कैलकुलस उदाहरण

$\int x^{2} \cos (7 x) d x$

चरण 1

$\int u d v = u v - \int v d u$ , जहां $u = x^{2}$ और $d v = \cos (7 x)$ सूत्र का उपयोग करके भागों द्वारा एकीकृत करें.

$x^{2} (\frac{1}{7} \sin (7 x)) - \int \frac{1}{7} \sin (7 x) (2 x) d x$

चरण 2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

$\frac{1}{7}$ और $\sin (7 x)$ को मिलाएं.

$x^{2} \frac{\sin (7 x)}{7} - \int \frac{1}{7} \sin (7 x) (2 x) d x$

चरण 2.2

$x^{2}$ और $\frac{\sin (7 x)}{7}$ को मिलाएं.

$\frac{x^{2} \sin (7 x)}{7} - \int \frac{1}{7} \sin (7 x) (2 x) d x$

चरण 3

चूँकि $\frac{1}{7} \cdot 2$ बटे $x$ अचर है, $\frac{1}{7} \cdot 2$ को समाकलन से हटा दें.

$\frac{x^{2} \sin (7 x)}{7} - (\frac{1}{7} \cdot 2 \int \sin (7 x) (x) d x)$

चरण 4

$\frac{1}{7}$ और $2$ को मिलाएं.

$\frac{x^{2} \sin (7 x)}{7} - \frac{2}{7} \int \sin (7 x) (x) d x$

चरण 5

$\int u d v = u v - \int v d u$ , जहां $u = x$ और $d v = \sin (7 x)$ सूत्र का उपयोग करके भागों द्वारा एकीकृत करें.

$\frac{x^{2} \sin (7 x)}{7} - \frac{2}{7} (x (- \frac{1}{7} \cos (7 x)) - \int - \frac{1}{7} \cos (7 x) d x)$

चरण 6

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

$\cos (7 x)$ और $\frac{1}{7}$ को मिलाएं.

$\frac{x^{2} \sin (7 x)}{7} - \frac{2}{7} (x (- \frac{\cos (7 x)}{7}) - \int - \frac{1}{7} \cos (7 x) d x)$

चरण 6.2

$x$ और $\frac{\cos (7 x)}{7}$ को मिलाएं.

$\frac{x^{2} \sin (7 x)}{7} - \frac{2}{7} (- \frac{x \cos (7 x)}{7} - \int - \frac{1}{7} \cos (7 x) d x)$

चरण 6.3

$\cos (7 x)$ और $\frac{1}{7}$ को मिलाएं.

$\frac{x^{2} \sin (7 x)}{7} - \frac{2}{7} (- \frac{x \cos (7 x)}{7} - \int - \frac{\cos (7 x)}{7} d x)$

चरण 7

चूँकि $- 1$ बटे $x$ अचर है, $- 1$ को समाकलन से हटा दें.

$\frac{x^{2} \sin (7 x)}{7} - \frac{2}{7} (- \frac{x \cos (7 x)}{7} - - \int \frac{\cos (7 x)}{7} d x)$

चरण 8

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1

$- 1$ को $- 1$ से गुणा करें.

$\frac{x^{2} \sin (7 x)}{7} - \frac{2}{7} (- \frac{x \cos (7 x)}{7} + 1 \int \frac{\cos (7 x)}{7} d x)$

चरण 8.2

$\int \frac{\cos (7 x)}{7} d x$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{x^{2} \sin (7 x)}{7} - \frac{2}{7} (- \frac{x \cos (7 x)}{7} + \int \frac{\cos (7 x)}{7} d x)$

चरण 9

चूँकि $\frac{1}{7}$ बटे $x$ अचर है, $\frac{1}{7}$ को समाकलन से हटा दें.

$\frac{x^{2} \sin (7 x)}{7} - \frac{2}{7} (- \frac{x \cos (7 x)}{7} + \frac{1}{7} \int \cos (7 x) d x)$

चरण 10

मान लीजिए $u = 7 x$ .फिर $d u = 7 d x$ , तो $\frac{1}{7} d u = d x$ . $u$ और $d$ $u$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.1

मान लें $u = 7 x$ . $\frac{d u}{d x}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.1.1

$7 x$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d x} [7 x]$

चरण 10.1.2

चूंकि $7$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $7 x$ का व्युत्पन्न $7 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$7 \frac{d}{d x} [x]$

चरण 10.1.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$7 \cdot 1$

चरण 10.1.4

$7$ को $1$ से गुणा करें.

