कैलकुलस उदाहरण

$\int e^{2 x} \cos (4 x) d x$

चरण 1

$e^{2 x}$ और $\cos (4 x)$ को पुन: क्रमित करें.

$\int \cos (4 x) e^{2 x} d x$

चरण 2

$\int u d v = u v - \int v d u$ , जहां $u = \cos (4 x)$ और $d v = e^{2 x}$ सूत्र का उपयोग करके भागों द्वारा एकीकृत करें.

$\cos (4 x) (\frac{1}{2} e^{2 x}) - \int \frac{1}{2} e^{2 x} (- 4 \sin (4 x)) d x$

चरण 3

चूँकि $\frac{1}{2} \cdot - 4$ बटे $x$ अचर है, $\frac{1}{2} \cdot - 4$ को समाकलन से हटा दें.

$\cos (4 x) (\frac{1}{2} e^{2 x}) - (\frac{1}{2} \cdot - 4 \int e^{2 x} (\sin (4 x)) d x)$

चरण 4

न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

$\frac{1}{2}$ और $e^{2 x}$ को मिलाएं.

$\cos (4 x) \frac{e^{2 x}}{2} - (\frac{1}{2} \cdot - 4 \int e^{2 x} (\sin (4 x)) d x)$

चरण 4.2

$\cos (4 x)$ और $\frac{e^{2 x}}{2}$ को मिलाएं.

$\frac{\cos (4 x) e^{2 x}}{2} - (\frac{1}{2} \cdot - 4 \int e^{2 x} (\sin (4 x)) d x)$

चरण 4.3

$\frac{1}{2}$ और $- 4$ को मिलाएं.

$\frac{\cos (4 x) e^{2 x}}{2} - (\frac{- 4}{2} \int e^{2 x} (\sin (4 x)) d x)$

चरण 4.4

$e^{2 x}$ और $\sin (4 x)$ को पुन: क्रमित करें.

$\frac{\cos (4 x) e^{2 x}}{2} - (\frac{- 4}{2} \int \sin (4 x) e^{2 x} d x)$

चरण 5

$\int u d v = u v - \int v d u$ , जहां $u = \sin (4 x)$ और $d v = e^{2 x}$ सूत्र का उपयोग करके भागों द्वारा एकीकृत करें.

$\frac{\cos (4 x) e^{2 x}}{2} - (\frac{- 4}{2} (\sin (4 x) (\frac{1}{2} e^{2 x}) - \int \frac{1}{2} e^{2 x} (4 \cos (4 x)) d x))$

चरण 6

चूँकि $\frac{1}{2} \cdot 4$ बटे $x$ अचर है, $\frac{1}{2} \cdot 4$ को समाकलन से हटा दें.

$\frac{\cos (4 x) e^{2 x}}{2} - (\frac{- 4}{2} (\sin (4 x) (\frac{1}{2} e^{2 x}) - (\frac{1}{2} \cdot 4 \int e^{2 x} (\cos (4 x)) d x)))$

चरण 7

पदों को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1

$\frac{1}{2}$ और $e^{2 x}$ को मिलाएं.

$\frac{\cos (4 x) e^{2 x}}{2} - (\frac{- 4}{2} (\sin (4 x) \frac{e^{2 x}}{2} - (\frac{1}{2} \cdot 4 \int e^{2 x} (\cos (4 x)) d x)))$

चरण 7.2

$\sin (4 x)$ और $\frac{e^{2 x}}{2}$ को मिलाएं.

$\frac{\cos (4 x) e^{2 x}}{2} - (\frac{- 4}{2} (\frac{\sin (4 x) e^{2 x}}{2} - (\frac{1}{2} \cdot 4 \int e^{2 x} (\cos (4 x)) d x)))$

चरण 7.3

$\frac{1}{2}$ और $4$ को मिलाएं.

