कैलकुलस उदाहरण

$\int \frac{x + 1}{x - 1} d x$

चरण 1

$x + 1$ को $x - 1$ से विभाजित करें.

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चरण 1.1

बहुपदों को विभाजित करने के लिए सेट करें. यदि प्रत्येक घातांक के लिए कोई पद नहीं है, तो $0$ के मान वाला एक शब्द डालें.

$x$

$1$

$x$

$1$

चरण 1.2

भाज्य $x$ के उच्च क्रम के पद को विभाजक $x$ के उच्च क्रम वाले पद से विभाजित करें.

					$1$
	$x$	-	$1$		$x$	+	$1$

चरण 1.3

भाजक से नए भागफल पद को गुणा करें.

				$1$
$x$	-	$1$		$x$	+	$1$
			+	$x$	-	$1$

चरण 1.4

व्यंजक को भाज्य से घटाने की आवश्यकता है, इसलिए $x - 1$ में सभी चिह्नों को प्रतिस्थापित करें

				$1$
$x$	-	$1$		$x$	+	$1$
			-	$x$	+	$1$

चरण 1.5

संकेतों को बदलने के बाद, नया लाभांश खोजने के लिए गुणा बहुपद से अंतिम लाभांश जोड़ें.

				$1$
$x$	-	$1$		$x$	+	$1$
			-	$x$	+	$1$
					+	$2$

चरण 1.6

अंतिम उत्तर भागफल और भाजक पर शेषफल है.

$\int 1 + \frac{2}{x - 1} d x$

चरण 2

एकल समाकलन को कई समाकलन में विभाजित करें.

$\int d x + \int \frac{2}{x - 1} d x$

चरण 3

स्थिरांक नियम लागू करें.

$x + C + \int \frac{2}{x - 1} d x$

चरण 4

चूँकि $2$ बटे $x$ अचर है, $2$ को समाकलन से हटा दें.

$x + C + 2 \int \frac{1}{x - 1} d x$

चरण 5

मान लीजिए $u = x - 1$ . फिर $d u = d x$ . $u$ और $d$ $u$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

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चरण 5.1

मान लें $u = x - 1$ . $\frac{d u}{d x}$ ज्ञात करें.

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चरण 5.1.1

$x - 1$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d x} [x - 1]$

चरण 5.1.2

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x - 1$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ है.

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

चरण 5.1.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

चरण 5.1.4

चूंकि $x$ के संबंध में $- 1$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$1 + 0$

चरण 5.1.5

$1$ और $0$ जोड़ें.

$1$

चरण 5.2

$u$ और $d u$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$x + C + 2 \int \frac{1}{u} d u$

चरण 6

$u$ के संबंध में $\frac{1}{u}$ का इंटीग्रल $\ln (| u |)$ है.

$x + C + 2 (\ln (| u |) + C)$

चरण 7

सरल करें.

$x + 2 \ln (| u |) + C$

चरण 8

$u$ की सभी घटनाओं को $x - 1$ से बदलें.

$x + 2 \ln (| x - 1 |) + C$