कैलकुलस उदाहरण

$\int_{0.4}^{1} x^{4} \cot (x^{5}) d x$

चरण 1

मान लीजिए $u = x^{5}$ .फिर $d u = 5 x^{4} d x$ , तो $\frac{1}{5} d u = x^{4} d x$ . $u$ और $d$ $u$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

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चरण 1.1

मान लें $u = x^{5}$ . $\frac{d u}{d x}$ ज्ञात करें.

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चरण 1.1.1

$x^{5}$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d x} [x^{5}]$

चरण 1.1.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 5$ है.

$5 x^{4}$

चरण 1.2

$x$ के लिए $u = x^{5}$ में निचली सीमा को प्रतिस्थापित करें.

$u_{lower} = {0.4}^{5}$

चरण 1.3

$0.4$ को $5$ के घात तक बढ़ाएं.

$u_{lower} = 0.01024$

चरण 1.4

$x$ के लिए $u = x^{5}$ में ऊपरी सीमा को प्रतिस्थापित करें.

$u_{upper} = 1^{5}$

चरण 1.5

एक का कोई भी घात एक होता है.

$u_{upper} = 1$

चरण 1.6

$u_{lower}$ और $u_{upper}$ के लिए पाए गए मानों का उपयोग निश्चित समाकल का मूल्यांकन करने के लिए किया जाएगा.

$u_{lower} = 0.01024$

$u_{upper} = 1$

चरण 1.7

$u$ , $d u$ और समाकलन की नई सीमाओं का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$\int_{0.01024}^{1} \cot (u) \frac{1}{5} d u$

चरण 2

$\cot (u)$ और $\frac{1}{5}$ को मिलाएं.

$\int_{0.01024}^{1} \frac{\cot (u)}{5} d u$

चरण 3

चूँकि $\frac{1}{5}$ बटे $u$ अचर है, $\frac{1}{5}$ को समाकलन से हटा दें.

$\frac{1}{5} \int_{0.01024}^{1} \cot (u) d u$

चरण 4

$u$ के संबंध में $\cot (u)$ का इंटीग्रल $\ln (| \sin (u) |)$ है.

$\frac{1}{5} \ln (| \sin (u) |)]_{0.01024}^{1}$

चरण 5

$1$ पर और $0.01024$ पर $\ln (| \sin (u) |)$ का मान ज्ञात करें.

$\frac{1}{5} (\ln (| \sin (1) |) - \ln (| \sin (0.01024) |))$

चरण 6

सरल करें.

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चरण 6.1

लघुगणक के भागफल गुण $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ का प्रयोग करें.

$\frac{1}{5} \ln (\frac{| \sin (1) |}{| \sin (0.01024) |})$

चरण 6.2

$\frac{1}{5}$ और $\ln (\frac{| \sin (1) |}{| \sin (0.01024) |})$ को मिलाएं.

$\frac{\ln (\frac{| \sin (1) |}{| \sin (0.01024) |})}{5}$

चरण 7

परिणाम कई रूपों में दिखाया जा सकता है.

सटीक रूप:

$\frac{\ln (\frac{| \sin (1) |}{| \sin (0.01024) |})}{5}$

दशमलव रूप:

$0.10663868 \dots$