कैलकुलस उदाहरण

$\int e^{2 x} \sin (e^{x}) d x$

चरण 1

मान लीजिए $u_{1} = 2 x$ .फिर $d u_{1} = 2 d x$ , तो $\frac{1}{2} d u_{1} = d x$ . $u_{1}$ और $d$ $u_{1}$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

मान लें $u_{1} = 2 x$ . $\frac{d u_{1}}{d x}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1

$2 x$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d x} [2 x]$

चरण 1.1.2

चूंकि $2$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $2 x$ का व्युत्पन्न $2 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$2 \frac{d}{d x} [x]$

चरण 1.1.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$2 \cdot 1$

चरण 1.1.4

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$2$

चरण 1.2

$u_{1}$ और $d u_{1}$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$\int e^{u_{1}} \sin (e^{\frac{u_{1}}{2}}) \frac{1}{2} d u_{1}$

चरण 2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

$\frac{1}{2}$ और $e^{u_{1}}$ को मिलाएं.

$\int \frac{e^{u_{1}}}{2} \sin (e^{\frac{u_{1}}{2}}) d u_{1}$

चरण 2.2

$\frac{e^{u_{1}}}{2}$ और $\sin (e^{\frac{u_{1}}{2}})$ को मिलाएं.

$\int \frac{e^{u_{1}} \sin (e^{\frac{u_{1}}{2}})}{2} d u_{1}$

चरण 3

चूँकि $\frac{1}{2}$ बटे $u_{1}$ अचर है, $\frac{1}{2}$ को समाकलन से हटा दें.

$\frac{1}{2} \int e^{u_{1}} \sin (e^{\frac{u_{1}}{2}}) d u_{1}$

चरण 4

मान लीजिए $u_{2} = \frac{u_{1}}{2}$ .फिर $d u_{2} = \frac{1}{2} d u_{1}$ , तो $2 d u_{2} = d u_{1}$ . $u_{2}$ और $d$ $u_{2}$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

मान लें $u_{2} = \frac{u_{1}}{2}$ . $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.1

$\frac{u_{1}}{2}$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d u_{1}} [\frac{u_{1}}{2}]$

चरण 4.1.2

चूंकि $\frac{1}{2}$ , $u_{1}$ के संबंध में स्थिर है, $u_{1}$ के संबंध में $\frac{u_{1}}{2}$ का व्युत्पन्न $\frac{1}{2} \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$ है.

$\frac{1}{2} \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$

चरण 4.1.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ $n {u_{1}}^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$\frac{1}{2} \cdot 1$

चरण 4.1.4

$\frac{1}{2}$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{1}{2}$

चरण 4.2

$u_{2}$ और $d u_{2}$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$\frac{1}{2} \int e^{2 u_{2}} \sin (e^{u_{2}}) \frac{1}{\frac{1}{2}} d u_{2}$

चरण 5

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

$\frac{1}{2}$ से भाग देने के लिए भिन्न के प्रतिलोम से गुणा करें.

$\frac{1}{2} \int e^{2 u_{2}} \sin (e^{u_{2}}) (1 \cdot 2) d u_{2}$

चरण 5.2

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{1}{2} \int e^{2 u_{2}} \sin (e^{u_{2}}) \cdot 2 d u_{2}$

चरण 5.3

$2$ को $e^{2 u_{2}} \sin (e^{u_{2}})$ के बाईं ओर ले जाएं.

$\frac{1}{2} \int 2 e^{2 u_{2}} \sin (e^{u_{2}}) d u_{2}$

चरण 6

चूँकि $2$ बटे $u_{2}$ अचर है, $2$ को समाकलन से हटा दें.

$\frac{1}{2} (2 \int e^{2 u_{2}} \sin (e^{u_{2}}) d u_{2})$

चरण 7

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1

$2$ और $\frac{1}{2}$ को मिलाएं.

$\frac{2}{2} \int e^{2 u_{2}} \sin (e^{u_{2}}) d u_{2}$

चरण 7.2

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{2}{2} \int e^{2 u_{2}} \sin (e^{u_{2}}) d u_{2}$

चरण 7.2.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$1 \int e^{2 u_{2}} \sin (e^{u_{2}}) d u_{2}$

चरण 7.3

$\int e^{2 u_{2}} \sin (e^{u_{2}}) d u_{2}$ को $1$ से गुणा करें.

