कैलकुलस उदाहरण

$\int t^{2} \sin (B t) d t$

चरण 1

$\int u d v = u v - \int v d u$ , जहां $u = t^{2}$ और $d v = \sin (B t)$ सूत्र का उपयोग करके भागों द्वारा एकीकृत करें.

$t^{2} (- \frac{\cos (B t)}{B}) - \int - \frac{\cos (B t)}{B} (2 t) d t$

चरण 2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

$t^{2}$ और $\frac{\cos (B t)}{B}$ को मिलाएं.

$- \frac{t^{2} \cos (B t)}{B} - \int - \frac{\cos (B t)}{B} (2 t) d t$

चरण 2.2

$2$ को $- 1$ से गुणा करें.

$- \frac{t^{2} \cos (B t)}{B} - \int - 2 \frac{\cos (B t)}{B} t d t$

चरण 2.3

$- 2$ और $\frac{\cos (B t)}{B}$ को मिलाएं.

$- \frac{t^{2} \cos (B t)}{B} - \int \frac{- 2 \cos (B t)}{B} t d t$

चरण 2.4

$\frac{- 2 \cos (B t)}{B}$ और $t$ को मिलाएं.

$- \frac{t^{2} \cos (B t)}{B} - \int \frac{- 2 \cos (B t) t}{B} d t$

चरण 2.5

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$- \frac{t^{2} \cos (B t)}{B} - \int - \frac{2 \cos (B t) t}{B} d t$

चरण 3

चूँकि $- 1$ बटे $t$ अचर है, $- 1$ को समाकलन से हटा दें.

$- \frac{t^{2} \cos (B t)}{B} - - \int \frac{2 \cos (B t) t}{B} d t$

चरण 4

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

$- 1$ को $- 1$ से गुणा करें.

$- \frac{t^{2} \cos (B t)}{B} + 1 \int \frac{2 \cos (B t) t}{B} d t$

चरण 4.2

$\int \frac{2 \cos (B t) t}{B} d t$ को $1$ से गुणा करें.

$- \frac{t^{2} \cos (B t)}{B} + \int \frac{2 \cos (B t) t}{B} d t$

चरण 5

चूँकि $\frac{2}{B}$ बटे $t$ अचर है, $\frac{2}{B}$ को समाकलन से हटा दें.

$- \frac{t^{2} \cos (B t)}{B} + \frac{2}{B} \int \cos (B t) t d t$

चरण 6

$\int u d v = u v - \int v d u$ , जहां $u = t$ और $d v = \cos (B t)$ सूत्र का उपयोग करके भागों द्वारा एकीकृत करें.

$- \frac{t^{2} \cos (B t)}{B} + \frac{2}{B} (t \frac{\sin (B t)}{B} - \int \frac{\sin (B t)}{B} d t)$

चरण 7

$t$ और $\frac{\sin (B t)}{B}$ को मिलाएं.

$- \frac{t^{2} \cos (B t)}{B} + \frac{2}{B} (\frac{t \sin (B t)}{B} - \int \frac{\sin (B t)}{B} d t)$

चरण 8

चूँकि $\frac{1}{B}$ बटे $t$ अचर है, $\frac{1}{B}$ को समाकलन से हटा दें.

$- \frac{t^{2} \cos (B t)}{B} + \frac{2}{B} (\frac{t \sin (B t)}{B} - (\frac{1}{B} \int \sin (B t) d t))$

चरण 9

मान लीजिए $u = B t$ .फिर $d u = B d t$ , तो $\frac{1}{B} d u = d t$ . $u$ और $d$ $u$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1

मान लें $u = B t$ . $\frac{d u}{d t}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1.1

$B t$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d t} [B t]$

चरण 9.1.2

चूंकि $B$ , $t$ के संबंध में स्थिर है, $t$ के संबंध में $B t$ का व्युत्पन्न $B \frac{d}{d t} [t]$ है.

$B \frac{d}{d t} [t]$

चरण 9.1.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ $n t^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$B \cdot 1$

चरण 9.1.4

$B$ को $1$ से गुणा करें.

$B$

चरण 9.2

$u$ और $d u$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$- \frac{t^{2} \cos (B t)}{B} + \frac{2}{B} (\frac{t \sin (B t)}{B} - \frac{1}{B} \int \sin (u) \frac{1}{B} d u)$

चरण 10

$\sin (u)$ और $\frac{1}{B}$ को मिलाएं.

