कैलकुलस उदाहरण

$\int_{\frac{π}{8}}^{\frac{π}{4}} 3 \csc (2 x) d x$

चरण 1

चूँकि $3$ बटे $x$ अचर है, $3$ को समाकलन से हटा दें.

$3 \int_{\frac{π}{8}}^{\frac{π}{4}} \csc (2 x) d x$

चरण 2

मान लीजिए $u = 2 x$ .फिर $d u = 2 d x$ , तो $\frac{1}{2} d u = d x$ . $u$ और $d$ $u$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

मान लें $u = 2 x$ . $\frac{d u}{d x}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.1

$2 x$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d x} [2 x]$

चरण 2.1.2

चूंकि $2$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $2 x$ का व्युत्पन्न $2 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$2 \frac{d}{d x} [x]$

चरण 2.1.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$2 \cdot 1$

चरण 2.1.4

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$2$

चरण 2.2

$x$ के लिए $u = 2 x$ में निचली सीमा को प्रतिस्थापित करें.

$u_{lower} = 2 \frac{π}{8}$

चरण 2.3

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1

$8$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$u_{lower} = 2 \frac{π}{2 (4)}$

चरण 2.3.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$u_{lower} = 2 \frac{π}{2 \cdot 4}$

चरण 2.3.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$u_{lower} = \frac{π}{4}$

चरण 2.4

$x$ के लिए $u = 2 x$ में ऊपरी सीमा को प्रतिस्थापित करें.

$u_{upper} = 2 \frac{π}{4}$

चरण 2.5

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.5.1

$4$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2 (2)}$

चरण 2.5.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2 \cdot 2}$

चरण 2.5.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$u_{upper} = \frac{π}{2}$

चरण 2.6

$u_{lower}$ और $u_{upper}$ के लिए पाए गए मानों का उपयोग निश्चित समाकल का मूल्यांकन करने के लिए किया जाएगा.

$u_{lower} = \frac{π}{4}$

$u_{upper} = \frac{π}{2}$

चरण 2.7

$u$ , $d u$ और समाकलन की नई सीमाओं का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$3 \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}} \csc (u) \frac{1}{2} d u$

चरण 3

$\csc (u)$ और $\frac{1}{2}$ को मिलाएं.

$3 \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}} \frac{\csc (u)}{2} d u$

चरण 4

चूँकि $\frac{1}{2}$ बटे $u$ अचर है, $\frac{1}{2}$ को समाकलन से हटा दें.

$3 (\frac{1}{2} \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}} \csc (u) d u)$

चरण 5

$\frac{1}{2}$ और $3$ को मिलाएं.

$\frac{3}{2} \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}} \csc (u) d u$

चरण 6

$u$ के संबंध में $\csc (u)$ का इंटीग्रल $\ln (| \csc (u) - \cot (u) |)$ है.

$\frac{3}{2} \ln (| \csc (u) - \cot (u) |)]_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}}$

चरण 7

$\frac{π}{2}$ पर और $\frac{π}{4}$ पर $\ln (| \csc (u) - \cot (u) |)$ का मान ज्ञात करें.

$\frac{3}{2} (\ln (| \csc (\frac{π}{2}) - \cot (\frac{π}{2}) |) - \ln (| \csc (\frac{π}{4}) - \cot (\frac{π}{4}) |))$

चरण 8

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1

$\csc (\frac{π}{2})$ का सटीक मान $1$ है.

$\frac{3}{2} (\ln (| 1 - \cot (\frac{π}{2}) |) - \ln (| \csc (\frac{π}{4}) - \cot (\frac{π}{4}) |))$

चरण 8.2

$\cot (\frac{π}{2})$ का सटीक मान $0$ है.

$\frac{3}{2} (\ln (| 1 - 0 |) - \ln (| \csc (\frac{π}{4}) - \cot (\frac{π}{4}) |))$

चरण 8.3

$\csc (\frac{π}{4})$ का सटीक मान $\sqrt{2}$ है.

$\frac{3}{2} (\ln (| 1 - 0 |) - \ln (| \sqrt{2} - \cot (\frac{π}{4}) |))$

चरण 8.4

$\cot (\frac{π}{4})$ का सटीक मान $1$ है.

$\frac{3}{2} (\ln (| 1 - 0 |) - \ln (| \sqrt{2} - 1 \cdot 1 |))$

चरण 8.5

$- 1$ को $0$ से गुणा करें.

$\frac{3}{2} (\ln (| 1 + 0 |) - \ln (| \sqrt{2} - 1 \cdot 1 |))$

चरण 8.6

$1$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{3}{2} (\ln (| 1 |) - \ln (| \sqrt{2} - 1 \cdot 1 |))$

चरण 8.7

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{3}{2} (\ln (| 1 |) - \ln (| \sqrt{2} - 1 |))$

चरण 8.8

लघुगणक के भागफल गुण $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ का प्रयोग करें.

$\frac{3}{2} \ln (\frac{| 1 |}{| \sqrt{2} - 1 |})$

चरण 8.9

$\frac{3}{2}$ और $\ln (\frac{| 1 |}{| \sqrt{2} - 1 |})$ को मिलाएं.

$\frac{3 \ln (\frac{| 1 |}{| \sqrt{2} - 1 |})}{2}$

चरण 9

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1

निरपेक्ष मान किसी संख्या और शून्य के बीच की दूरी है. $0$ और $1$ के बीच की दूरी $1$ है.

$\frac{3 \ln (\frac{1}{| \sqrt{2} - 1 |})}{2}$

चरण 9.2

$\sqrt{2} - 1$ लगभग $0.41421356$ है जो सकारात्मक है इसलिए निरपेक्ष मान हटा दें

$\frac{3 \ln (\frac{1}{\sqrt{2} - 1})}{2}$

चरण 10

परिणाम कई रूपों में दिखाया जा सकता है.

सटीक रूप:

$\frac{3 \ln (\frac{1}{\sqrt{2} - 1})}{2}$

दशमलव रूप:

$1.32206038 \dots$