कैलकुलस उदाहरण

$\int_{0}^{10} \frac{24 t}{2 t + 3} d t$

चरण 1

चूँकि $24$ बटे $t$ अचर है, $24$ को समाकलन से हटा दें.

$24 \int_{0}^{10} \frac{t}{2 t + 3} d t$

चरण 2

$t$ को $2 t + 3$ से विभाजित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

बहुपदों को विभाजित करने के लिए सेट करें. यदि प्रत्येक घातांक के लिए कोई पद नहीं है, तो $0$ के मान वाला एक शब्द डालें.

$2 t$

$3$

$t$

$0$

चरण 2.2

भाज्य $t$ के उच्च क्रम के पद को विभाजक $2 t$ के उच्च क्रम वाले पद से विभाजित करें.

					$\frac{1}{2}$
	$2 t$	+	$3$		$t$	+	$0$

चरण 2.3

भाजक से नए भागफल पद को गुणा करें.

				$\frac{1}{2}$
$2 t$	+	$3$		$t$	+	$0$
			+	$t$	+	$\frac{3}{2}$

चरण 2.4

व्यंजक को भाज्य से घटाने की आवश्यकता है, इसलिए $t + \frac{3}{2}$ में सभी चिह्नों को प्रतिस्थापित करें

				$\frac{1}{2}$
$2 t$	+	$3$		$t$	+	$0$
			-	$t$	-	$\frac{3}{2}$

चरण 2.5

संकेतों को बदलने के बाद, नया लाभांश खोजने के लिए गुणा बहुपद से अंतिम लाभांश जोड़ें.

				$\frac{1}{2}$
$2 t$	+	$3$		$t$	+	$0$
			-	$t$	-	$\frac{3}{2}$
					-	$\frac{3}{2}$

चरण 2.6

अंतिम उत्तर भागफल और भाजक पर शेषफल है.

$24 \int_{0}^{10} \frac{1}{2} - \frac{3}{2 (2 t + 3)} d t$

चरण 3

एकल समाकलन को कई समाकलन में विभाजित करें.

$24 (\int_{0}^{10} \frac{1}{2} d t + \int_{0}^{10} - \frac{3}{2 (2 t + 3)} d t)$

चरण 4

स्थिरांक नियम लागू करें.

$24 (\frac{1}{2} t]_{0}^{10} + \int_{0}^{10} - \frac{3}{2 (2 t + 3)} d t)$

चरण 5

$\frac{1}{2}$ और $t$ को मिलाएं.

$24 (\frac{t}{2}]_{0}^{10} + \int_{0}^{10} - \frac{3}{2 (2 t + 3)} d t)$

चरण 6

चूँकि $- 1$ बटे $t$ अचर है, $- 1$ को समाकलन से हटा दें.

$24 (\frac{t}{2}]_{0}^{10} - \int_{0}^{10} \frac{3}{2 (2 t + 3)} d t)$

चरण 7

चूँकि $\frac{3}{2}$ बटे $t$ अचर है, $\frac{3}{2}$ को समाकलन से हटा दें.

$24 (\frac{t}{2}]_{0}^{10} - (\frac{3}{2} \int_{0}^{10} \frac{1}{2 t + 3} d t))$

चरण 8

मान लीजिए $u = 2 t + 3$ .फिर $d u = 2 d t$ , तो $\frac{1}{2} d u = d t$ . $u$ और $d$ $u$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1

मान लें $u = 2 t + 3$ . $\frac{d u}{d t}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1.1

$2 t + 3$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d t} [2 t + 3]$

चरण 8.1.2

योग नियम के अनुसार, $t$ के संबंध में $2 t + 3$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d t} [2 t] + \frac{d}{d t} [3]$ है.

$\frac{d}{d t} [2 t] + \frac{d}{d t} [3]$

चरण 8.1.3

$\frac{d}{d t} [2 t]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1.3.1

चूंकि $2$ , $t$ के संबंध में स्थिर है, $t$ के संबंध में $2 t$ का व्युत्पन्न $2 \frac{d}{d t} [t]$ है.

$2 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [3]$

चरण 8.1.3.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ $n t^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [3]$

चरण 8.1.3.3

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$2 + \frac{d}{d t} [3]$

चरण 8.1.4

स्थिरांक नियम का उपयोग करके अंतर करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1.4.1

चूंकि $t$ के संबंध में $3$ स्थिर है, $t$ के संबंध में $3$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$2 + 0$

चरण 8.1.4.2

$2$ और $0$ जोड़ें.

$2$

चरण 8.2

$t$ के लिए $u = 2 t + 3$ में निचली सीमा को प्रतिस्थापित करें.

$u_{lower} = 2 \cdot 0 + 3$

चरण 8.3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.3.1

$2$ को $0$ से गुणा करें.