$\frac{\cos (4 x) e^{2 x}}{2} - (\frac{- 4}{2} (\frac{\sin (4 x) e^{2 x}}{2} - (\frac{4}{2} \int e^{2 x} (\cos (4 x)) d x)))$

चरण 7.4

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{\cos (4 x) e^{2 x}}{2} - \frac{- 4}{2} \cdot \frac{\sin (4 x) e^{2 x}}{2} - \frac{- 4}{2} (- (\frac{4}{2} \int e^{2 x} (\cos (4 x)) d x))$

चरण 7.5

$\frac{\sin (4 x) e^{2 x}}{2}$ को $\frac{- 4}{2}$ से गुणा करें.

$\frac{\cos (4 x) e^{2 x}}{2} - \frac{\sin (4 x) e^{2 x} \cdot - 4}{2 \cdot 2} - \frac{- 4}{2} (- (\frac{4}{2} \int e^{2 x} (\cos (4 x)) d x))$

चरण 7.6

गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.6.1

$2$ को $2$ से गुणा करें.

$\frac{\cos (4 x) e^{2 x}}{2} - \frac{\sin (4 x) e^{2 x} \cdot - 4}{4} - \frac{- 4}{2} (- (\frac{4}{2} \int e^{2 x} (\cos (4 x)) d x))$

चरण 7.6.2

$- 1$ को $- 1$ से गुणा करें.

$\frac{\cos (4 x) e^{2 x}}{2} - \frac{\sin (4 x) e^{2 x} \cdot - 4}{4} + 1 (\frac{- 4}{2}) (\frac{4}{2} \int e^{2 x} (\cos (4 x)) d x)$

चरण 7.6.3

$\frac{- 4}{2}$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{\cos (4 x) e^{2 x}}{2} - \frac{\sin (4 x) e^{2 x} \cdot - 4}{4} + \frac{- 4}{2} (\frac{4}{2} \int e^{2 x} (\cos (4 x)) d x)$

चरण 7.7

$\frac{4}{2}$ को $\frac{- 4}{2}$ से गुणा करें.

$\frac{\cos (4 x) e^{2 x}}{2} - \frac{\sin (4 x) e^{2 x} \cdot - 4}{4} + \frac{4 \cdot - 4}{2 \cdot 2} \int e^{2 x} (\cos (4 x)) d x$

चरण 7.8

गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.8.1

$4$ को $- 4$ से गुणा करें.

$\frac{\cos (4 x) e^{2 x}}{2} - \frac{\sin (4 x) e^{2 x} \cdot - 4}{4} + \frac{- 16}{2 \cdot 2} \int e^{2 x} (\cos (4 x)) d x$

चरण 7.8.2

$2$ को $2$ से गुणा करें.

$\frac{\cos (4 x) e^{2 x}}{2} - \frac{\sin (4 x) e^{2 x} \cdot - 4}{4} + \frac{- 16}{4} \int e^{2 x} (\cos (4 x)) d x$

चरण 8

$\int e^{2 x} \cos (4 x) d x$ को हल करने पर, हम पाते हैं कि $\int e^{2 x} \cos (4 x) d x$ = $\frac{\frac{\cos (4 x) e^{2 x}}{2} - \frac{\sin (4 x) e^{2 x} \cdot - 4}{4}}{\frac{20}{4}}$ .

$\frac{\frac{\cos (4 x) e^{2 x}}{2} - \frac{\sin (4 x) e^{2 x} \cdot - 4}{4}}{\frac{20}{4}} + C$

चरण 9

उत्तर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1.1

$- 4$ को $\sin (4 x) e^{2 x}$ के बाईं ओर ले जाएं.

$\frac{\frac{\cos (4 x) e^{2 x}}{2} - \frac{- 4 \cdot (\sin (4 x) e^{2 x})}{4}}{\frac{20}{4}} + C$

चरण 9.1.2

$- 4$ और $4$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1.2.1

$- 4 \sin (4 x) e^{2 x}$ में से $4$ का गुणनखंड करें.

$\frac{\frac{\cos (4 x) e^{2 x}}{2} - \frac{4 (- \sin (4 x) e^{2 x})}{4}}{\frac{20}{4}} + C$

चरण 9.1.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1.2.2.1

$4$ में से $4$ का गुणनखंड करें.

