कैलकुलस उदाहरण

$\int_{0}^{π} 2 \sin (x) + \sin (2 x) d x$

चरण 1

एकल समाकलन को कई समाकलन में विभाजित करें.

$\int_{0}^{π} 2 \sin (x) d x + \int_{0}^{π} \sin (2 x) d x$

चरण 2

चूँकि $2$ बटे $x$ अचर है, $2$ को समाकलन से हटा दें.

$2 \int_{0}^{π} \sin (x) d x + \int_{0}^{π} \sin (2 x) d x$

चरण 3

$x$ के संबंध में $\sin (x)$ का इंटीग्रल $- \cos (x)$ है.

$2 (- \cos (x)]_{0}^{π}) + \int_{0}^{π} \sin (2 x) d x$

चरण 4

मान लीजिए $u = 2 x$ .फिर $d u = 2 d x$ , तो $\frac{1}{2} d u = d x$ . $u$ और $d$ $u$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

मान लें $u = 2 x$ . $\frac{d u}{d x}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.1

$2 x$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d x} [2 x]$

चरण 4.1.2

चूंकि $2$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $2 x$ का व्युत्पन्न $2 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$2 \frac{d}{d x} [x]$

चरण 4.1.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$2 \cdot 1$

चरण 4.1.4

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$2$

चरण 4.2

$x$ के लिए $u = 2 x$ में निचली सीमा को प्रतिस्थापित करें.

$u_{lower} = 2 \cdot 0$

चरण 4.3

$2$ को $0$ से गुणा करें.

$u_{lower} = 0$

चरण 4.4

$x$ के लिए $u = 2 x$ में ऊपरी सीमा को प्रतिस्थापित करें.

$u_{upper} = 2 π$

चरण 4.5

$u_{lower}$ और $u_{upper}$ के लिए पाए गए मानों का उपयोग निश्चित समाकल का मूल्यांकन करने के लिए किया जाएगा.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 2 π$

चरण 4.6

$u$ , $d u$ और समाकलन की नई सीमाओं का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$2 (- \cos (x)]_{0}^{π}) + \int_{0}^{2 π} \sin (u) \frac{1}{2} d u$

चरण 5

$\sin (u)$ और $\frac{1}{2}$ को मिलाएं.

$2 (- \cos (x)]_{0}^{π}) + \int_{0}^{2 π} \frac{\sin (u)}{2} d u$

चरण 6

चूँकि $\frac{1}{2}$ बटे $u$ अचर है, $\frac{1}{2}$ को समाकलन से हटा दें.

$2 (- \cos (x)]_{0}^{π}) + \frac{1}{2} \int_{0}^{2 π} \sin (u) d u$

चरण 7

$u$ के संबंध में $\sin (u)$ का इंटीग्रल $- \cos (u)$ है.

$2 (- \cos (x)]_{0}^{π}) + \frac{1}{2} - \cos (u)]_{0}^{2 π}$

चरण 8

प्रतिस्थापित करें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1

$π$ पर और $0$ पर $- \cos (x)$ का मान ज्ञात करें.

$2 ((- \cos (π)) + \cos (0)) + \frac{1}{2} - \cos (u)]_{0}^{2 π}$

चरण 8.2

$2 π$ पर और $0$ पर $- \cos (u)$ का मान ज्ञात करें.

$2 ((- \cos (π)) + \cos (0)) + \frac{1}{2} ((- \cos (2 π)) + \cos (0))$

चरण 8.3

कोष्ठक हटा दें.

$2 (- \cos (π) + \cos (0)) + \frac{1}{2} (- \cos (2 π) + \cos (0))$

चरण 9

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1

$\cos (0)$ का सटीक मान $1$ है.

$2 (- \cos (π) + 1) + \frac{1}{2} (- \cos (2 π) + \cos (0))$

चरण 9.2

$\cos (0)$ का सटीक मान $1$ है.

$2 (- \cos (π) + 1) + \frac{1}{2} (- \cos (2 π) + 1)$

चरण 10

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.1

पहले चतुर्थांश में तुल्य त्रिभुज मानों वाला कोण ज्ञात करके संदर्भ कोण लागू करें. व्यंजक को ऋणात्मक बनाएंं क्योंकि दूसरे चतुर्थांश में कोज्या ऋणात्मक है.

$2 (- - \cos (0) + 1) + \frac{1}{2} (- \cos (2 π) + 1)$

चरण 10.2

$\cos (0)$ का सटीक मान $1$ है.

$2 (- (- 1 \cdot 1) + 1) + \frac{1}{2} (- \cos (2 π) + 1)$

चरण 10.3

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$2 (- - 1 + 1) + \frac{1}{2} (- \cos (2 π) + 1)$

चरण 10.4

$- 1$ को $- 1$ से गुणा करें.

$2 (1 + 1) + \frac{1}{2} (- \cos (2 π) + 1)$

चरण 10.5

$1$ और $1$ जोड़ें.

$2 \cdot 2 + \frac{1}{2} (- \cos (2 π) + 1)$

चरण 10.6

$2$ को $2$ से गुणा करें.

$4 + \frac{1}{2} (- \cos (2 π) + 1)$

चरण 10.7

$2 π$ का पूरा घुमाव घटाएं जब तक कि कोण $0$ से बड़ा या उसके बराबर और $2 π$ से कम न हो जाए.

$4 + \frac{1}{2} (- \cos (0) + 1)$

चरण 10.8

$\cos (0)$ का सटीक मान $1$ है.

$4 + \frac{1}{2} (- 1 \cdot 1 + 1)$

चरण 10.9

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$4 + \frac{1}{2} (- 1 + 1)$

चरण 10.10

$- 1$ और $1$ जोड़ें.

$4 + \frac{1}{2} \cdot 0$

चरण 10.11

$\frac{1}{2}$ को $0$ से गुणा करें.

$4 + 0$

चरण 10.12

$4$ और $0$ जोड़ें.

$4$