$u_{lower} = 0 + 3$

चरण 8.3.2

$0$ और $3$ जोड़ें.

$u_{lower} = 3$

चरण 8.4

$t$ के लिए $u = 2 t + 3$ में ऊपरी सीमा को प्रतिस्थापित करें.

$u_{upper} = 2 \cdot 10 + 3$

चरण 8.5

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.5.1

$2$ को $10$ से गुणा करें.

$u_{upper} = 20 + 3$

चरण 8.5.2

$20$ और $3$ जोड़ें.

$u_{upper} = 23$

चरण 8.6

$u_{lower}$ और $u_{upper}$ के लिए पाए गए मानों का उपयोग निश्चित समाकल का मूल्यांकन करने के लिए किया जाएगा.

$u_{lower} = 3$

$u_{upper} = 23$

चरण 8.7

$u$ , $d u$ और समाकलन की नई सीमाओं का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$24 (\frac{t}{2}]_{0}^{10} - \frac{3}{2} \int_{3}^{23} \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u)$

चरण 9

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1

$\frac{1}{u}$ को $\frac{1}{2}$ से गुणा करें.

$24 (\frac{t}{2}]_{0}^{10} - \frac{3}{2} \int_{3}^{23} \frac{1}{u \cdot 2} d u)$

चरण 9.2

$2$ को $u$ के बाईं ओर ले जाएं.

$24 (\frac{t}{2}]_{0}^{10} - \frac{3}{2} \int_{3}^{23} \frac{1}{2 u} d u)$

चरण 10

चूँकि $\frac{1}{2}$ बटे $u$ अचर है, $\frac{1}{2}$ को समाकलन से हटा दें.

$24 (\frac{t}{2}]_{0}^{10} - \frac{3}{2} (\frac{1}{2} \int_{3}^{23} \frac{1}{u} d u))$

चरण 11

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.1

$\frac{1}{2}$ को $\frac{3}{2}$ से गुणा करें.

$24 (\frac{t}{2}]_{0}^{10} - \frac{3}{2 \cdot 2} \int_{3}^{23} \frac{1}{u} d u)$

चरण 11.2

$2$ को $2$ से गुणा करें.

$24 (\frac{t}{2}]_{0}^{10} - \frac{3}{4} \int_{3}^{23} \frac{1}{u} d u)$

चरण 12

$u$ के संबंध में $\frac{1}{u}$ का इंटीग्रल $\ln (| u |)$ है.

$24 (\frac{t}{2}]_{0}^{10} - \frac{3}{4} \ln (| u |)]_{3}^{23})$

चरण 13

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 13.1

$\ln (| u |)]_{3}^{23}$ और $\frac{3}{4}$ को मिलाएं.

$24 (\frac{t}{2}]_{0}^{10} - \frac{\ln (| u |)]_{3}^{23} \cdot 3}{4})$

चरण 13.2

$3$ को $\ln (| u |)]_{3}^{23}$ के बाईं ओर ले जाएं.

$24 (\frac{t}{2}]_{0}^{10} - \frac{3 (\ln (| u |)]_{3}^{23})}{4})$

चरण 14

प्रतिस्थापित करें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 14.1

$10$ पर और $0$ पर $\frac{t}{2}$ का मान ज्ञात करें.

$24 ((\frac{10}{2}) - \frac{0}{2} - \frac{3 (\ln (| u |)]_{3}^{23})}{4})$

चरण 14.2

$23$ पर और $3$ पर $\ln (| u |)$ का मान ज्ञात करें.

$24 ((\frac{10}{2}) - \frac{0}{2} - \frac{3 ((\ln (| 23 |)) - \ln (| 3 |))}{4})$

चरण 14.3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 14.3.1

$10$ और $2$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 14.3.1.1

$10$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$24 (\frac{2 \cdot 5}{2} - \frac{0}{2} - \frac{3 ((\ln (| 23 |)) - \ln (| 3 |))}{4})$

चरण 14.3.1.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 14.3.1.2.1

$2$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$24 (\frac{2 \cdot 5}{2 (1)} - \frac{0}{2} - \frac{3 ((\ln (| 23 |)) - \ln (| 3 |))}{4})$

चरण 14.3.1.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$24 (\frac{2 \cdot 5}{2 \cdot 1} - \frac{0}{2} - \frac{3 ((\ln (| 23 |)) - \ln (| 3 |))}{4})$

चरण 14.3.1.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$24 (\frac{5}{1} - \frac{0}{2} - \frac{3 ((\ln (| 23 |)) - \ln (| 3 |))}{4})$

चरण 14.3.1.2.4

$5$ को $1$ से विभाजित करें.