$- \frac{t^{2} \cos (B t)}{B} + \frac{2}{B} (\frac{t \sin (B t)}{B} - \frac{1}{B} \int \frac{\sin (u)}{B} d u)$

चरण 11

चूँकि $\frac{1}{B}$ बटे $u$ अचर है, $\frac{1}{B}$ को समाकलन से हटा दें.

$- \frac{t^{2} \cos (B t)}{B} + \frac{2}{B} (\frac{t \sin (B t)}{B} - \frac{1}{B} (\frac{1}{B} \int \sin (u) d u))$

चरण 12

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.1

$\frac{1}{B}$ को $\frac{1}{B}$ से गुणा करें.

$- \frac{t^{2} \cos (B t)}{B} + \frac{2}{B} (\frac{t \sin (B t)}{B} - \frac{1}{B \cdot B} \int \sin (u) d u)$

चरण 12.2

$B$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$- \frac{t^{2} \cos (B t)}{B} + \frac{2}{B} (\frac{t \sin (B t)}{B} - \frac{1}{B^{1} B} \int \sin (u) d u)$

चरण 12.3

$B$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$- \frac{t^{2} \cos (B t)}{B} + \frac{2}{B} (\frac{t \sin (B t)}{B} - \frac{1}{B^{1} B^{1}} \int \sin (u) d u)$

चरण 12.4

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$- \frac{t^{2} \cos (B t)}{B} + \frac{2}{B} (\frac{t \sin (B t)}{B} - \frac{1}{B^{1 + 1}} \int \sin (u) d u)$

चरण 12.5

$1$ और $1$ जोड़ें.

$- \frac{t^{2} \cos (B t)}{B} + \frac{2}{B} (\frac{t \sin (B t)}{B} - \frac{1}{B^{2}} \int \sin (u) d u)$

चरण 13

$u$ के संबंध में $\sin (u)$ का इंटीग्रल $- \cos (u)$ है.

$- \frac{t^{2} \cos (B t)}{B} + \frac{2}{B} (\frac{t \sin (B t)}{B} - \frac{1}{B^{2}} (- \cos (u) + C))$

चरण 14

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 14.1

$- \frac{t^{2} \cos (B t)}{B} + \frac{2}{B} (\frac{t \sin (B t)}{B} - \frac{1}{B^{2}} (- \cos (u) + C))$ को $- \frac{t^{2} \cos (B t)}{B} + \frac{2}{B} (\frac{t \sin (B t)}{B} + \frac{\cos (u)}{B^{2}}) + C$ के रूप में फिर से लिखें.

$- \frac{t^{2} \cos (B t)}{B} + \frac{2}{B} (\frac{t \sin (B t)}{B} + \frac{\cos (u)}{B^{2}}) + C$

चरण 14.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 14.2.1

$\frac{2}{B} (\frac{t \sin (B t)}{B} + \frac{\cos (u)}{B^{2}})$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{B}{B}$ से गुणा करें.

$- \frac{t^{2} \cos (B t)}{B} + \frac{2}{B} (\frac{t \sin (B t)}{B} + \frac{\cos (u)}{B^{2}}) \cdot \frac{B}{B} + C$

चरण 14.2.2

$\frac{2}{B} (\frac{t \sin (B t)}{B} + \frac{\cos (u)}{B^{2}})$ और $\frac{B}{B}$ को मिलाएं.

$- \frac{t^{2} \cos (B t)}{B} + \frac{\frac{2}{B} (\frac{t \sin (B t)}{B} + \frac{\cos (u)}{B^{2}}) B}{B} + C$

चरण 14.2.3

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{- t^{2} \cos (B t) + \frac{2}{B} (\frac{t \sin (B t)}{B} + \frac{\cos (u)}{B^{2}}) B}{B} + C$

चरण 14.2.4

$B$ और $\frac{2}{B}$ को मिलाएं.

$\frac{- t^{2} \cos (B t) + \frac{B \cdot 2}{B} (\frac{t \sin (B t)}{B} + \frac{\cos (u)}{B^{2}})}{B} + C$

चरण 14.2.5

$2$ को $B$ के बाईं ओर ले जाएं.

