कैलकुलस उदाहरण

$\int_{0}^{π} (\sin^{6} (4 x)) \cos (4 x) d x$

चरण 1

मान लीजिए $u_{2} = \sin (4 x)$ .फिर $d u_{2} = 4 \cos (4 x) d x$ , तो $\frac{1}{4} d u_{2} = \cos (4 x) d x$ . $u_{2}$ और $d$ $u_{2}$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

मान लें $u_{2} = \sin (4 x)$ . $\frac{d u_{2}}{d x}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1

$\sin (4 x)$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d x} [\sin (4 x)]$

चरण 1.1.2

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = \sin (x)$ और $g (x) = 4 x$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.2.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u_{1}$ को $4 x$ के रूप में सेट करें.

$\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d x} [4 x]$

चरण 1.1.2.2

$u_{1}$ के संबंध में $\sin (u_{1})$ का व्युत्पन्न $\cos (u_{1})$ है.

$\cos (u_{1}) \frac{d}{d x} [4 x]$

चरण 1.1.2.3

$u_{1}$ की सभी घटनाओं को $4 x$ से बदलें.

$\cos (4 x) \frac{d}{d x} [4 x]$

चरण 1.1.3

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.3.1

चूंकि $4$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $4 x$ का व्युत्पन्न $4 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$\cos (4 x) (4 \frac{d}{d x} [x])$

चरण 1.1.3.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$\cos (4 x) (4 \cdot 1)$

चरण 1.1.3.3

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.3.3.1

$4$ को $1$ से गुणा करें.

$\cos (4 x) \cdot 4$

चरण 1.1.3.3.2

$4$ को $\cos (4 x)$ के बाईं ओर ले जाएं.

$4 \cos (4 x)$

चरण 1.2

$x$ के लिए $u_{2} = \sin (4 x)$ में निचली सीमा को प्रतिस्थापित करें.

$u_{lower} = \sin (4 \cdot 0)$

चरण 1.3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.1

$4$ को $0$ से गुणा करें.

$u_{lower} = \sin (0)$

चरण 1.3.2

$\sin (0)$ का सटीक मान $0$ है.

$u_{lower} = 0$

चरण 1.4

$x$ के लिए $u_{2} = \sin (4 x)$ में ऊपरी सीमा को प्रतिस्थापित करें.

$u_{upper} = \sin (4 π)$

चरण 1.5

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.5.1

$2 π$ का पूरा घुमाव घटाएं जब तक कि कोण $0$ से बड़ा या उसके बराबर और $2 π$ से कम न हो जाए.

$u_{upper} = \sin (0)$

चरण 1.5.2

$\sin (0)$ का सटीक मान $0$ है.

$u_{upper} = 0$

चरण 1.6

$u_{lower}$ और $u_{upper}$ के लिए पाए गए मानों का उपयोग निश्चित समाकल का मूल्यांकन करने के लिए किया जाएगा.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 0$

चरण 1.7

$u_{2}$ , $d u_{2}$ और समाकलन की नई सीमाओं का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$\int_{0}^{0} {u_{2}}^{6} \frac{1}{4} d u_{2}$

चरण 2

${u_{2}}^{6}$ और $\frac{1}{4}$ को मिलाएं.

$\int_{0}^{0} \frac{{u_{2}}^{6}}{4} d u_{2}$

चरण 3

चूँकि $\frac{1}{4}$ बटे $u_{2}$ अचर है, $\frac{1}{4}$ को समाकलन से हटा दें.

$\frac{1}{4} \int_{0}^{0} {u_{2}}^{6} d u_{2}$

चरण 4

घात नियम के अनुसार, $u_{2}$ के संबंध में ${u_{2}}^{6}$ का समाकलन $\frac{1}{7} {u_{2}}^{7}$ है.

$\frac{1}{4} \frac{1}{7} {u_{2}}^{7}]_{0}^{0}$

चरण 5

प्रतिस्थापित करें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

$0$ पर और $0$ पर $\frac{1}{7} {u_{2}}^{7}$ का मान ज्ञात करें.

$\frac{1}{4} ((\frac{1}{7} \cdot 0^{7}) - \frac{1}{7} \cdot 0^{7})$

चरण 5.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.1

$0$ को किसी भी धनात्मक घात तक बढ़ाने से $0$ प्राप्त होता है.

$\frac{1}{4} (\frac{1}{7} \cdot 0 - \frac{1}{7} \cdot 0^{7})$

चरण 5.2.2

$\frac{1}{7}$ को $0$ से गुणा करें.

$\frac{1}{4} (0 - \frac{1}{7} \cdot 0^{7})$

चरण 5.2.3

$0$ को किसी भी धनात्मक घात तक बढ़ाने से $0$ प्राप्त होता है.

$\frac{1}{4} (0 - \frac{1}{7} \cdot 0)$

चरण 5.2.4

$0$ को $- 1$ से गुणा करें.

$\frac{1}{4} (0 + 0 (\frac{1}{7}))$

चरण 5.2.5

$0$ को $\frac{1}{7}$ से गुणा करें.

$\frac{1}{4} (0 + 0)$

चरण 5.2.6

$0$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{1}{4} \cdot 0$

चरण 5.2.7

$\frac{1}{4}$ को $0$ से गुणा करें.

$0$