कैलकुलस उदाहरण

$\int \cos^{2} (\frac{π}{2} x) d x$

चरण 1

मान लीजिए $u_{1} = \frac{π}{2} x$ .फिर $d u_{1} = \frac{π}{2} d x$ , तो $\frac{2}{π} d u_{1} = d x$ . $u_{1}$ और $d$ $u_{1}$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

मान लें $u_{1} = \frac{π}{2} x$ . $\frac{d u_{1}}{d x}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1

$\frac{π}{2} x$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d x} [\frac{π}{2} x]$

चरण 1.1.2

चूंकि $\frac{π}{2}$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $\frac{π}{2} x$ का व्युत्पन्न $\frac{π}{2} \frac{d}{d x} [x]$ है.

$\frac{π}{2} \frac{d}{d x} [x]$

चरण 1.1.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$\frac{π}{2} \cdot 1$

चरण 1.1.4

$\frac{π}{2}$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{π}{2}$

चरण 1.2

$u_{1}$ और $d u_{1}$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$\int \cos^{2} (u_{1}) \frac{1}{\frac{π}{2}} d u_{1}$

चरण 2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

$\frac{π}{2}$ से भाग देने के लिए भिन्न के प्रतिलोम से गुणा करें.

$\int \cos^{2} (u_{1}) (1 \frac{2}{π}) d u_{1}$

चरण 2.2

$\frac{2}{π}$ को $1$ से गुणा करें.

$\int \cos^{2} (u_{1}) \frac{2}{π} d u_{1}$

चरण 2.3

$\cos^{2} (u_{1})$ और $\frac{2}{π}$ को मिलाएं.

$\int \frac{\cos^{2} (u_{1}) \cdot 2}{π} d u_{1}$

चरण 2.4

$2$ को $\cos^{2} (u_{1})$ के बाईं ओर ले जाएं.

$\int \frac{2 \cos^{2} (u_{1})}{π} d u_{1}$

चरण 3

चूँकि $\frac{2}{π}$ बटे $u_{1}$ अचर है, $\frac{2}{π}$ को समाकलन से हटा दें.

$\frac{2}{π} \int \cos^{2} (u_{1}) d u_{1}$

चरण 4

$\cos^{2} (u_{1})$ को $\frac{1 + \cos (2 u_{1})}{2}$ के रूप में फिर से लिखने के लिए अर्ध-कोण सूत्र का प्रयोग करें.

$\frac{2}{π} \int \frac{1 + \cos (2 u_{1})}{2} d u_{1}$

चरण 5

चूँकि $\frac{1}{2}$ बटे $u_{1}$ अचर है, $\frac{1}{2}$ को समाकलन से हटा दें.

$\frac{2}{π} (\frac{1}{2} \int 1 + \cos (2 u_{1}) d u_{1})$

चरण 6

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

$\frac{1}{2}$ को $\frac{2}{π}$ से गुणा करें.

$\frac{2}{2 π} \int 1 + \cos (2 u_{1}) d u_{1}$

चरण 6.2

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{2}{2 π} \int 1 + \cos (2 u_{1}) d u_{1}$

चरण 6.2.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{1}{π} \int 1 + \cos (2 u_{1}) d u_{1}$

चरण 7

एकल समाकलन को कई समाकलन में विभाजित करें.

$\frac{1}{π} (\int d u_{1} + \int \cos (2 u_{1}) d u_{1})$

चरण 8

स्थिरांक नियम लागू करें.

$\frac{1}{π} (u_{1} + C + \int \cos (2 u_{1}) d u_{1})$

चरण 9

मान लीजिए $u_{2} = 2 u_{1}$ .फिर $d u_{2} = 2 d u_{1}$ , तो $\frac{1}{2} d u_{2} = d u_{1}$ . $u_{2}$ और $d$ $u_{2}$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1

मान लें $u_{2} = 2 u_{1}$ . $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1.1

$2 u_{1}$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d u_{1}} [2 u_{1}]$

चरण 9.1.2

चूंकि $2$ , $u_{1}$ के संबंध में स्थिर है, $u_{1}$ के संबंध में $2 u_{1}$ का व्युत्पन्न $2 \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$ है.

