कैलकुलस उदाहरण

$\int \frac{y + 3}{{(3 - y)}^{\frac{2}{3}}} d y$

चरण 1

मान लीजिए $u = 3 - y$ .फिर $d u = - d y$ , तो $- d u = d y$ . $u$ और $d$ $u$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

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चरण 1.1

मान लें $u = 3 - y$ . $\frac{d u}{d y}$ ज्ञात करें.

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चरण 1.1.1

$3 - y$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d y} [3 - y]$

चरण 1.1.2

अवकलन करें.

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चरण 1.1.2.1

योग नियम के अनुसार, $y$ के संबंध में $3 - y$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d y} [3] + \frac{d}{d y} [- y]$ है.

$\frac{d}{d y} [3] + \frac{d}{d y} [- y]$

चरण 1.1.2.2

चूंकि $y$ के संबंध में $3$ स्थिर है, $y$ के संबंध में $3$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$0 + \frac{d}{d y} [- y]$

चरण 1.1.3

$\frac{d}{d y} [- y]$ का मान ज्ञात करें.

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चरण 1.1.3.1

चूंकि $- 1$ , $y$ के संबंध में स्थिर है, $y$ के संबंध में $- y$ का व्युत्पन्न $- \frac{d}{d y} [y]$ है.

$0 - \frac{d}{d y} [y]$

चरण 1.1.3.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ $n y^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$0 - 1 \cdot 1$

चरण 1.1.3.3

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$0 - 1$

चरण 1.1.4

$0$ में से $1$ घटाएं.

$- 1$

चरण 1.2

$u$ और $d u$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$\int \frac{- (- u + 3) - 3}{u^{\frac{2}{3}}} d u$

चरण 2

घातांक के बुनियादी नियम लागू करें.

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चरण 2.1

$u^{\frac{2}{3}}$ को भाजक में से $- 1$ पावर तक बढ़ा कर हटा दें.

$\int (- (- u + 3) - 3) {(u^{\frac{2}{3}})}^{- 1} d u$

चरण 2.2

घातांक को ${(u^{\frac{2}{3}})}^{- 1}$ में गुणा करें.

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चरण 2.2.1

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int (- (- u + 3) - 3) u^{\frac{2}{3} \cdot - 1} d u$

चरण 2.2.2

$\frac{2}{3} \cdot - 1$ गुणा करें.

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चरण 2.2.2.1

$\frac{2}{3}$ और $- 1$ को मिलाएं.

$\int (- (- u + 3) - 3) u^{\frac{2 \cdot - 1}{3}} d u$

चरण 2.2.2.2

$2$ को $- 1$ से गुणा करें.

$\int (- (- u + 3) - 3) u^{\frac{- 2}{3}} d u$

चरण 2.2.3

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$\int (- (- u + 3) - 3) u^{- \frac{2}{3}} d u$

चरण 3

$(- (- u + 3) - 3) u^{- \frac{2}{3}}$ का प्रसार करें.

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चरण 3.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\int (- - u - 1 \cdot 3 - 3) u^{- \frac{2}{3}} d u$

चरण 3.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\int (- - u - 1 \cdot 3) u^{- \frac{2}{3}} - 3 u^{- \frac{2}{3}} d u$

चरण 3.3

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\int - - u u^{- \frac{2}{3}} - 1 \cdot 3 u^{- \frac{2}{3}} - 3 u^{- \frac{2}{3}} d u$

चरण 3.4

कोष्ठक ले जाएँ.

$\int - - 1 u \cdot u^{- \frac{2}{3}} - 1 \cdot 3 u^{- \frac{2}{3}} - 3 u^{- \frac{2}{3}} d u$

चरण 3.5

$- 1$ को $- 1$ से गुणा करें.

$\int 1 u \cdot u^{- \frac{2}{3}} - 1 \cdot 3 u^{- \frac{2}{3}} - 3 u^{- \frac{2}{3}} d u$

चरण 3.6

$u$ को $1$ से गुणा करें.

$\int u \cdot u^{- \frac{2}{3}} - 1 \cdot 3 u^{- \frac{2}{3}} - 3 u^{- \frac{2}{3}} d u$

चरण 3.7

$u$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\int u^{1} u^{- \frac{2}{3}} - 1 \cdot 3 u^{- \frac{2}{3}} - 3 u^{- \frac{2}{3}} d u$

चरण 3.8

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$\int u^{1 - \frac{2}{3}} - 1 \cdot 3 u^{- \frac{2}{3}} - 3 u^{- \frac{2}{3}} d u$

चरण 3.9

एक सामान्य भाजक के साथ $1$ को भिन्न के रूप में लिखें.

$\int u^{\frac{3}{3} - \frac{2}{3}} - 1 \cdot 3 u^{- \frac{2}{3}} - 3 u^{- \frac{2}{3}} d u$

चरण 3.10

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\int u^{\frac{3 - 2}{3}} - 1 \cdot 3 u^{- \frac{2}{3}} - 3 u^{- \frac{2}{3}} d u$

चरण 3.11

$3$ में से $2$ घटाएं.

$\int u^{\frac{1}{3}} - 1 \cdot 3 u^{- \frac{2}{3}} - 3 u^{- \frac{2}{3}} d u$

चरण 3.12

$- 1$ को $3$ से गुणा करें.

$\int u^{\frac{1}{3}} - 3 u^{- \frac{2}{3}} - 3 u^{- \frac{2}{3}} d u$

चरण 3.13

$- 3 u^{- \frac{2}{3}}$ में से $3 u^{- \frac{2}{3}}$ घटाएं.

$\int u^{\frac{1}{3}} - 6 u^{- \frac{2}{3}} d u$

चरण 4

एकल समाकलन को कई समाकलन में विभाजित करें.

$\int u^{\frac{1}{3}} d u + \int - 6 u^{- \frac{2}{3}} d u$

चरण 5

घात नियम के अनुसार, $u$ के संबंध में $u^{\frac{1}{3}}$ का समाकलन $\frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}}$ है.

$\frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}} + C + \int - 6 u^{- \frac{2}{3}} d u$

चरण 6

चूँकि $- 6$ बटे $u$ अचर है, $- 6$ को समाकलन से हटा दें.

$\frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}} + C - 6 \int u^{- \frac{2}{3}} d u$

चरण 7

घात नियम के अनुसार, $u$ के संबंध में $u^{- \frac{2}{3}}$ का समाकलन $3 u^{\frac{1}{3}}$ है.

$\frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}} + C - 6 (3 u^{\frac{1}{3}} + C)$

चरण 8

सरल करें.

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चरण 8.1

सरल करें.

$\frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}} - 6 \cdot 3 u^{\frac{1}{3}} + C$

चरण 8.2

$- 6$ को $3$ से गुणा करें.

$\frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}} - 18 u^{\frac{1}{3}} + C$

चरण 9

$u$ की सभी घटनाओं को $3 - y$ से बदलें.

$\frac{3}{4} {(3 - y)}^{\frac{4}{3}} - 18 {(3 - y)}^{\frac{1}{3}} + C$