कैलकुलस उदाहरण

$\int \frac{1}{{(16 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}} d x$

चरण 1

घातांक को मूलक के रूप में फिर से लिखने के लिए नियम $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ लागू करें.

$\int \frac{1}{\sqrt{{(16 - x^{2})}^{3}}} d x$

चरण 2

मान लीजिए $x = 4 \sin (t)$ , जहां $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . फिर $d x = 4 \cos (t) d t$ . ध्यान दें कि $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ से, $4 \cos (t)$ सकारात्मक है.

$\int \frac{1}{\sqrt{{(16 - {(4 \sin (t))}^{2})}^{3}}} (4 \cos (t)) d t$

चरण 3

पदों को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

$\sqrt{{(16 - {(4 \sin (t))}^{2})}^{3}}$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1.1.1

उत्पाद नियम को $4 \sin (t)$ पर लागू करें.

$\int \frac{1}{\sqrt{{(16 - (4^{2} \sin^{2} (t)))}^{3}}} (4 \cos (t)) d t$

चरण 3.1.1.2

$4$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$\int \frac{1}{\sqrt{{(16 - (16 \sin^{2} (t)))}^{3}}} (4 \cos (t)) d t$

चरण 3.1.1.3

$16$ को $- 1$ से गुणा करें.

$\int \frac{1}{\sqrt{{(16 - 16 \sin^{2} (t))}^{3}}} (4 \cos (t)) d t$

चरण 3.1.2

$16$ में से $16$ का गुणनखंड करें.

$\int \frac{1}{\sqrt{{(16 (1) - 16 \sin^{2} (t))}^{3}}} (4 \cos (t)) d t$

चरण 3.1.3

$- 16 \sin^{2} (t)$ में से $16$ का गुणनखंड करें.

$\int \frac{1}{\sqrt{{(16 (1) + 16 (- \sin^{2} (t)))}^{3}}} (4 \cos (t)) d t$

चरण 3.1.4

$16 (1) + 16 (- \sin^{2} (t))$ में से $16$ का गुणनखंड करें.

$\int \frac{1}{\sqrt{{(16 (1 - \sin^{2} (t)))}^{3}}} (4 \cos (t)) d t$

चरण 3.1.5

पाइथागोरस सर्वसमिका लागू करें.

$\int \frac{1}{\sqrt{{(16 \cos^{2} (t))}^{3}}} (4 \cos (t)) d t$

चरण 3.1.6

उत्पाद नियम को $16 \cos^{2} (t)$ पर लागू करें.

$\int \frac{1}{\sqrt{16^{3} {(\cos^{2} (t))}^{3}}} (4 \cos (t)) d t$

चरण 3.1.7

$16$ को $3$ के घात तक बढ़ाएं.

$\int \frac{1}{\sqrt{4096 {(\cos^{2} (t))}^{3}}} (4 \cos (t)) d t$

चरण 3.1.8

घातांक को ${(\cos^{2} (t))}^{3}$ में गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1.8.1

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{4096 {\cos (t)}^{2 \cdot 3}}} (4 \cos (t)) d t$

चरण 3.1.8.2

$2$ को $3$ से गुणा करें.

$\int \frac{1}{\sqrt{4096 \cos^{6} (t)}} (4 \cos (t)) d t$

चरण 3.1.9

$4096 \cos^{6} (t)$ को ${(64 \cos^{3} (t))}^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$\int \frac{1}{\sqrt{{(64 \cos^{3} (t))}^{2}}} (4 \cos (t)) d t$

चरण 3.1.10

धनात्मक वास्तविक संख्या मानकर, करणी के अंतर्गत पदों को बाहर निकालें.

$\int \frac{1}{64 \cos^{3} (t)} (4 \cos (t)) d t$

चरण 3.2

$4 \cos (t)$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.1

$64 \cos^{3} (t)$ में से $4 \cos (t)$ का गुणनखंड करें.

$\int \frac{1}{4 \cos (t) (16 \cos^{2} (t))} (4 \cos (t)) d t$

चरण 3.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\int \frac{1}{4 \cos (t) (16 \cos^{2} (t))} (4 \cos (t)) d t$

चरण 3.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\int \frac{1}{16 \cos^{2} (t)} d t$

चरण 4

चूँकि $\frac{1}{16}$ बटे $t$ अचर है, $\frac{1}{16}$ को समाकलन से हटा दें.

$\frac{1}{16} \int \frac{1}{\cos^{2} (t)} d t$

चरण 5

$\frac{1}{\cos^{2} (t)}$ को $\sec^{2} (t)$ में बदलें.

$\frac{1}{16} \int \sec^{2} (t) d t$

चरण 6

चूंकि $\tan (t)$ का व्युत्पन्न $\sec^{2} (t)$ है, $\sec^{2} (t)$ का समाकलन $\tan (t)$ है.

$\frac{1}{16} (\tan (t) + C)$

चरण 7

सरल करें.

$\frac{1}{16} \tan (t) + C$

चरण 8

$t$ की सभी घटनाओं को $\arcsin (\frac{x}{4})$ से बदलें.

$\frac{1}{16} \tan (\arcsin (\frac{x}{4})) + C$

चरण 9

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$\frac{1}{16} \tan (\arcsin (\frac{1}{4} x)) + C$