2} d t$

चरण 2

पदों को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

$\sqrt{9 - 4 {(\frac{3}{2} \sin (t))}^{2}}$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.1.1

$\frac{3}{2}$ और $\sin (t)$ को मिलाएं.

$\int \frac{1}{\frac{3}{2} \sin (t) \sqrt{9 - 4 {(\frac{3 \sin (t)}{2})}^{2}}} \cdot \frac{3 \cos (t)}{2} d t$

चरण 2.1.1.2

घातांक वितरण करने के लिए घात नियम ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ का उपयोग करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.1.2.1

उत्पाद नियम को $\frac{3 \sin (t)}{2}$ पर लागू करें.

$\int \frac{1}{\frac{3}{2} \sin (t) \sqrt{9 - 4 \frac{{(3 \sin (t))}^{2}}{2^{2}}}} \cdot \frac{3 \cos (t)}{2} d t$

चरण 2.1.1.2.2

उत्पाद नियम को $3 \sin (t)$ पर लागू करें.

$\int \frac{1}{\frac{3}{2} \sin (t) \sqrt{9 - 4 \frac{3^{2} \sin^{2} (t)}{2^{2}}}} \cdot \frac{3 \cos (t)}{2} d t$

चरण 2.1.1.3

$3$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$\int \frac{1}{\frac{3}{2} \sin (t) \sqrt{9 - 4 \frac{9 \sin^{2} (t)}{2^{2}}}} \cdot \frac{3 \cos (t)}{2} d t$

चरण 2.1.1.4

$2$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$\int \frac{1}{\frac{3}{2} \sin (t) \sqrt{9 - 4 \frac{9 \sin^{2} (t)}{4}}} \cdot \frac{3 \cos (t)}{2} d t$

चरण 2.1.1.5

$4$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.1.5.1

$- 4$ में से $4$ का गुणनखंड करें.

$\int \frac{1}{\frac{3}{2} \sin (t) \sqrt{9 + 4 (- 1) \frac{9 \sin^{2} (t)}{4}}} \cdot \frac{3 \cos (t)}{2} d t$

चरण 2.1.1.5.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\int \frac{1}{\frac{3}{2} \sin (t) \sqrt{9 + 4 \cdot - 1 \frac{9 \sin^{2} (t)}{4}}} \cdot \frac{3 \cos (t)}{2} d t$

चरण 2.1.1.5.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\int \frac{1}{\frac{3}{2} \sin (t) \sqrt{9 - 1 (9 \sin^{2} (t))}} \cdot \frac{3 \cos (t)}{2} d t$

चरण 2.1.1.6

$9$ को $- 1$ से गुणा करें.

$\int \frac{1}{\frac{3}{2} \sin (t) \sqrt{9 - 9 \sin^{2} (t)}} \cdot \frac{3 \cos (t)}{2} d t$

चरण 2.1.2

$9$ में से $9$ का गुणनखंड करें.

$\int \frac{1}{\frac{3}{2} \sin (t) \sqrt{9 (1) - 9 \sin^{2} (t)}} \cdot \frac{3 \cos (t)}{2} d t$

चरण 2.1.3

$- 9 \sin^{2} (t)$ में से $9$ का गुणनखंड करें.

$\int \frac{1}{\frac{3}{2} \sin (t) \sqrt{9 (1) + 9 (- \sin^{2} (t))}} \cdot \frac{3 \cos (t)}{2} d t$

चरण 2.1.4

$9 (1) + 9 (- \sin^{2} (t))$ में से $9$ का गुणनखंड करें.

$\int \frac{1}{\frac{3}{2} \sin (t) \sqrt{9 (1 - \sin^{2} (t))}} \cdot \frac{3 \cos (t)}{2} d t$

चरण 2.1.5

पाइथागोरस सर्वसमिका लागू करें.

$\int \frac{1}{\frac{3}{2} \sin (t) \sqrt{9 \cos^{2} (t)}} \cdot \frac{3 \cos (t)}{2} d t$

चरण 2.1.6

$9 \cos^{2} (t)$ को ${(3 \cos (t))}^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$\int \frac{1}{\frac{3}{2} \sin (t) \sqrt{{(3 \cos (t))}^{2}}} \cdot \frac{3 \cos (t)}{2} d t$

चरण 2.1.7

धनात्मक वास्तविक संख्या मानकर, करणी के अंतर्गत पदों को बाहर निकालें.

