कैलकुलस उदाहरण

$\int_{\frac{π}{3}}^{\frac{π}{2}} \frac{\sin (x)}{\sqrt{1 + \cos (x)}} d x$

चरण 1

मान लीजिए $u = 1 + \cos (x)$ .फिर $d u = - \sin (x) d x$ , तो $- d u = \sin (x) d x$ . $u$ और $d$ $u$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

मान लें $u = 1 + \cos (x)$ . $\frac{d u}{d x}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1

$1 + \cos (x)$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d x} [1 + \cos (x)]$

चरण 1.1.2

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.2.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $1 + \cos (x)$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ है.

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

चरण 1.1.2.2

चूंकि $x$ के संबंध में $1$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$0 + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

चरण 1.1.3

$x$ के संबंध में $\cos (x)$ का व्युत्पन्न $- \sin (x)$ है.

$0 - \sin (x)$

चरण 1.1.4

$0$ में से $\sin (x)$ घटाएं.

$- \sin (x)$

चरण 1.2

$x$ के लिए $u = 1 + \cos (x)$ में निचली सीमा को प्रतिस्थापित करें.

$u_{lower} = 1 + \cos (\frac{π}{3})$

चरण 1.3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.1

$\cos (\frac{π}{3})$ का सटीक मान $\frac{1}{2}$ है.

$u_{lower} = 1 + \frac{1}{2}$

चरण 1.3.2

एक सामान्य भाजक के साथ $1$ को भिन्न के रूप में लिखें.

$u_{lower} = \frac{2}{2} + \frac{1}{2}$

चरण 1.3.3

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$u_{lower} = \frac{2 + 1}{2}$

चरण 1.3.4

$2$ और $1$ जोड़ें.

$u_{lower} = \frac{3}{2}$

चरण 1.4

$x$ के लिए $u = 1 + \cos (x)$ में ऊपरी सीमा को प्रतिस्थापित करें.

$u_{upper} = 1 + \cos (\frac{π}{2})$

चरण 1.5

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.5.1

$\cos (\frac{π}{2})$ का सटीक मान $0$ है.

$u_{upper} = 1 + 0$

चरण 1.5.2

$1$ और $0$ जोड़ें.

$u_{upper} = 1$

चरण 1.6

$u_{lower}$ और $u_{upper}$ के लिए पाए गए मानों का उपयोग निश्चित समाकल का मूल्यांकन करने के लिए किया जाएगा.

$u_{lower} = \frac{3}{2}$

$u_{upper} = 1$

चरण 1.7

$u$ , $d u$ और समाकलन की नई सीमाओं का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$\int_{\frac{3}{2}}^{1} \frac{- 1}{\sqrt{u}} d u$

चरण 2

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$\int_{\frac{3}{2}}^{1} - \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

चरण 3

चूँकि $- 1$ बटे $u$ अचर है, $- 1$ को समाकलन से हटा दें.

$- \int_{\frac{3}{2}}^{1} \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

चरण 4

घातांक के बुनियादी नियम लागू करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

$\sqrt{u}$ को $u^{\frac{1}{2}}$ के रूप में फिर से लिखने के लिए $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ का उपयोग करें.

$- \int_{\frac{3}{2}}^{1} \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

चरण 4.2

$u^{\frac{1}{2}}$ को भाजक में से $- 1$ पावर तक बढ़ा कर हटा दें.

$- \int_{\frac{3}{2}}^{1} {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

चरण 4.3

घातांक को ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ में गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.1

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \int_{\frac{3}{2}}^{1} u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

चरण 4.3.2

$\frac{1}{2}$ और $- 1$ को मिलाएं.

$- \int_{\frac{3}{2}}^{1} u^{\frac{- 1}{2}} d u$

चरण 4.3.3

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$- \int_{\frac{3}{2}}^{1} u^{- \frac{1}{2}} d u$

चरण 5

घात नियम के अनुसार, $u$ के संबंध में $u^{- \frac{1}{2}}$ का समाकलन $2 u^{\frac{1}{2}}$ है.

$- (2 u^{\frac{1}{2}}]_{\frac{3}{2}}^{1})$

चरण 6

प्रतिस्थापित करें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

$1$ पर और $\frac{3}{2}$ पर $2 u^{\frac{1}{2}}$ का मान ज्ञात करें.

$- ((2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}) - 2 {(\frac{3}{2})}^{\frac{1}{2}})$

चरण 6.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.1

एक का कोई भी घात एक होता है.

$- (2 \cdot 1 - 2 {(\frac{3}{2})}^{\frac{1}{2}})$

चरण 6.2.2

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$- (2 - 2 {(\frac{3}{2})}^{\frac{1}{2}})$

चरण 7

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$- 1 \cdot 2 - (- 2 {(\frac{3}{2})}^{\frac{1}{2}})$

चरण 7.2

$- 1$ को $2$ से गुणा करें.

$- 2 - (- 2 {(\frac{3}{2})}^{\frac{1}{2}})$

चरण 7.3

$- 2$ को $- 1$ से गुणा करें.

$- 2 + 2 {(\frac{3}{2})}^{\frac{1}{2}}$

चरण 8

परिणाम कई रूपों में दिखाया जा सकता है.

सटीक रूप:

$- 2 + 2 {(\frac{3}{2})}^{\frac{1}{2}}$

दशमलव रूप:

$0.44948974 \dots$