$24 (5 - \frac{0}{2} - \frac{3 ((\ln (| 23 |)) - \ln (| 3 |))}{4})$

चरण 14.3.2

$0$ और $2$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 14.3.2.1

$0$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$24 (5 - \frac{2 (0)}{2} - \frac{3 ((\ln (| 23 |)) - \ln (| 3 |))}{4})$

चरण 14.3.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 14.3.2.2.1

$2$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$24 (5 - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} - \frac{3 ((\ln (| 23 |)) - \ln (| 3 |))}{4})$

चरण 14.3.2.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$24 (5 - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} - \frac{3 ((\ln (| 23 |)) - \ln (| 3 |))}{4})$

चरण 14.3.2.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$24 (5 - \frac{0}{1} - \frac{3 ((\ln (| 23 |)) - \ln (| 3 |))}{4})$

चरण 14.3.2.2.4

$0$ को $1$ से विभाजित करें.

$24 (5 - 0 - \frac{3 ((\ln (| 23 |)) - \ln (| 3 |))}{4})$

चरण 14.3.3

$- 1$ को $0$ से गुणा करें.

$24 (5 + 0 - \frac{3 ((\ln (| 23 |)) - \ln (| 3 |))}{4})$

चरण 14.3.4

$5$ और $0$ जोड़ें.

$24 (5 - \frac{3 ((\ln (| 23 |)) - \ln (| 3 |))}{4})$

चरण 14.3.5

$5$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{4}{4}$ से गुणा करें.

$24 (5 \cdot \frac{4}{4} - \frac{3 (\ln (| 23 |) - \ln (| 3 |))}{4})$

चरण 14.3.6

$5$ और $\frac{4}{4}$ को मिलाएं.

$24 (\frac{5 \cdot 4}{4} - \frac{3 (\ln (| 23 |) - \ln (| 3 |))}{4})$

चरण 14.3.7

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$24 \frac{5 \cdot 4 - 3 (\ln (| 23 |) - \ln (| 3 |))}{4}$

चरण 14.3.8

$5$ को $4$ से गुणा करें.

$24 \frac{20 - 3 (\ln (| 23 |) - \ln (| 3 |))}{4}$

चरण 14.3.9

$24$ और $\frac{20 - 3 (\ln (| 23 |) - \ln (| 3 |))}{4}$ को मिलाएं.

$\frac{24 (20 - 3 (\ln (| 23 |) - \ln (| 3 |)))}{4}$

चरण 14.3.10

$24$ और $4$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 14.3.10.1

$24 (20 - 3 (\ln (| 23 |) - \ln (| 3 |)))$ में से $4$ का गुणनखंड करें.

$\frac{4 (6 (20 - 3 (\ln (| 23 |) - \ln (| 3 |))))}{4}$

चरण 14.3.10.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 14.3.10.2.1

$4$ में से $4$ का गुणनखंड करें.

$\frac{4 (6 (20 - 3 (\ln (| 23 |) - \ln (| 3 |))))}{4 (1)}$

चरण 14.3.10.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{4 (6 (20 - 3 (\ln (| 23 |) - \ln (| 3 |))))}{4 \cdot 1}$

चरण 14.3.10.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{6 (20 - 3 (\ln (| 23 |) - \ln (| 3 |)))}{1}$

चरण 14.3.10.2.4

$6 (20 - 3 (\ln (| 23 |) - \ln (| 3 |)))$ को $1$ से विभाजित करें.

$6 (20 - 3 (\ln (| 23 |) - \ln (| 3 |)))$

चरण 15

लघुगणक के भागफल गुण $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ का प्रयोग करें.

$6 (20 - 3 \ln (\frac{| 23 |}{| 3 |}))$

चरण 16

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 16.1

निरपेक्ष मान किसी संख्या और शून्य के बीच की दूरी है. $0$ और $23$ के बीच की दूरी $23$ है.

$6 (20 - 3 \ln (\frac{23}{| 3 |}))$

चरण 16.2

निरपेक्ष मान किसी संख्या और शून्य के बीच की दूरी है. $0$ और $3$ के बीच की दूरी $3$ है.

$6 (20 - 3 \ln (\frac{23}{3}))$

चरण 16.3

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$6 \cdot 20 + 6 (- 3 \ln (\frac{23}{3}))$

चरण 16.4

$6$ को $20$ से गुणा करें.

$120 + 6 (- 3 \ln (\frac{23}{3}))$

चरण 16.5

$- 3$ को $6$ से गुणा करें.

$120 - 18 \ln (\frac{23}{3})$

चरण 17

परिणाम कई रूपों में दिखाया जा सकता है.

सटीक रूप:

$120 - 18 \ln (\frac{23}{3})$

दशमलव रूप:

$83.33612530 \dots$

चरण 18