$7$

चरण 10.2

$u$ और $d u$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$\frac{x^{2} \sin (7 x)}{7} - \frac{2}{7} (- \frac{x \cos (7 x)}{7} + \frac{1}{7} \int \cos (u) \frac{1}{7} d u)$

चरण 11

$\cos (u)$ और $\frac{1}{7}$ को मिलाएं.

$\frac{x^{2} \sin (7 x)}{7} - \frac{2}{7} (- \frac{x \cos (7 x)}{7} + \frac{1}{7} \int \frac{\cos (u)}{7} d u)$

चरण 12

चूँकि $\frac{1}{7}$ बटे $u$ अचर है, $\frac{1}{7}$ को समाकलन से हटा दें.

$\frac{x^{2} \sin (7 x)}{7} - \frac{2}{7} (- \frac{x \cos (7 x)}{7} + \frac{1}{7} (\frac{1}{7} \int \cos (u) d u))$

चरण 13

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 13.1

$\frac{1}{7}$ को $\frac{1}{7}$ से गुणा करें.

$\frac{x^{2} \sin (7 x)}{7} - \frac{2}{7} (- \frac{x \cos (7 x)}{7} + \frac{1}{7 \cdot 7} \int \cos (u) d u)$

चरण 13.2

$7$ को $7$ से गुणा करें.

$\frac{x^{2} \sin (7 x)}{7} - \frac{2}{7} (- \frac{x \cos (7 x)}{7} + \frac{1}{49} \int \cos (u) d u)$

चरण 14

$u$ के संबंध में $\cos (u)$ का इंटीग्रल $\sin (u)$ है.

$\frac{x^{2} \sin (7 x)}{7} - \frac{2}{7} (- \frac{x \cos (7 x)}{7} + \frac{1}{49} (\sin (u) + C))$

चरण 15

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 15.1

$\frac{x^{2} \sin (7 x)}{7} - \frac{2}{7} (- \frac{x \cos (7 x)}{7} + \frac{1}{49} (\sin (u) + C))$ को $\frac{1}{7} x^{2} \sin (7 x) - \frac{2}{7} (- \frac{1}{7} x \cos (7 x) + \frac{1}{49} \sin (u)) + C$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{1}{7} x^{2} \sin (7 x) - \frac{2}{7} (- \frac{1}{7} x \cos (7 x) + \frac{1}{49} \sin (u)) + C$

चरण 15.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 15.2.1

$\frac{1}{7}$ और $x^{2}$ को मिलाएं.

$\frac{x^{2}}{7} \sin (7 x) - \frac{2}{7} (- \frac{1}{7} x \cos (7 x) + \frac{1}{49} \sin (u)) + C$

चरण 15.2.2

$\frac{x^{2}}{7}$ और $\sin (7 x)$ को मिलाएं.

$\frac{x^{2} \sin (7 x)}{7} - \frac{2}{7} (- \frac{1}{7} x \cos (7 x) + \frac{1}{49} \sin (u)) + C$

चरण 15.2.3

$x$ और $\frac{1}{7}$ को मिलाएं.

$\frac{x^{2} \sin (7 x)}{7} - \frac{2}{7} (- \frac{x}{7} \cos (7 x) + \frac{1}{49} \sin (u)) + C$

चरण 15.2.4

$\cos (7 x)$ और $\frac{x}{7}$ को मिलाएं.

$\frac{x^{2} \sin (7 x)}{7} - \frac{2}{7} (- \frac{\cos (7 x) x}{7} + \frac{1}{49} \sin (u)) + C$

चरण 15.2.5

$\frac{1}{49}$ और $\sin (u)$ को मिलाएं.

$\frac{x^{2} \sin (7 x)}{7} - \frac{2}{7} (- \frac{\cos (7 x) x}{7} + \frac{\sin (u)}{49}) + C$

चरण 15.2.6

$- \frac{2}{7} (- \frac{\cos (7 x) x}{7} + \frac{\sin (u)}{49})$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{7}{7}$ से गुणा करें.

$\frac{x^{2} \sin (7 x)}{7} - \frac{2}{7} (- \frac{\cos (7 x) x}{7} + \frac{\sin (u)}{49}) \cdot \frac{7}{7} + C$

चरण 15.2.7

$- \frac{2}{7} (- \frac{\cos (7 x) x}{7} + \frac{\sin (u)}{49})$ और $\frac{7}{7}$ को मिलाएं.