$2 \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$

चरण 9.1.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ $n {u_{1}}^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$2 \cdot 1$

चरण 9.1.4

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$2$

चरण 9.2

$u_{2}$ और $d u_{2}$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$\frac{1}{π} (u_{1} + C + \int \cos (u_{2}) \frac{1}{2} d u_{2})$

चरण 10

$\cos (u_{2})$ और $\frac{1}{2}$ को मिलाएं.

$\frac{1}{π} (u_{1} + C + \int \frac{\cos (u_{2})}{2} d u_{2})$

चरण 11

चूँकि $\frac{1}{2}$ बटे $u_{2}$ अचर है, $\frac{1}{2}$ को समाकलन से हटा दें.

$\frac{1}{π} (u_{1} + C + \frac{1}{2} \int \cos (u_{2}) d u_{2})$

चरण 12

$u_{2}$ के संबंध में $\cos (u_{2})$ का इंटीग्रल $\sin (u_{2})$ है.

$\frac{1}{π} (u_{1} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{2}) + C))$

चरण 13

सरल करें.

$\frac{1}{π} (u_{1} + \frac{1}{2} \sin (u_{2})) + C$

चरण 14

प्रत्येक एकीकरण प्रतिस्थापन चर के लिए वापस प्रतिस्थापित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 14.1

$u_{1}$ की सभी घटनाओं को $\frac{π}{2} x$ से बदलें.

$\frac{1}{π} (\frac{π}{2} x + \frac{1}{2} \sin (u_{2})) + C$

चरण 14.2

$u_{2}$ की सभी घटनाओं को $2 u_{1}$ से बदलें.

$\frac{1}{π} (\frac{π}{2} x + \frac{1}{2} \sin (2 u_{1})) + C$

चरण 14.3

$u_{1}$ की सभी घटनाओं को $\frac{π}{2} x$ से बदलें.

$\frac{1}{π} (\frac{π}{2} x + \frac{1}{2} \sin (2 (\frac{π}{2} x))) + C$

चरण 15

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 15.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 15.1.1

$\frac{π}{2}$ और $x$ को मिलाएं.

$\frac{1}{π} (\frac{π x}{2} + \frac{1}{2} \sin (2 (\frac{π}{2} x))) + C$

चरण 15.1.2

$\frac{π}{2}$ और $x$ को मिलाएं.

$\frac{1}{π} (\frac{π x}{2} + \frac{1}{2} \sin (2 \frac{π x}{2})) + C$

चरण 15.1.3

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 15.1.3.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{1}{π} (\frac{π x}{2} + \frac{1}{2} \sin (2 \frac{π x}{2})) + C$

चरण 15.1.3.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{1}{π} (\frac{π x}{2} + \frac{1}{2} \sin (π x)) + C$

चरण 15.1.4

$\frac{1}{2}$ और $\sin (π x)$ को मिलाएं.

$\frac{1}{π} (\frac{π x}{2} + \frac{\sin (π x)}{2}) + C$

चरण 15.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{1}{π} \cdot \frac{π x}{2} + \frac{1}{π} \cdot \frac{\sin (π x)}{2} + C$

चरण 15.3

$π$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 15.3.1

$π x$ में से $π$ का गुणनखंड करें.

$\frac{1}{π} \cdot \frac{π (x)}{2} + \frac{1}{π} \cdot \frac{\sin (π x)}{2} + C$

चरण 15.3.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{1}{π} \cdot \frac{π x}{2} + \frac{1}{π} \cdot \frac{\sin (π x)}{2} + C$

चरण 15.3.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{x}{2} + \frac{1}{π} \cdot \frac{\sin (π x)}{2} + C$

चरण 15.4

$\frac{1}{π}$ को $\frac{\sin (π x)}{2}$ से गुणा करें.

$\frac{x}{2} + \frac{\sin (π x)}{π \cdot 2} + C$

चरण 15.5

$2$ को $π$ के बाईं ओर ले जाएं.

$\frac{x}{2} + \frac{\sin (π x)}{2 π} + C$

चरण 16

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$\frac{1}{2} x + \frac{1}{2 π} \sin (π x) + C$