कैलकुलस उदाहरण

$\int_{0}^{\frac{π}{12}} \cos (2 x) \sin (2 x) d x$

चरण 1

मान लीजिए $u_{2} = \cos (2 x)$ .फिर $d u_{2} = - 2 \sin (2 x) d x$ , तो $- \frac{1}{2} d u_{2} = \sin (2 x) d x$ . $u_{2}$ और $d$ $u_{2}$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

मान लें $u_{2} = \cos (2 x)$ . $\frac{d u_{2}}{d x}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1

$\cos (2 x)$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$

चरण 1.1.2

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = \cos (x)$ और $g (x) = 2 x$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.2.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u_{1}$ को $2 x$ के रूप में सेट करें.

$\frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})] \frac{d}{d x} [2 x]$

चरण 1.1.2.2

$u_{1}$ के संबंध में $\cos (u_{1})$ का व्युत्पन्न $- \sin (u_{1})$ है.

$- \sin (u_{1}) \frac{d}{d x} [2 x]$

चरण 1.1.2.3

$u_{1}$ की सभी घटनाओं को $2 x$ से बदलें.

$- \sin (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]$

चरण 1.1.3

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.3.1

चूंकि $2$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $2 x$ का व्युत्पन्न $2 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$- \sin (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])$

चरण 1.1.3.2

$2$ को $- 1$ से गुणा करें.

$- 2 \sin (2 x) \frac{d}{d x} [x]$

चरण 1.1.3.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$- 2 \sin (2 x) \cdot 1$

चरण 1.1.3.4

$- 2$ को $1$ से गुणा करें.

$- 2 \sin (2 x)$

चरण 1.2

$x$ के लिए $u_{2} = \cos (2 x)$ में निचली सीमा को प्रतिस्थापित करें.

$u_{lower} = \cos (2 \cdot 0)$

चरण 1.3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.1

$2$ को $0$ से गुणा करें.

$u_{lower} = \cos (0)$

चरण 1.3.2

$\cos (0)$ का सटीक मान $1$ है.

$u_{lower} = 1$

चरण 1.4

$x$ के लिए $u_{2} = \cos (2 x)$ में ऊपरी सीमा को प्रतिस्थापित करें.

$u_{upper} = \cos (2 \frac{π}{12})$

चरण 1.5

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.5.1

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.5.1.1

$12$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$u_{upper} = \cos (2 \frac{π}{2 (6)})$

चरण 1.5.1.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$u_{upper} = \cos (2 \frac{π}{2 \cdot 6})$

चरण 1.5.1.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$u_{upper} = \cos (\frac{π}{6})$

चरण 1.5.2

$\cos (\frac{π}{6})$ का सटीक मान $\frac{\sqrt{3}}{2}$ है.

$u_{upper} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

चरण 1.6

$u_{lower}$ और $u_{upper}$ के लिए पाए गए मानों का उपयोग निश्चित समाकल का मूल्यांकन करने के लिए किया जाएगा.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

चरण 1.7

$u_{2}$ , $d u_{2}$ और समाकलन की नई सीमाओं का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$\int_{1}^{\frac{\sqrt{3}}{2}} u_{2} \frac{1}{- 2} d u_{2}$

चरण 2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$\int_{1}^{\frac{\sqrt{3}}{2}} u_{2} (- \frac{1}{2}) d u_{2}$

चरण 2.2

$u_{2}$ और $\frac{1}{2}$ को मिलाएं.

$\int_{1}^{\frac{\sqrt{3}}{2}} - \frac{u_{2}}{2} d u_{2}$

चरण 3

चूँकि $- 1$ बटे $u_{2}$ अचर है, $- 1$ को समाकलन से हटा दें.

$- \int_{1}^{\frac{\sqrt{3}}{2}} \frac{u_{2}}{2} d u_{2}$

चरण 4

चूँकि $\frac{1}{2}$ बटे $u_{2}$ अचर है, $\frac{1}{2}$ को समाकलन से हटा दें.

$- (\frac{1}{2} \int_{1}^{\frac{\sqrt{3}}{2}} u_{2} d u_{2})$

चरण 5

घात नियम के अनुसार, $u_{2}$ के संबंध में $u_{2}$ का समाकलन $\frac{1}{2} {u_{2}}^{2}$ है.

$- \frac{1}{2} \frac{1}{2} {u_{2}}^{2}]_{1}^{\frac{\sqrt{3}}{2}}$

चरण 6

प्रतिस्थापित करें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

$\frac{\sqrt{3}}{2}$ पर और $1$ पर $\frac{1}{2} {u_{2}}^{2}$ का मान ज्ञात करें.