$\int \frac{1}{\frac{3}{2} \sin (t) (3 \cos (t))} \cdot \frac{3 \cos (t)}{2} d t$

चरण 2.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1

$\frac{3}{2}$ और $\sin (t)$ को मिलाएं.

$\int \frac{1}{\frac{3 \sin (t)}{2} (3 \cos (t))} \cdot \frac{3 \cos (t)}{2} d t$

चरण 2.2.2

$3$ और $\frac{3 \sin (t)}{2}$ को मिलाएं.

$\int \frac{1}{\frac{3 (3 \sin (t))}{2} \cos (t)} \cdot \frac{3 \cos (t)}{2} d t$

चरण 2.2.3

$3$ को $3$ से गुणा करें.

$\int \frac{1}{\frac{9 \sin (t)}{2} \cos (t)} \cdot \frac{3 \cos (t)}{2} d t$

चरण 2.2.4

$\frac{9 \sin (t)}{2}$ और $\cos (t)$ को मिलाएं.

$\int \frac{1}{\frac{9 \sin (t) \cos (t)}{2}} \cdot \frac{3 \cos (t)}{2} d t$

चरण 2.2.5

$\frac{9 \sin (t) \cos (t)}{2}$ से भाग देने के लिए भिन्न के प्रतिलोम से गुणा करें.

$\int 1 \frac{2}{9 \sin (t) \cos (t)} \frac{3 \cos (t)}{2} d t$

चरण 2.2.6

$\frac{2}{9 \sin (t) \cos (t)}$ को $1$ से गुणा करें.

$\int \frac{2}{9 \sin (t) \cos (t)} \cdot \frac{3 \cos (t)}{2} d t$

चरण 2.2.7

$\frac{2}{9 \sin (t) \cos (t)}$ को $\frac{3 \cos (t)}{2}$ से गुणा करें.

$\int \frac{2 (3 \cos (t))}{9 \sin (t) \cos (t) \cdot 2} d t$

चरण 2.2.8

$3$ को $2$ से गुणा करें.

$\int \frac{6 \cos (t)}{9 \sin (t) \cos (t) \cdot 2} d t$

चरण 2.2.9

$2$ को $9$ से गुणा करें.

$\int \frac{6 \cos (t)}{18 \sin (t) \cos (t)} d t$

चरण 2.2.10

$6$ और $18$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.10.1

$6 \cos (t)$ में से $6$ का गुणनखंड करें.

$\int \frac{6 (\cos (t))}{18 \sin (t) \cos (t)} d t$

चरण 2.2.10.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.10.2.1

$18 \sin (t) \cos (t)$ में से $6$ का गुणनखंड करें.

$\int \frac{6 (\cos (t))}{6 (3 \sin (t) \cos (t))} d t$

चरण 2.2.10.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\int \frac{6 \cos (t)}{6 (3 \sin (t) \cos (t))} d t$

चरण 2.2.10.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\int \frac{\cos (t)}{3 \sin (t) \cos (t)} d t$

चरण 2.2.11

$\cos (t)$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.11.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\int \frac{\cos (t)}{3 \sin (t) \cos (t)} d t$

चरण 2.2.11.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\int \frac{1}{3 \sin (t)} d t$

चरण 3

चूँकि $\frac{1}{3}$ बटे $t$ अचर है, $\frac{1}{3}$ को समाकलन से हटा दें.

$\frac{1}{3} \int \frac{1}{\sin (t)} d t$

चरण 4

$\frac{1}{\sin (t)}$ को $\csc (t)$ में बदलें.

$\frac{1}{3} \int \csc (t) d t$

चरण 5

$t$ के संबंध में $\csc (t)$ का इंटीग्रल $\ln (| \csc (t) - \cot (t) |)$ है.

$\frac{1}{3} (\ln (| \csc (t) - \cot (t) |) + C)$

चरण 6

सरल करें.

$\frac{1}{3} \ln (| \csc (t) - \cot (t) |) + C$

चरण 7

$t$ की सभी घटनाओं को $\arcsin (\frac{2 x}{3})$ से बदलें.

$\frac{1}{3} \ln (| \csc (\arcsin (\frac{2 x}{3})) - \cot (\arcsin (\frac{2 x}{3})) |) + C$

चरण 8

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$\frac{1}{3} \ln (| \csc (\arcsin (\frac{2}{3} x)) - \cot (\arcsin (\frac{2}{3} x)) |) + C$