कैलकुलस उदाहरण

$\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}} \sin^{3} (x) \cos (x) d x$

चरण 1

मान लीजिए $u = \sin (x)$ .फिर $d u = \cos (x) d x$ , तो $\frac{1}{\cos (x)} d u = d x$ . $u$ और $d$ $u$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

मान लें $u = \sin (x)$ . $\frac{d u}{d x}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1

$\sin (x)$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d x} [\sin (x)]$

चरण 1.1.2

$x$ के संबंध में $\sin (x)$ का व्युत्पन्न $\cos (x)$ है.

$\cos (x)$

चरण 1.2

$x$ के लिए $u = \sin (x)$ में निचली सीमा को प्रतिस्थापित करें.

$u_{lower} = \sin (\frac{π}{4})$

चरण 1.3

$\sin (\frac{π}{4})$ का सटीक मान $\frac{\sqrt{2}}{2}$ है.

$u_{lower} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

चरण 1.4

$x$ के लिए $u = \sin (x)$ में ऊपरी सीमा को प्रतिस्थापित करें.

$u_{upper} = \sin (\frac{π}{2})$

चरण 1.5

$\sin (\frac{π}{2})$ का सटीक मान $1$ है.

$u_{upper} = 1$

चरण 1.6

$u_{lower}$ और $u_{upper}$ के लिए पाए गए मानों का उपयोग निश्चित समाकल का मूल्यांकन करने के लिए किया जाएगा.

$u_{lower} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$u_{upper} = 1$

चरण 1.7

$u$ , $d u$ और समाकलन की नई सीमाओं का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$\int_{\frac{\sqrt{2}}{2}}^{1} u^{3} d u$

चरण 2

घात नियम के अनुसार, $u$ के संबंध में $u^{3}$ का समाकलन $\frac{1}{4} u^{4}$ है.

$\frac{1}{4} u^{4}]_{\frac{\sqrt{2}}{2}}^{1}$

चरण 3

प्रतिस्थापित करें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

$1$ पर और $\frac{\sqrt{2}}{2}$ पर $\frac{1}{4} u^{4}$ का मान ज्ञात करें.

$(\frac{1}{4} \cdot 1^{4}) - \frac{1}{4} {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{4}$

चरण 3.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.1

एक का कोई भी घात एक होता है.

$\frac{1}{4} \cdot 1 - \frac{1}{4} {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{4}$

चरण 3.2.2

$\frac{1}{4}$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{1}{4} - \frac{1}{4} {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{4}$

चरण 4

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.1

उत्पाद नियम को $\frac{\sqrt{2}}{2}$ पर लागू करें.

$\frac{1}{4} - \frac{1}{4} \cdot \frac{{\sqrt{2}}^{4}}{2^{4}}$

चरण 4.1.2

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.2.1

${\sqrt{2}}^{4}$ को $2^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.2.1.1

$\sqrt{2}$ को $2^{\frac{1}{2}}$ के रूप में फिर से लिखने के लिए $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ का उपयोग करें.

$\frac{1}{4} - \frac{1}{4} \cdot \frac{{(2^{\frac{1}{2}})}^{4}}{2^{4}}$

चरण 4.1.2.1.2

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{4} - \frac{1}{4} \cdot \frac{2^{\frac{1}{2} \cdot 4}}{2^{4}}$

चरण 4.1.2.1.3

$\frac{1}{2}$ और $4$ को मिलाएं.

$\frac{1}{4} - \frac{1}{4} \cdot \frac{2^{\frac{4}{2}}}{2^{4}}$

चरण 4.1.2.1.4

$4$ और $2$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.2.1.4.1

$4$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\frac{1}{4} - \frac{1}{4} \cdot \frac{2^{\frac{2 \cdot 2}{2}}}{2^{4}}$

चरण 4.1.2.1.4.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.2.1.4.2.1

$2$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\frac{1}{4} - \frac{1}{4} \cdot \frac{2^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}}}{2^{4}}$

चरण 4.1.2.1.4.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{1}{4} - \frac{1}{4} \cdot \frac{2^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}}}{2^{4}}$

चरण 4.1.2.1.4.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{1}{4} - \frac{1}{4} \cdot \frac{2^{\frac{2}{1}}}{2^{4}}$

चरण 4.1.2.1.4.2.4

$2$ को $1$ से विभाजित करें.

$\frac{1}{4} - \frac{1}{4} \cdot \frac{2^{2}}{2^{4}}$

चरण 4.1.2.2

$2$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{1}{4} - \frac{1}{4} \cdot \frac{4}{2^{4}}$

चरण 4.1.3

$2$ को $4$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{1}{4} - \frac{1}{4} \cdot \frac{4}{16}$

चरण 4.1.4

$4$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.4.1

$- \frac{1}{4}$ में अग्रणी ऋणात्मक को न्यूमेरेटर में ले जाएं.

$\frac{1}{4} + \frac{- 1}{4} \cdot \frac{4}{16}$

चरण 4.1.4.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{1}{4} + \frac{- 1}{4} \cdot \frac{4}{16}$

चरण 4.1.4.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{1}{4} - \frac{1}{16}$

चरण 4.2

$\frac{1}{4}$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{4}{4}$ से गुणा करें.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{4}{4} - \frac{1}{16}$

चरण 4.3

प्रत्येक व्यंजक को $16$ के सामान्य भाजक के साथ लिखें, प्रत्येक को $1$ के उपयुक्त गुणनखंड से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.1

$\frac{1}{4}$ को $\frac{4}{4}$ से गुणा करें.

$\frac{4}{4 \cdot 4} - \frac{1}{16}$

चरण 4.3.2

$4$ को $4$ से गुणा करें.

$\frac{4}{16} - \frac{1}{16}$

चरण 4.4

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{4 - 1}{16}$

चरण 4.5

$4$ में से $1$ घटाएं.

$\frac{3}{16}$

चरण 5

परिणाम कई रूपों में दिखाया जा सकता है.

सटीक रूप:

$\frac{3}{16}$

दशमलव रूप:

$0.1875$