कैलकुलस उदाहरण

$\int_{\sqrt{x}}^{2 x} \arctan (t) d t$

चरण 1

$\int u d v = u v - \int v d u$ , जहां $u = \arctan (t)$ और $d v = 1$ सूत्र का उपयोग करके भागों द्वारा एकीकृत करें.

$\arctan (t) t]_{\sqrt{x}}^{2 x} - \int_{\sqrt{x}}^{2 x} t \frac{1}{t^{2} + 1} d t$

चरण 2

$t$ और $\frac{1}{t^{2} + 1}$ को मिलाएं.

$\arctan (t) t]_{\sqrt{x}}^{2 x} - \int_{\sqrt{x}}^{2 x} \frac{t}{t^{2} + 1} d t$

चरण 3

मान लीजिए $u = t^{2} + 1$ .फिर $d u = 2 t d t$ , तो $\frac{1}{2} d u = t d t$ . $u$ और $d$ $u$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

मान लें $u = t^{2} + 1$ . $\frac{d u}{d t}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1.1

$t^{2} + 1$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d t} [t^{2} + 1]$

चरण 3.1.2

योग नियम के अनुसार, $t$ के संबंध में $t^{2} + 1$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [1]$ है.

$\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [1]$

चरण 3.1.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ $n t^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$2 t + \frac{d}{d t} [1]$

चरण 3.1.4

चूंकि $t$ के संबंध में $1$ स्थिर है, $t$ के संबंध में $1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$2 t + 0$

चरण 3.1.5

$2 t$ और $0$ जोड़ें.

$2 t$

चरण 3.2

$t$ के लिए $u = t^{2} + 1$ में निचली सीमा को प्रतिस्थापित करें.

$u_{lower} = {\sqrt{x}}^{2} + 1$

चरण 3.3

${\sqrt{x}}^{2}$ को $x$ के रूप में फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.1

$\sqrt{x}$ को $x^{\frac{1}{2}}$ के रूप में फिर से लिखने के लिए $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ का उपयोग करें.

$u_{lower} = {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} + 1$

चरण 3.3.2

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$u_{lower} = x^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 1$

चरण 3.3.3

$\frac{1}{2}$ और $2$ को मिलाएं.

$u_{lower} = x^{\frac{2}{2}} + 1$

चरण 3.3.4

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.4.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$u_{lower} = x^{\frac{2}{2}} + 1$

चरण 3.3.4.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$u_{lower} = x^{1} + 1$

चरण 3.3.5

सरल करें.

$u_{lower} = x + 1$

चरण 3.4

$t$ के लिए $u = t^{2} + 1$ में ऊपरी सीमा को प्रतिस्थापित करें.

$u_{upper} = {(2 x)}^{2} + 1$

चरण 3.5

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.5.1

उत्पाद नियम को $2 x$ पर लागू करें.

$u_{upper} = 2^{2} x^{2} + 1$

चरण 3.5.2

$2$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$u_{upper} = 4 x^{2} + 1$

चरण 3.6

$u_{lower}$ और $u_{upper}$ के लिए पाए गए मानों का उपयोग निश्चित समाकल का मूल्यांकन करने के लिए किया जाएगा.

$u_{lower} = x + 1$

$u_{upper} = 4 x^{2} + 1$

चरण 3.7

$u$ , $d u$ और समाकलन की नई सीमाओं का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$\arctan (t) t]_{\sqrt{x}}^{2 x} - \int_{x + 1}^{4 x^{2} + 1} \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

चरण 4

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

$\frac{1}{u}$ को $\frac{1}{2}$ से गुणा करें.

$\arctan (t) t]_{\sqrt{x}}^{2 x} - \int_{x + 1}^{4 x^{2} + 1} \frac{1}{u \cdot 2} d u$

चरण 4.2

$2$ को $u$ के बाईं ओर ले जाएं.