$\frac{- t^{2} \cos (B t) + \frac{2 \cdot B}{B} (\frac{t \sin (B t)}{B} + \frac{\cos (u)}{B^{2}})}{B} + C$

चरण 14.2.6

$B$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 14.2.6.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{- t^{2} \cos (B t) + \frac{2 B}{B} (\frac{t \sin (B t)}{B} + \frac{\cos (u)}{B^{2}})}{B} + C$

चरण 14.2.6.2

$2$ को $1$ से विभाजित करें.

$\frac{- t^{2} \cos (B t) + 2 (\frac{t \sin (B t)}{B} + \frac{\cos (u)}{B^{2}})}{B} + C$

चरण 15

$u$ की सभी घटनाओं को $B t$ से बदलें.

$\frac{- t^{2} \cos (B t) + 2 (\frac{t \sin (B t)}{B} + \frac{\cos (B t)}{B^{2}})}{B} + C$

चरण 16

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 16.1

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 16.1.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{- t^{2} \cos (B t) + 2 \frac{t \sin (B t)}{B} + 2 \frac{\cos (B t)}{B^{2}}}{B} + C$

चरण 16.1.2

$2$ और $\frac{t \sin (B t)}{B}$ को मिलाएं.

$\frac{- t^{2} \cos (B t) + \frac{2 (t \sin (B t))}{B} + 2 \frac{\cos (B t)}{B^{2}}}{B} + C$

चरण 16.1.3

$2$ और $\frac{\cos (B t)}{B^{2}}$ को मिलाएं.

$\frac{- t^{2} \cos (B t) + \frac{2 t \sin (B t)}{B} + \frac{2 \cos (B t)}{B^{2}}}{B} + C$

चरण 16.2

$- t^{2} \cos (B t)$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

$\frac{- (t^{2} \cos (B t)) + \frac{2 t \sin (B t)}{B} + \frac{2 \cos (B t)}{B^{2}}}{B} + C$

चरण 16.3

$\frac{2 t \sin (B t)}{B}$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

$\frac{- (t^{2} \cos (B t)) - \frac{- 2 t \sin (B t)}{B} + \frac{2 \cos (B t)}{B^{2}}}{B} + C$

चरण 16.4

$- (t^{2} \cos (B t)) - \frac{- 2 t \sin (B t)}{B}$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

$\frac{- (t^{2} \cos (B t) + \frac{- 2 t \sin (B t)}{B}) + \frac{2 \cos (B t)}{B^{2}}}{B} + C$

चरण 16.5

$\frac{2 \cos (B t)}{B^{2}}$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

$\frac{- (t^{2} \cos (B t) + \frac{- 2 t \sin (B t)}{B}) - \frac{- 2 \cos (B t)}{B^{2}}}{B} + C$

चरण 16.6

$- (t^{2} \cos (B t) + \frac{- 2 t \sin (B t)}{B}) - \frac{- 2 \cos (B t)}{B^{2}}$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

$\frac{- (t^{2} \cos (B t) + \frac{- 2 t \sin (B t)}{B} + \frac{- 2 \cos (B t)}{B^{2}})}{B} + C$

चरण 16.7

$- (t^{2} \cos (B t) + \frac{- 2 t \sin (B t)}{B} + \frac{- 2 \cos (B t)}{B^{2}})$ को $- 1 (t^{2} \cos (B t) + \frac{- 2 t \sin (B t)}{B} + \frac{- 2 \cos (B t)}{B^{2}})$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{- 1 (t^{2} \cos (B t) + \frac{- 2 t \sin (B t)}{B} + \frac{- 2 \cos (B t)}{B^{2}})}{B} + C$

चरण 16.8

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$- \frac{t^{2} \cos (B t) + \frac{- 2 t \sin (B t)}{B} + \frac{- 2 \cos (B t)}{B^{2}}}{B} + C$

चरण 16.9

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$- \frac{t^{2} \cos (B t) - \frac{2 t \sin (B t)}{B} + \frac{- 2 \cos (B t)}{B^{2}}}{B} + C$

चरण 16.10

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$- \frac{t^{2} \cos (B t) - \frac{2 t \sin (B t)}{B} - \frac{2 \cos (B t)}{B^{2}}}{B} + C$