$\int e^{2 u_{2}} \sin (e^{u_{2}}) d u_{2}$

चरण 8

मान लीजिए $u_{3} = e^{u_{2}}$ .फिर $d u_{3} = e^{u_{2}} d u_{2}$ , तो $\frac{1}{e^{u_{2}}} d u_{3} = d u_{2}$ . $u_{3}$ और $d$ $u_{3}$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1

मान लें $u_{3} = e^{u_{2}}$ . $\frac{d u_{3}}{d u_{2}}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1.1

$e^{u_{2}}$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}]$

चरण 8.1.2

चरघातांकी नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ $a^{u_{2}} \ln (a)$ है, जहाँ $a$ = $e$ है.

$e^{u_{2}}$

चरण 8.2

$u_{3}$ और $d u_{3}$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$\int u_{3} \sin (u_{3}) d u_{3}$

चरण 9

$\int w d v = w v - \int v d w$ , जहां $w = u_{3}$ और $dv = \sin (u_{3})$ सूत्र का उपयोग करके भागों द्वारा एकीकृत करें.

$u_{3} (- \cos (u_{3})) - \int - \cos (u_{3}) d u_{3}$

चरण 10

चूँकि $- 1$ बटे $u_{3}$ अचर है, $- 1$ को समाकलन से हटा दें.

$u_{3} (- \cos (u_{3})) - - \int \cos (u_{3}) d u_{3}$

चरण 11

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.1

$- 1$ को $- 1$ से गुणा करें.

$u_{3} (- \cos (u_{3})) + 1 \int \cos (u_{3}) d u_{3}$

चरण 11.2

$\int \cos (u_{3}) d u_{3}$ को $1$ से गुणा करें.

$u_{3} (- \cos (u_{3})) + \int \cos (u_{3}) d u_{3}$

चरण 12

$u_{3}$ के संबंध में $\cos (u_{3})$ का इंटीग्रल $\sin (u_{3})$ है.

$u_{3} (- \cos (u_{3})) + \sin (u_{3}) + C$

चरण 13

$u_{3} (- \cos (u_{3})) + \sin (u_{3}) + C$ को $- u_{3} \cos (u_{3}) + \sin (u_{3}) + C$ के रूप में फिर से लिखें.

$- u_{3} \cos (u_{3}) + \sin (u_{3}) + C$

चरण 14

प्रत्येक एकीकरण प्रतिस्थापन चर के लिए वापस प्रतिस्थापित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 14.1

$u_{3}$ की सभी घटनाओं को $e^{u_{2}}$ से बदलें.

$- e^{u_{2}} \cos (e^{u_{2}}) + \sin (e^{u_{2}}) + C$

चरण 14.2

$u_{2}$ की सभी घटनाओं को $\frac{u_{1}}{2}$ से बदलें.

$- e^{\frac{u_{1}}{2}} \cos (e^{\frac{u_{1}}{2}}) + \sin (e^{\frac{u_{1}}{2}}) + C$

चरण 14.3

$u_{1}$ की सभी घटनाओं को $2 x$ से बदलें.

$- e^{\frac{2 x}{2}} \cos (e^{\frac{2 x}{2}}) + \sin (e^{\frac{2 x}{2}}) + C$

चरण 15

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 15.1

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करके व्यंजक $\frac{2 x}{2}$ को छोटा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 15.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$- e^{\frac{2 x}{2}} \cos (e^{\frac{2 x}{2}}) + \sin (e^{\frac{2 x}{2}}) + C$

चरण 15.1.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$- e^{\frac{x}{1}} \cos (e^{\frac{2 x}{2}}) + \sin (e^{\frac{2 x}{2}}) + C$

चरण 15.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करके व्यंजक $\frac{2 x}{2}$ को छोटा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 15.2.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$- e^{\frac{x}{1}} \cos (e^{\frac{2 x}{2}}) + \sin (e^{\frac{2 x}{2}}) + C$

चरण 15.2.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$- e^{\frac{x}{1}} \cos (e^{\frac{x}{1}}) + \sin (e^{\frac{2 x}{2}}) + C$

चरण 15.3

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करके व्यंजक $\frac{2 x}{2}$ को छोटा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 15.3.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$- e^{\frac{x}{1}} \cos (e^{\frac{x}{1}}) + \sin (e^{\frac{2 x}{2}}) + C$

चरण 15.3.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$- e^{\frac{x}{1}} \cos (e^{\frac{x}{1}}) + \sin (e^{\frac{x}{1}}) + C$

चरण 15.4

$x$ को $1$ से विभाजित करें.

$- e^{x} \cos (e^{\frac{x}{1}}) + \sin (e^{\frac{x}{1}}) + C$

चरण 15.5

$x$ को $1$ से विभाजित करें.

$- e^{x} \cos (e^{x}) + \sin (e^{\frac{x}{1}}) + C$

चरण 15.6

$x$ को $1$ से विभाजित करें.

$- e^{x} \cos (e^{x}) + \sin (e^{x}) + C$