$\arctan (t) t]_{\sqrt{x}}^{2 x} - \int_{x + 1}^{4 x^{2} + 1} \frac{1}{2 u} d u$

चरण 5

चूँकि $\frac{1}{2}$ बटे $u$ अचर है, $\frac{1}{2}$ को समाकलन से हटा दें.

$\arctan (t) t]_{\sqrt{x}}^{2 x} - (\frac{1}{2} \int_{x + 1}^{4 x^{2} + 1} \frac{1}{u} d u)$

चरण 6

$u$ के संबंध में $\frac{1}{u}$ का इंटीग्रल $\ln (| u |)$ है.

$\arctan (t) t]_{\sqrt{x}}^{2 x} - \frac{1}{2} \ln (| u |)]_{x + 1}^{4 x^{2} + 1}$

चरण 7

प्रतिस्थापित करें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1

$2 x$ पर और $\sqrt{x}$ पर $\arctan (t) t$ का मान ज्ञात करें.

$(\arctan (2 x) (2 x)) - \arctan (\sqrt{x}) \sqrt{x} - \frac{1}{2} \ln (| u |)]_{x + 1}^{4 x^{2} + 1}$

चरण 7.2

$4 x^{2} + 1$ पर और $x + 1$ पर $\ln (| u |)$ का मान ज्ञात करें.

$(\arctan (2 x) (2 x)) - \arctan (\sqrt{x}) \sqrt{x} - \frac{1}{2} ((\ln (| 4 x^{2} + 1 |)) - \ln (| x + 1 |))$

चरण 7.3

कोष्ठक हटा दें.

$\arctan (2 x) (2 x) - \arctan (\sqrt{x}) \sqrt{x} - \frac{1}{2} (\ln (| 4 x^{2} + 1 |) - \ln (| x + 1 |))$

चरण 8

लघुगणक के भागफल गुण $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ का प्रयोग करें.

$\arctan (2 x) (2 x) - \arctan (\sqrt{x}) \sqrt{x} - \frac{1}{2} \ln (\frac{| 4 x^{2} + 1 |}{| x + 1 |})$

चरण 9

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1.1

गुणन के क्रमविनिमेय गुण का उपयोग करके फिर से लिखें.

$2 \arctan (2 x) x - \arctan (\sqrt{x}) \sqrt{x} - \frac{1}{2} \ln (\frac{| 4 x^{2} + 1 |}{| x + 1 |})$

चरण 9.1.2

$\ln (\frac{| 4 x^{2} + 1 |}{| x + 1 |})$ और $\frac{1}{2}$ को मिलाएं.

$2 \arctan (2 x) x - \arctan (\sqrt{x}) \sqrt{x} - \frac{\ln (\frac{| 4 x^{2} + 1 |}{| x + 1 |})}{2}$

चरण 9.2

$2 \arctan (2 x) x$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{2}{2}$ से गुणा करें.

$- \arctan (\sqrt{x}) \sqrt{x} + 2 \arctan (2 x) x \cdot \frac{2}{2} - \frac{\ln (\frac{| 4 x^{2} + 1 |}{| x + 1 |})}{2}$

चरण 9.3

$2 \arctan (2 x) x$ और $\frac{2}{2}$ को मिलाएं.

$- \arctan (\sqrt{x}) \sqrt{x} + \frac{2 \arctan (2 x) x \cdot 2}{2} - \frac{\ln (\frac{| 4 x^{2} + 1 |}{| x + 1 |})}{2}$

चरण 9.4

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$- \arctan (\sqrt{x}) \sqrt{x} + \frac{2 \arctan (2 x) x \cdot 2 - \ln (\frac{| 4 x^{2} + 1 |}{| x + 1 |})}{2}$

चरण 9.5

$2$ को $2$ से गुणा करें.

$- \arctan (\sqrt{x}) \sqrt{x} + \frac{4 \arctan (2 x) x - \ln (\frac{| 4 x^{2} + 1 |}{| x + 1 |})}{2}$