$\frac{x^{2} \sin (7 x)}{7} + \frac{- \frac{2}{7} (- \frac{\cos (7 x) x}{7} + \frac{\sin (u)}{49}) \cdot 7}{7} + C$

चरण 15.2.8

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{x^{2} \sin (7 x) - \frac{2}{7} (- \frac{\cos (7 x) x}{7} + \frac{\sin (u)}{49}) \cdot 7}{7} + C$

चरण 15.2.9

$7$ को $- 1$ से गुणा करें.

$\frac{x^{2} \sin (7 x) - 7 (\frac{2}{7}) (- \frac{\cos (7 x) x}{7} + \frac{\sin (u)}{49})}{7} + C$

चरण 15.2.10

$- 7$ और $\frac{2}{7}$ को मिलाएं.

$\frac{x^{2} \sin (7 x) + \frac{- 7 \cdot 2}{7} (- \frac{\cos (7 x) x}{7} + \frac{\sin (u)}{49})}{7} + C$

चरण 15.2.11

$- 7$ को $2$ से गुणा करें.

$\frac{x^{2} \sin (7 x) + \frac{- 14}{7} (- \frac{\cos (7 x) x}{7} + \frac{\sin (u)}{49})}{7} + C$

चरण 15.2.12

$- 14$ और $7$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 15.2.12.1

$- 14$ में से $7$ का गुणनखंड करें.

$\frac{x^{2} \sin (7 x) + \frac{7 \cdot - 2}{7} (- \frac{\cos (7 x) x}{7} + \frac{\sin (u)}{49})}{7} + C$

चरण 15.2.12.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 15.2.12.2.1

$7$ में से $7$ का गुणनखंड करें.

$\frac{x^{2} \sin (7 x) + \frac{7 \cdot - 2}{7 (1)} (- \frac{\cos (7 x) x}{7} + \frac{\sin (u)}{49})}{7} + C$

चरण 15.2.12.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{x^{2} \sin (7 x) + \frac{7 \cdot - 2}{7 \cdot 1} (- \frac{\cos (7 x) x}{7} + \frac{\sin (u)}{49})}{7} + C$

चरण 15.2.12.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{x^{2} \sin (7 x) + \frac{- 2}{1} (- \frac{\cos (7 x) x}{7} + \frac{\sin (u)}{49})}{7} + C$

चरण 15.2.12.2.4

$- 2$ को $1$ से विभाजित करें.

$\frac{x^{2} \sin (7 x) - 2 (- \frac{\cos (7 x) x}{7} + \frac{\sin (u)}{49})}{7} + C$

चरण 16

$u$ की सभी घटनाओं को $7 x$ से बदलें.

$\frac{x^{2} \sin (7 x) - 2 (- \frac{\cos (7 x) x}{7} + \frac{\sin (7 x)}{49})}{7} + C$

चरण 17

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 17.1

गुणनखंडों को $\frac{\cos (7 x) x}{7}$ में पुन: क्रमित करें.

$\frac{x^{2} \sin (7 x) - 2 (- \frac{x \cos (7 x)}{7} + \frac{\sin (7 x)}{49})}{7} + C$

चरण 17.2

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 17.2.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{x^{2} \sin (7 x) - 2 (- \frac{x \cos (7 x)}{7}) - 2 \frac{\sin (7 x)}{49}}{7} + C$

चरण 17.2.2

$- 2 (- \frac{x \cos (7 x)}{7})$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 17.2.2.1

$- 1$ को $- 2$ से गुणा करें.

$\frac{x^{2} \sin (7 x) + 2 \frac{x \cos (7 x)}{7} - 2 \frac{\sin (7 x)}{49}}{7} + C$

चरण 17.2.2.2

$2$ और $\frac{x \cos (7 x)}{7}$ को मिलाएं.

$\frac{x^{2} \sin (7 x) + \frac{2 (x \cos (7 x))}{7} - 2 \frac{\sin (7 x)}{49}}{7} + C$

चरण 17.2.3

$- 2$ और $\frac{\sin (7 x)}{49}$ को मिलाएं.

