कैलकुलस उदाहरण

$\int_{0}^{\frac{π}{8}} 3^{\cos (4 t)} \sin (4 t) d t$

चरण 1

मान लीजिए $u_{2} = \cos (4 t)$ .फिर $d u_{2} = - 4 \sin (4 t) d t$ , तो $- \frac{1}{4} d u_{2} = \sin (4 t) d t$ . $u_{2}$ और $d$ $u_{2}$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

मान लें $u_{2} = \cos (4 t)$ . $\frac{d u_{2}}{d t}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1

$\cos (4 t)$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d t} [\cos (4 t)]$

चरण 1.1.2

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ $f' (g (t)) g' (t)$ है, जहाँ $f (t) = \cos (t)$ और $g (t) = 4 t$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.2.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u_{1}$ को $4 t$ के रूप में सेट करें.

$\frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})] \frac{d}{d t} [4 t]$

चरण 1.1.2.2

$u_{1}$ के संबंध में $\cos (u_{1})$ का व्युत्पन्न $- \sin (u_{1})$ है.

$- \sin (u_{1}) \frac{d}{d t} [4 t]$

चरण 1.1.2.3

$u_{1}$ की सभी घटनाओं को $4 t$ से बदलें.

$- \sin (4 t) \frac{d}{d t} [4 t]$

चरण 1.1.3

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.3.1

चूंकि $4$ , $t$ के संबंध में स्थिर है, $t$ के संबंध में $4 t$ का व्युत्पन्न $4 \frac{d}{d t} [t]$ है.

$- \sin (4 t) (4 \frac{d}{d t} [t])$

चरण 1.1.3.2

$4$ को $- 1$ से गुणा करें.

$- 4 \sin (4 t) \frac{d}{d t} [t]$

चरण 1.1.3.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ $n t^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$- 4 \sin (4 t) \cdot 1$

चरण 1.1.3.4

$- 4$ को $1$ से गुणा करें.

$- 4 \sin (4 t)$

चरण 1.2

$t$ के लिए $u_{2} = \cos (4 t)$ में निचली सीमा को प्रतिस्थापित करें.

$u_{lower} = \cos (4 \cdot 0)$

चरण 1.3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.1

$4$ को $0$ से गुणा करें.

$u_{lower} = \cos (0)$

चरण 1.3.2

$\cos (0)$ का सटीक मान $1$ है.

$u_{lower} = 1$

चरण 1.4

$t$ के लिए $u_{2} = \cos (4 t)$ में ऊपरी सीमा को प्रतिस्थापित करें.

$u_{upper} = \cos (4 \frac{π}{8})$

चरण 1.5

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.5.1

$4$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.5.1.1

$8$ में से $4$ का गुणनखंड करें.

$u_{upper} = \cos (4 \frac{π}{4 (2)})$

चरण 1.5.1.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$u_{upper} = \cos (4 \frac{π}{4 \cdot 2})$

चरण 1.5.1.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$u_{upper} = \cos (\frac{π}{2})$

चरण 1.5.2

$\cos (\frac{π}{2})$ का सटीक मान $0$ है.

$u_{upper} = 0$

चरण 1.6

$u_{lower}$ और $u_{upper}$ के लिए पाए गए मानों का उपयोग निश्चित समाकल का मूल्यांकन करने के लिए किया जाएगा.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 0$

चरण 1.7

$u_{2}$ , $d u_{2}$ और समाकलन की नई सीमाओं का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$\int_{1}^{0} 3^{u_{2}} \frac{1}{- 4} d u_{2}$

चरण 2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$\int_{1}^{0} 3^{u_{2}} (- \frac{1}{4}) d u_{2}$

चरण 2.2

$3^{u_{2}}$ और $\frac{1}{4}$ को मिलाएं.

$\int_{1}^{0} - \frac{3^{u_{2}}}{4} d u_{2}$

चरण 3

चूँकि $- 1$ बटे $u_{2}$ अचर है, $- 1$ को समाकलन से हटा दें.

$- \int_{1}^{0} \frac{3^{u_{2}}}{4} d u_{2}$

चरण 4

चूँकि $\frac{1}{4}$ बटे $u_{2}$ अचर है, $\frac{1}{4}$ को समाकलन से हटा दें.

$- (\frac{1}{4} \int_{1}^{0} 3^{u_{2}} d u_{2})$

चरण 5

$u_{2}$ के संबंध में $3^{u_{2}}$ का इंटीग्रल $\frac{3^{u_{2}}}{\ln (3)}$ है.

$- \frac{1}{4} \frac{3^{u_{2}}}{\ln (3)}]_{1}^{0}$

चरण 6

$\frac{3^{u_{2}}}{\ln (3)}]_{1}^{0}$ और $\frac{1}{4}$ को मिलाएं.

$- \frac{\frac{3^{u_{2}}}{\ln (3)}]_{1}^{0}}{4}$

चरण 7

प्रतिस्थापित करें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1

$0$ पर और $1$ पर $\frac{3^{u_{2}}}{\ln (3)}$ का मान ज्ञात करें.

$- \frac{(\frac{3^{0}}{\ln (3)}) - \frac{3^{1}}{\ln (3)}}{4}$

चरण 7.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.1

$0$ तक बढ़ाई गई कोई भी चीज़ $1$ होती है.

$- \frac{\frac{1}{\ln (3)} - \frac{3^{1}}{\ln (3)}}{4}$

चरण 7.2.2

घातांक का मान ज्ञात करें.

$- \frac{\frac{1}{\ln (3)} - \frac{3}{\ln (3)}}{4}$

चरण 7.2.3

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$- \frac{\frac{1 - 3}{\ln (3)}}{4}$

चरण 7.2.4

$1$ में से $3$ घटाएं.

$- \frac{\frac{- 2}{\ln (3)}}{4}$

चरण 7.2.5

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$- \frac{- \frac{2}{\ln (3)}}{4}$

चरण 7.2.6

एक गुणनफल के रूप में $\frac{- \frac{2}{\ln (3)}}{4}$ को फिर से लिखें.

$- (- \frac{2}{\ln (3)} \cdot \frac{1}{4})$

चरण 7.2.7

$\frac{1}{4}$ को $\frac{2}{\ln (3)}$ से गुणा करें.

$- - \frac{2}{4 \ln (3)}$

चरण 7.2.8

$2$ और $4$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.8.1

$2$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$- - \frac{2 (1)}{4 \ln (3)}$

चरण 7.2.8.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.8.2.1

$4 \ln (3)$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$- - \frac{2 (1)}{2 (2 \ln (3))}$

चरण 7.2.8.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$- - \frac{2 \cdot 1}{2 (2 \ln (3))}$

चरण 7.2.8.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$- - \frac{1}{2 \ln (3)}$

चरण 7.2.9

$- 1$ को $- 1$ से गुणा करें.

$1 \frac{1}{2 \ln (3)}$

चरण 7.2.10

$\frac{1}{2 \ln (3)}$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{1}{2 \ln (3)}$

चरण 8

परिणाम कई रूपों में दिखाया जा सकता है.

सटीक रूप:

$\frac{1}{2 \ln (3)}$

दशमलव रूप:

$0.45511961 \dots$