$- \frac{1}{2} ((\frac{1}{2} {(\frac{\sqrt{3}}{2})}^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 1^{2})$

चरण 6.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.1

एक का कोई भी घात एक होता है.

$- \frac{1}{2} (\frac{1}{2} {(\frac{\sqrt{3}}{2})}^{2} - \frac{1}{2} \cdot 1)$

चरण 6.2.2

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$- \frac{1}{2} (\frac{1}{2} {(\frac{\sqrt{3}}{2})}^{2} - \frac{1}{2})$

चरण 7

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1.1

उत्पाद नियम को $\frac{\sqrt{3}}{2}$ पर लागू करें.

$- \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \cdot \frac{{\sqrt{3}}^{2}}{2^{2}} - \frac{1}{2})$

चरण 7.1.2

जोड़ना.

$- \frac{1}{2} (\frac{1 {\sqrt{3}}^{2}}{2 \cdot 2^{2}} - \frac{1}{2})$

चरण 7.1.3

घातांक जोड़कर $2$ को $2^{2}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1.3.1

$2$ को $2^{2}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1.3.1.1

$2$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$- \frac{1}{2} (\frac{1 {\sqrt{3}}^{2}}{2^{1} \cdot 2^{2}} - \frac{1}{2})$

चरण 7.1.3.1.2

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$- \frac{1}{2} (\frac{1 {\sqrt{3}}^{2}}{2^{1 + 2}} - \frac{1}{2})$

चरण 7.1.3.2

$1$ और $2$ जोड़ें.

$- \frac{1}{2} (\frac{1 {\sqrt{3}}^{2}}{2^{3}} - \frac{1}{2})$

चरण 7.1.4

${\sqrt{3}}^{2}$ को $1$ से गुणा करें.

$- \frac{1}{2} (\frac{{\sqrt{3}}^{2}}{2^{3}} - \frac{1}{2})$

चरण 7.1.5

${\sqrt{3}}^{2}$ को $3$ के रूप में फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1.5.1

$\sqrt{3}$ को $3^{\frac{1}{2}}$ के रूप में फिर से लिखने के लिए $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ का उपयोग करें.

$- \frac{1}{2} (\frac{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{3}} - \frac{1}{2})$

चरण 7.1.5.2

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{1}{2} (\frac{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{3}} - \frac{1}{2})$

चरण 7.1.5.3

$\frac{1}{2}$ और $2$ को मिलाएं.

$- \frac{1}{2} (\frac{3^{\frac{2}{2}}}{2^{3}} - \frac{1}{2})$

चरण 7.1.5.4

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1.5.4.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$- \frac{1}{2} (\frac{3^{\frac{2}{2}}}{2^{3}} - \frac{1}{2})$

चरण 7.1.5.4.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$- \frac{1}{2} (\frac{3^{1}}{2^{3}} - \frac{1}{2})$

चरण 7.1.5.5

घातांक का मान ज्ञात करें.

$- \frac{1}{2} (\frac{3}{2^{3}} - \frac{1}{2})$

चरण 7.1.6

$2$ को $3$ के घात तक बढ़ाएं.

$- \frac{1}{2} (\frac{3}{8} - \frac{1}{2})$

चरण 7.2

$- \frac{1}{2}$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{4}{4}$ से गुणा करें.

$- \frac{1}{2} (\frac{3}{8} - \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{4})$

चरण 7.3

प्रत्येक व्यंजक को $8$ के सामान्य भाजक के साथ लिखें, प्रत्येक को $1$ के उपयुक्त गुणनखंड से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.3.1

$\frac{1}{2}$ को $\frac{4}{4}$ से गुणा करें.

$- \frac{1}{2} (\frac{3}{8} - \frac{4}{2 \cdot 4})$

चरण 7.3.2

$2$ को $4$ से गुणा करें.

$- \frac{1}{2} (\frac{3}{8} - \frac{4}{8})$

चरण 7.4

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{3 - 4}{8}$

चरण 7.5

$3$ में से $4$ घटाएं.

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{- 1}{8}$

चरण 7.6

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$- \frac{1}{2} (- \frac{1}{8})$

चरण 7.7

$- \frac{1}{2} (- \frac{1}{8})$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.7.1

$- 1$ को $- 1$ से गुणा करें.

$1 (\frac{1}{2}) \frac{1}{8}$

चरण 7.7.2

$\frac{1}{2}$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{8}$

चरण 7.7.3

$\frac{1}{2}$ को $\frac{1}{8}$ से गुणा करें.

$\frac{1}{2 \cdot 8}$

चरण 7.7.4

$2$ को $8$ से गुणा करें.

$\frac{1}{16}$

चरण 8

परिणाम कई रूपों में दिखाया जा सकता है.

सटीक रूप:

$\frac{1}{16}$

दशमलव रूप:

$0.0625$