कैलकुलस उदाहरण

$\int_{- \frac{π}{6}}^{\frac{π}{6}} \sin (2 x) d x$

चरण 1

मान लीजिए $u = 2 x$ .फिर $d u = 2 d x$ , तो $\frac{1}{2} d u = d x$ . $u$ और $d$ $u$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

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चरण 1.1

मान लें $u = 2 x$ . $\frac{d u}{d x}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1

$2 x$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d x} [2 x]$

चरण 1.1.2

चूंकि $2$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $2 x$ का व्युत्पन्न $2 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$2 \frac{d}{d x} [x]$

चरण 1.1.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$2 \cdot 1$

चरण 1.1.4

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$2$

चरण 1.2

$x$ के लिए $u = 2 x$ में निचली सीमा को प्रतिस्थापित करें.

$u_{lower} = 2 (- \frac{π}{6})$

चरण 1.3

सरल करें.

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चरण 1.3.1

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

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चरण 1.3.1.1

$- \frac{π}{6}$ में अग्रणी ऋणात्मक को न्यूमेरेटर में ले जाएं.

$u_{lower} = 2 \frac{- π}{6}$

चरण 1.3.1.2

$6$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$u_{lower} = 2 \frac{- π}{2 (3)}$

चरण 1.3.1.3

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$u_{lower} = 2 \frac{- π}{2 \cdot 3}$

चरण 1.3.1.4

व्यंजक को फिर से लिखें.

$u_{lower} = \frac{- π}{3}$

चरण 1.3.2

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$u_{lower} = - \frac{π}{3}$

चरण 1.4

$x$ के लिए $u = 2 x$ में ऊपरी सीमा को प्रतिस्थापित करें.

$u_{upper} = 2 \frac{π}{6}$

चरण 1.5

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.5.1

$6$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2 (3)}$

चरण 1.5.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2 \cdot 3}$

चरण 1.5.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$u_{upper} = \frac{π}{3}$

चरण 1.6

$u_{lower}$ और $u_{upper}$ के लिए पाए गए मानों का उपयोग निश्चित समाकल का मूल्यांकन करने के लिए किया जाएगा.

$u_{lower} = - \frac{π}{3}$

$u_{upper} = \frac{π}{3}$

चरण 1.7

$u$ , $d u$ और समाकलन की नई सीमाओं का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$\int_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}} \sin (u) \frac{1}{2} d u$

चरण 2

$\sin (u)$ और $\frac{1}{2}$ को मिलाएं.

$\int_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}} \frac{\sin (u)}{2} d u$

चरण 3

चूँकि $\frac{1}{2}$ बटे $u$ अचर है, $\frac{1}{2}$ को समाकलन से हटा दें.

$\frac{1}{2} \int_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}} \sin (u) d u$

चरण 4

$u$ के संबंध में $\sin (u)$ का इंटीग्रल $- \cos (u)$ है.

$\frac{1}{2} - \cos (u)]_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}}$

चरण 5

$\frac{π}{3}$ पर और $- \frac{π}{3}$ पर $- \cos (u)$ का मान ज्ञात करें.

$\frac{1}{2} (- \cos (\frac{π}{3}) + \cos (- \frac{π}{3}))$

चरण 6

$\cos (\frac{π}{3})$ का सटीक मान $\frac{1}{2}$ है.

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{2} + \cos (- \frac{π}{3}))$

चरण 7

सरल करें.

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चरण 7.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

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चरण 7.1.1

$2 π$ का पूरा घुमाव तब तक जोड़ें जब तक कि कोण $0$ से बड़ा या उसके बराबर और $2 π$ से कम न हो जाए.

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{2} + \cos (\frac{5 π}{3}))$

चरण 7.1.2

पहले चतुर्थांश में तुल्य त्रिभुज मानों वाला कोण ज्ञात करके संदर्भ कोण लागू करें.

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{2} + \cos (\frac{π}{3}))$

चरण 7.1.3

$\cos (\frac{π}{3})$ का सटीक मान $\frac{1}{2}$ है.

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{2} + \frac{1}{2})$

चरण 7.2

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- 1 + 1}{2}$

चरण 7.3

$- 1$ और $1$ जोड़ें.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{2}$

चरण 7.4

$0$ को $2$ से विभाजित करें.

$\frac{1}{2} \cdot 0$

चरण 7.5

$\frac{1}{2}$ को $0$ से गुणा करें.

$0$