कैलकुलस उदाहरण

$\int \frac{\ln (1 + \sqrt{x})}{\sqrt{x}} d x$

चरण 1

घातांक के बुनियादी नियम लागू करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

$\sqrt{x}$ को $x^{\frac{1}{2}}$ के रूप में फिर से लिखने के लिए $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ का उपयोग करें.

$\int \frac{\ln (1 + x^{\frac{1}{2}})}{\sqrt{x}} d x$

चरण 1.2

$\sqrt{x}$ को $x^{\frac{1}{2}}$ के रूप में फिर से लिखने के लिए $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ का उपयोग करें.

$\int \frac{\ln (1 + x^{\frac{1}{2}})}{x^{\frac{1}{2}}} d x$

चरण 1.3

$x^{\frac{1}{2}}$ को भाजक में से $- 1$ पावर तक बढ़ा कर हटा दें.

$\int \ln (1 + x^{\frac{1}{2}}) {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x$

चरण 1.4

घातांक को ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ में गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.1

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int \ln (1 + x^{\frac{1}{2}}) x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x$

चरण 1.4.2

$\frac{1}{2}$ और $- 1$ को मिलाएं.

$\int \ln (1 + x^{\frac{1}{2}}) x^{\frac{- 1}{2}} d x$

चरण 1.4.3

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$\int \ln (1 + x^{\frac{1}{2}}) x^{- \frac{1}{2}} d x$

चरण 2

मान लीजिए $u = 1 + x^{\frac{1}{2}}$ .फिर $d u = \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} d x$ , तो $- d u = \frac{- 1}{2 x^{\frac{1}{2}}} d x$ . $u$ और $d$ $u$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

मान लें $u = 1 + x^{\frac{1}{2}}$ . $\frac{d u}{d x}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.1

$1 + x^{\frac{1}{2}}$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d x} [1 + x^{\frac{1}{2}}]$

चरण 2.1.2

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.2.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $1 + x^{\frac{1}{2}}$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ है.

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

चरण 2.1.2.2

चूंकि $x$ के संबंध में $1$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$0 + \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

चरण 2.1.3

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.3.1

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = \frac{1}{2}$ है.

$0 + \frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}$

चरण 2.1.3.2

$- 1$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{2}{2}$ से गुणा करें.

$0 + \frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}$

चरण 2.1.3.3

$- 1$ और $\frac{2}{2}$ को मिलाएं.

$0 + \frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}$

चरण 2.1.3.4

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$0 + \frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}$

चरण 2.1.3.5

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.3.5.1

$- 1$ को $2$ से गुणा करें.

$0 + \frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}$

चरण 2.1.3.5.2

$1$ में से $2$ घटाएं.

$0 + \frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}$

चरण 2.1.3.6

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$0 + \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}$

चरण 2.1.4

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.4.1

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का प्रयोग करके व्यंजक को फिर से लिखें.

$0 + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$

चरण 2.1.4.2

पदों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.4.2.1

$\frac{1}{2}$ को $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ से गुणा करें.

$0 + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

चरण 2.1.4.2.2

$0$ और $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ जोड़ें.

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

चरण 2.2

$u$ और $d u$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$\int 2 \ln (u) d u$

चरण 3

चूँकि $2$ बटे $u$ अचर है, $2$ को समाकलन से हटा दें.

$2 \int \ln (u) d u$

चरण 4

$\int w d v = w v - \int v d w$ , जहां $w = \ln (u)$ और $dv = 1$ सूत्र का उपयोग करके भागों द्वारा एकीकृत करें.

$2 (\ln (u) u - \int u \frac{1}{u} d u)$

चरण 5

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

$u$ और $\frac{1}{u}$ को मिलाएं.

$2 (\ln (u) u - \int \frac{u}{u} d u)$

चरण 5.2

$u$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$2 (\ln (u) u - \int \frac{u}{u} d u)$

चरण 5.2.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$2 (\ln (u) u - \int d u)$

चरण 6

स्थिरांक नियम लागू करें.

$2 (\ln (u) u - (u + C))$

चरण 7

सरल करें.

$2 (\ln (u) u - u) + C$

चरण 8

$u$ की सभी घटनाओं को $1 + x^{\frac{1}{2}}$ से बदलें.

$2 (\ln (1 + x^{\frac{1}{2}}) (1 + x^{\frac{1}{2}}) - (1 + x^{\frac{1}{2}})) + C$

चरण 9

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$2 (\ln (1 + x^{\frac{1}{2}}) (1 + x^{\frac{1}{2}}) - 1 \cdot 1 - x^{\frac{1}{2}}) + C$

चरण 9.2

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$2 (\ln (1 + x^{\frac{1}{2}}) (1 + x^{\frac{1}{2}}) - 1 - x^{\frac{1}{2}}) + C$

चरण 9.3

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$2 (\ln (1 + x^{\frac{1}{2}}) (1 + x^{\frac{1}{2}})) + 2 \cdot - 1 + 2 (- x^{\frac{1}{2}}) + C$

चरण 9.4

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.4.1

$2$ को $- 1$ से गुणा करें.

$2 \ln (1 + x^{\frac{1}{2}}) (1 + x^{\frac{1}{2}}) - 2 + 2 (- x^{\frac{1}{2}}) + C$

चरण 9.4.2

$- 1$ को $2$ से गुणा करें.

$2 \ln (1 + x^{\frac{1}{2}}) (1 + x^{\frac{1}{2}}) - 2 - 2 x^{\frac{1}{2}} + C$