$\frac{x^{2} \sin (7 x) + \frac{2 (x \cos (7 x))}{7} + \frac{- 2 \sin (7 x)}{49}}{7} + C$

चरण 17.2.4

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$\frac{x^{2} \sin (7 x) + \frac{2 x \cos (7 x)}{7} - \frac{2 \sin (7 x)}{49}}{7} + C$

चरण 17.2.5

$x^{2} \sin (7 x)$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{49}{49}$ से गुणा करें.

$\frac{\frac{2 x \cos (7 x)}{7} + x^{2} \sin (7 x) \cdot \frac{49}{49} - \frac{2 \sin (7 x)}{49}}{7} + C$

चरण 17.2.6

$x^{2} \sin (7 x)$ और $\frac{49}{49}$ को मिलाएं.

$\frac{\frac{2 x \cos (7 x)}{7} + \frac{x^{2} \sin (7 x) \cdot 49}{49} - \frac{2 \sin (7 x)}{49}}{7} + C$

चरण 17.2.7

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{\frac{2 x \cos (7 x)}{7} + \frac{x^{2} \sin (7 x) \cdot 49 - 2 \sin (7 x)}{49}}{7} + C$

चरण 17.2.8

$\frac{2 x \cos (7 x)}{7}$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{7}{7}$ से गुणा करें.

$\frac{\frac{2 x \cos (7 x)}{7} \cdot \frac{7}{7} + \frac{x^{2} \sin (7 x) \cdot 49 - 2 \sin (7 x)}{49}}{7} + C$

चरण 17.2.9

प्रत्येक व्यंजक को $49$ के सामान्य भाजक के साथ लिखें, प्रत्येक को $1$ के उपयुक्त गुणनखंड से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 17.2.9.1

$\frac{2 x \cos (7 x)}{7}$ को $\frac{7}{7}$ से गुणा करें.

$\frac{\frac{2 x \cos (7 x) \cdot 7}{7 \cdot 7} + \frac{x^{2} \sin (7 x) \cdot 49 - 2 \sin (7 x)}{49}}{7} + C$

चरण 17.2.9.2

$7$ को $7$ से गुणा करें.

$\frac{\frac{2 x \cos (7 x) \cdot 7}{49} + \frac{x^{2} \sin (7 x) \cdot 49 - 2 \sin (7 x)}{49}}{7} + C$

चरण 17.2.10

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{\frac{2 x \cos (7 x) \cdot 7 + x^{2} \sin (7 x) \cdot 49 - 2 \sin (7 x)}{49}}{7} + C$

चरण 17.2.11

$\frac{2 x \cos (7 x) \cdot 7 + x^{2} \sin (7 x) \cdot 49 - 2 \sin (7 x)}{49}$ को गुणनखंड रूप में फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 17.2.11.1

$7$ को $2$ से गुणा करें.

$\frac{\frac{14 x \cos (7 x) + x^{2} \sin (7 x) \cdot 49 - 2 \sin (7 x)}{49}}{7} + C$

चरण 17.2.11.2

$49$ को $x^{2} \sin (7 x)$ के बाईं ओर ले जाएं.

$\frac{\frac{14 x \cos (7 x) + 49 x^{2} \sin (7 x) - 2 \sin (7 x)}{49}}{7} + C$

चरण 17.3

भाजक के प्रतिलोम से न्यूमेरेटर को गुणा करें.

$\frac{14 x \cos (7 x) + 49 x^{2} \sin (7 x) - 2 \sin (7 x)}{49} \cdot \frac{1}{7} + C$

चरण 17.4

$\frac{14 x \cos (7 x) + 49 x^{2} \sin (7 x) - 2 \sin (7 x)}{49} \cdot \frac{1}{7}$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 17.4.1

$\frac{14 x \cos (7 x) + 49 x^{2} \sin (7 x) - 2 \sin (7 x)}{49}$ को $\frac{1}{7}$ से गुणा करें.

$\frac{14 x \cos (7 x) + 49 x^{2} \sin (7 x) - 2 \sin (7 x)}{49 \cdot 7} + C$

चरण 17.4.2

$49$ को $7$ से गुणा करें.

$\frac{14 x \cos (7 x) + 49 x^{2} \sin (7 x) - 2 \sin (7 x)}{343} + C$

चरण 17.5

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$\frac{1}{343} (14 x \cos (7 x) + 49 x^{2} \sin (7 x) - 2 \sin (7 x)) + C$