कैलकुलस उदाहरण

$\int_{0}^{π} \tan^{2} (\frac{x}{3}) d x$

चरण 1

मान लीजिए $u = \frac{x}{3}$ .फिर $d u = \frac{1}{3} d x$ , तो $3 d u = d x$ . $u$ और $d$ $u$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

मान लें $u = \frac{x}{3}$ . $\frac{d u}{d x}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1

$\frac{x}{3}$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d x} [\frac{x}{3}]$

चरण 1.1.2

चूंकि $\frac{1}{3}$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $\frac{x}{3}$ का व्युत्पन्न $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x]$ है.

$\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x]$

चरण 1.1.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$\frac{1}{3} \cdot 1$

चरण 1.1.4

$\frac{1}{3}$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{1}{3}$

चरण 1.2

$x$ के लिए $u = \frac{x}{3}$ में निचली सीमा को प्रतिस्थापित करें.

$u_{lower} = \frac{0}{3}$

चरण 1.3

$0$ को $3$ से विभाजित करें.

$u_{lower} = 0$

चरण 1.4

$x$ के लिए $u = \frac{x}{3}$ में ऊपरी सीमा को प्रतिस्थापित करें.

$u_{upper} = \frac{π}{3}$

चरण 1.5

$u_{lower}$ और $u_{upper}$ के लिए पाए गए मानों का उपयोग निश्चित समाकल का मूल्यांकन करने के लिए किया जाएगा.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = \frac{π}{3}$

चरण 1.6

$u$ , $d u$ और समाकलन की नई सीमाओं का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \tan^{2} (u) \frac{1}{\frac{1}{3}} d u$

चरण 2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

$\frac{1}{3}$ से भाग देने के लिए भिन्न के प्रतिलोम से गुणा करें.

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \tan^{2} (u) (1 \cdot 3) d u$

चरण 2.2

$3$ को $1$ से गुणा करें.

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \tan^{2} (u) \cdot 3 d u$

चरण 2.3

$3$ को $\tan^{2} (u)$ के बाईं ओर ले जाएं.

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} 3 \tan^{2} (u) d u$

चरण 3

चूँकि $3$ बटे $u$ अचर है, $3$ को समाकलन से हटा दें.

$3 \int_{0}^{\frac{π}{3}} \tan^{2} (u) d u$

चरण 4

पाइथागोरस पहचान का उपयोग करते हुए, $\tan^{2} (u)$ को $- 1 + \sec^{2} (u)$ के रूप में फिर से लिखें.

$3 \int_{0}^{\frac{π}{3}} - 1 + \sec^{2} (u) d u$

चरण 5

एकल समाकलन को कई समाकलन में विभाजित करें.

$3 (\int_{0}^{\frac{π}{3}} - 1 d u + \int_{0}^{\frac{π}{3}} \sec^{2} (u) d u)$

चरण 6

स्थिरांक नियम लागू करें.

$3 (- u]_{0}^{\frac{π}{3}} + \int_{0}^{\frac{π}{3}} \sec^{2} (u) d u)$

चरण 7

चूंकि $\tan (u)$ का व्युत्पन्न $\sec^{2} (u)$ है, $\sec^{2} (u)$ का समाकलन $\tan (u)$ है.

$3 (- u]_{0}^{\frac{π}{3}} + \tan (u)]_{0}^{\frac{π}{3}})$

चरण 8

$- u]_{0}^{\frac{π}{3}}$ और $\tan (u)]_{0}^{\frac{π}{3}}$ को मिलाएं.

$3 (- u + \tan (u)]_{0}^{\frac{π}{3}})$

चरण 9

प्रतिस्थापित करें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1

$\frac{π}{3}$ पर और $0$ पर $- u + \tan (u)$ का मान ज्ञात करें.

$3 ((- \frac{π}{3} + \tan (\frac{π}{3})) - (- 0 + \tan (0)))$

चरण 9.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.2.1

$- 1$ को $0$ से गुणा करें.

$3 (- \frac{π}{3} + \tan (\frac{π}{3}) - (0 + \tan (0)))$

चरण 9.2.2

$0$ और $\tan (0)$ जोड़ें.

$3 (- \frac{π}{3} + \tan (\frac{π}{3}) - \tan (0))$

चरण 10

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.1

$\tan (\frac{π}{3})$ का सटीक मान $\sqrt{3}$ है.

$3 (- \frac{π}{3} + \sqrt{3} - \tan (0))$

चरण 10.2

$\tan (0)$ का सटीक मान $0$ है.

$3 (- \frac{π}{3} + \sqrt{3} - 0)$

चरण 10.3

$- 1$ को $0$ से गुणा करें.

$3 (- \frac{π}{3} + \sqrt{3} + 0)$

चरण 10.4

$- \frac{π}{3} + \sqrt{3}$ और $0$ जोड़ें.

$3 (- \frac{π}{3} + \sqrt{3})$

चरण 11

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$3 (- \frac{π}{3}) + 3 \sqrt{3}$

चरण 11.2

$3$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.2.1

$- \frac{π}{3}$ में अग्रणी ऋणात्मक को न्यूमेरेटर में ले जाएं.

$3 \frac{- π}{3} + 3 \sqrt{3}$

चरण 11.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$3 \frac{- π}{3} + 3 \sqrt{3}$

चरण 11.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$- π + 3 \sqrt{3}$

चरण 12

परिणाम कई रूपों में दिखाया जा सकता है.

सटीक रूप:

$- π + 3 \sqrt{3}$

दशमलव रूप:

$2.05455976 \dots$