कैलकुलस उदाहरण

$\int_{0}^{0.5} 3 \tan (2 x) d x$

चरण 1

चूँकि $3$ बटे $x$ अचर है, $3$ को समाकलन से हटा दें.

$3 \int_{0}^{0.5} \tan (2 x) d x$

चरण 2

मान लीजिए $u = 2 x$ .फिर $d u = 2 d x$ , तो $\frac{1}{2} d u = d x$ . $u$ और $d$ $u$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

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चरण 2.1

मान लें $u = 2 x$ . $\frac{d u}{d x}$ ज्ञात करें.

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चरण 2.1.1

$2 x$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d x} [2 x]$

चरण 2.1.2

चूंकि $2$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $2 x$ का व्युत्पन्न $2 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$2 \frac{d}{d x} [x]$

चरण 2.1.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$2 \cdot 1$

चरण 2.1.4

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$2$

चरण 2.2

$x$ के लिए $u = 2 x$ में निचली सीमा को प्रतिस्थापित करें.

$u_{lower} = 2 \cdot 0$

चरण 2.3

$2$ को $0$ से गुणा करें.

$u_{lower} = 0$

चरण 2.4

$x$ के लिए $u = 2 x$ में ऊपरी सीमा को प्रतिस्थापित करें.

$u_{upper} = 2 \cdot 0.5$

चरण 2.5

$2$ को $0.5$ से गुणा करें.

$u_{upper} = 1$

चरण 2.6

$u_{lower}$ और $u_{upper}$ के लिए पाए गए मानों का उपयोग निश्चित समाकल का मूल्यांकन करने के लिए किया जाएगा.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 1$

चरण 2.7

$u$ , $d u$ और समाकलन की नई सीमाओं का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$3 \int_{0}^{1} \tan (u) \frac{1}{2} d u$

चरण 3

$\tan (u)$ और $\frac{1}{2}$ को मिलाएं.

$3 \int_{0}^{1} \frac{\tan (u)}{2} d u$

चरण 4

चूँकि $\frac{1}{2}$ बटे $u$ अचर है, $\frac{1}{2}$ को समाकलन से हटा दें.

$3 (\frac{1}{2} \int_{0}^{1} \tan (u) d u)$

चरण 5

$\frac{1}{2}$ और $3$ को मिलाएं.

$\frac{3}{2} \int_{0}^{1} \tan (u) d u$

चरण 6

$u$ के संबंध में $\tan (u)$ का इंटीग्रल $\ln (| \sec (u) |)$ है.

$\frac{3}{2} \ln (| \sec (u) |)]_{0}^{1}$

चरण 7

$1$ पर और $0$ पर $\ln (| \sec (u) |)$ का मान ज्ञात करें.

$\frac{3}{2} (\ln (| \sec (1) |) - \ln (| \sec (0) |))$

चरण 8

सरल करें.

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चरण 8.1

$\sec (0)$ का सटीक मान $1$ है.

$\frac{3}{2} (\ln (| \sec (1) |) - \ln (| 1 |))$

चरण 8.2

लघुगणक के भागफल गुण $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ का प्रयोग करें.

$\frac{3}{2} \ln (\frac{| \sec (1) |}{| 1 |})$

चरण 8.3

$\frac{3}{2}$ और $\ln (\frac{| \sec (1) |}{| 1 |})$ को मिलाएं.

$\frac{3 \ln (\frac{| \sec (1) |}{| 1 |})}{2}$

चरण 9

परिणाम कई रूपों में दिखाया जा सकता है.

सटीक रूप:

$\frac{3 \ln (\frac{| \sec (1) |}{| 1 |})}{2}$

दशमलव रूप:

$0.00022847 \dots$