$\frac{\frac{\cos (4 x) e^{2 x}}{2} - \frac{4 (- \sin (4 x) e^{2 x})}{4 (1)}}{\frac{20}{4}} + C$

चरण 9.1.2.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{\frac{\cos (4 x) e^{2 x}}{2} - \frac{4 (- \sin (4 x) e^{2 x})}{4 \cdot 1}}{\frac{20}{4}} + C$

चरण 9.1.2.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{\frac{\cos (4 x) e^{2 x}}{2} - \frac{- \sin (4 x) e^{2 x}}{1}}{\frac{20}{4}} + C$

चरण 9.1.2.2.4

$- \sin (4 x) e^{2 x}$ को $1$ से विभाजित करें.

$\frac{\frac{\cos (4 x) e^{2 x}}{2} - (- \sin (4 x) e^{2 x})}{\frac{20}{4}} + C$

चरण 9.1.3

$- 1$ को $- 1$ से गुणा करें.

$\frac{\frac{\cos (4 x) e^{2 x}}{2} + 1 (\sin (4 x) e^{2 x})}{\frac{20}{4}} + C$

चरण 9.1.4

$\sin (4 x)$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{\frac{\cos (4 x) e^{2 x}}{2} + \sin (4 x) e^{2 x}}{\frac{20}{4}} + C$

चरण 9.1.5

$20$ और $4$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1.5.1

$20$ में से $4$ का गुणनखंड करें.

$\frac{\frac{\cos (4 x) e^{2 x}}{2} + \sin (4 x) e^{2 x}}{\frac{4 \cdot 5}{4}} + C$

चरण 9.1.5.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1.5.2.1

$4$ में से $4$ का गुणनखंड करें.

$\frac{\frac{\cos (4 x) e^{2 x}}{2} + \sin (4 x) e^{2 x}}{\frac{4 \cdot 5}{4 (1)}} + C$

चरण 9.1.5.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{\frac{\cos (4 x) e^{2 x}}{2} + \sin (4 x) e^{2 x}}{\frac{4 \cdot 5}{4 \cdot 1}} + C$

चरण 9.1.5.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{\frac{\cos (4 x) e^{2 x}}{2} + \sin (4 x) e^{2 x}}{\frac{5}{1}} + C$

चरण 9.1.5.2.4

$5$ को $1$ से विभाजित करें.

$\frac{\frac{\cos (4 x) e^{2 x}}{2} + \sin (4 x) e^{2 x}}{5} + C$

चरण 9.1.6

$\frac{\frac{\cos (4 x) e^{2 x}}{2} + \sin (4 x) e^{2 x}}{5}$ को $\frac{2}{2}$ से गुणा करें.

$\frac{2}{2} \cdot \frac{\frac{\cos (4 x) e^{2 x}}{2} + \sin (4 x) e^{2 x}}{5} + C$

चरण 9.1.7

जोड़ना.

$\frac{2 (\frac{\cos (4 x) e^{2 x}}{2} + \sin (4 x) e^{2 x})}{2 \cdot 5} + C$

चरण 9.1.8

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{2 \frac{\cos (4 x) e^{2 x}}{2} + 2 (\sin (4 x) e^{2 x})}{2 \cdot 5} + C$

चरण 9.1.9

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1.9.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{2 \frac{\cos (4 x) e^{2 x}}{2} + 2 (\sin (4 x) e^{2 x})}{2 \cdot 5} + C$

चरण 9.1.9.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{\cos (4 x) e^{2 x} + 2 (\sin (4 x) e^{2 x})}{2 \cdot 5} + C$

चरण 9.1.10

$2$ को $5$ से गुणा करें.

$\frac{\cos (4 x) e^{2 x} + 2 \sin (4 x) e^{2 x}}{10} + C$

चरण 9.2

$\frac{\cos (4 x) e^{2 x} + 2 \sin (4 x) e^{2 x}}{10} + C$ को $\frac{1}{10} (\cos (4 x) e^{2 x} + 2 \sin (4 x) e^{2 x}) + C$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{1}{10} (\cos (4 x) e^{2 x} + 2 \sin (4 x) e^{2 x}) + C$