कैलकुलस उदाहरण

$f (x) = \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + 1$ , $[0, 4]$

चरण 1

जांचें कि क्या $f (x) = \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + 1$ निरंतर है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

यह ज्ञात करने के लिए कि फलन $[0, 4]$ पर निरंतर है या नहीं, $f (x) = \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + 1$ का डोमेन ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1

घातांक को मूलक के रूप में फिर से लिखने के लिए नियम $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ लागू करें.

$\frac{2}{3} \sqrt{x^{3}} + 1$

चरण 1.1.2

रेडिकैंड को $\sqrt{x^{3}}$ में $0$ से बड़ा या उसके बराबर सेट करें ताकि यह पता लगाया जा सके कि व्यंजक कहां परिभाषित किया गया है.

$x^{3} \geq 0$

चरण 1.1.3

$x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.3.1

बाईं ओर के घातांक को समाप्त करने के लिए असमिका के दोनों पक्षों का निर्दिष्ट मूल लें.

$\sqrt[3]{x^{3}} \geq \sqrt[3]{0}$

चरण 1.1.3.2

समीकरण को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.3.2.1

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.3.2.1.1

करणी से पदों को बाहर निकालें.

$x \geq \sqrt[3]{0}$

चरण 1.1.3.2.2

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.3.2.2.1

$\sqrt[3]{0}$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.3.2.2.1.1

$0$ को $0^{3}$ के रूप में फिर से लिखें.

$x \geq \sqrt[3]{0^{3}}$

चरण 1.1.3.2.2.1.2

करणी से पदों को बाहर निकालें.

$x \geq 0$

चरण 1.1.4

डोमेन $x$ के सभी मान हैं जो व्यंजक को परिभाषित करते हैं.

मध्यवर्ती संकेतन:

$[0, \infty)$

सेट-बिल्डर संकेतन:

${x | x \geq 0}$

मध्यवर्ती संकेतन:

$[0, \infty)$

सेट-बिल्डर संकेतन:

${x | x \geq 0}$

चरण 1.2

$f (x)$ $[0, 4]$ पर निरंतर है.

फलन निरंतर है.

चरण 2

जांचें कि क्या $f (x) = \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + 1$ अवकलनीय है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.1

पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.1.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + 1$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [1]$ है.

$\frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [1]$

चरण 2.1.1.2

$\frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.1.2.1

चूंकि $\frac{2}{3}$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ का व्युत्पन्न $\frac{2}{3} \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$ है.

$\frac{2}{3} \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [1]$

चरण 2.1.1.2.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = \frac{3}{2}$ है.

$\frac{2}{3} (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1}) + \frac{d}{d x} [1]$

चरण 2.1.1.2.3

$- 1$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{2}{2}$ से गुणा करें.

$\frac{2}{3} (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \frac{d}{d x} [1]$

चरण 2.1.1.2.4

$- 1$ और $\frac{2}{2}$ को मिलाएं.

$\frac{2}{3} (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [1]$

चरण 2.1.1.2.5

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{2}{3} (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [1]$

चरण 2.1.1.2.6

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.1.2.6.1

$- 1$ को $2$ से गुणा करें.

$\frac{2}{3} (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [1]$

चरण 2.1.1.2.6.2

$3$ में से $2$ घटाएं.

$\frac{2}{3} (\frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}}) + \frac{d}{d x} [1]$

चरण 2.1.1.2.7

$\frac{3}{2}$ और $x^{\frac{1}{2}}$ को मिलाएं.

$\frac{2}{3} \cdot \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [1]$

चरण 2.1.1.2.8

$\frac{2}{3}$ को $\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$ से गुणा करें.

$\frac{2 (3 x^{\frac{1}{2}})}{3 \cdot 2} + \frac{d}{d x} [1]$

चरण 2.1.1.2.9

$3$ को $2$ से गुणा करें.

$\frac{6 x^{\frac{1}{2}}}{3 \cdot 2} + \frac{d}{d x} [1]$

चरण 2.1.1.2.10

$3$ को $2$ से गुणा करें.

$\frac{6 x^{\frac{1}{2}}}{6} + \frac{d}{d x} [1]$

चरण 2.1.1.2.11

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{6 x^{\frac{1}{2}}}{6} + \frac{d}{d x} [1]$

चरण 2.1.1.2.12

$x^{\frac{1}{2}}$ को $1$ से विभाजित करें.

$x^{\frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [1]$

चरण 2.1.1.3

स्थिरांक नियम का उपयोग करके अंतर करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.1.3.1

चूंकि $x$ के संबंध में $1$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$x^{\frac{1}{2}} + 0$

चरण 2.1.1.3.2

$x^{\frac{1}{2}}$ और $0$ जोड़ें.

$f' (x) = x^{\frac{1}{2}}$

चरण 2.1.2

$f (x)$ का पहला व्युत्पन्न बटे $x$ , $x^{\frac{1}{2}}$ है.

$x^{\frac{1}{2}}$

चरण 2.2

पता करें कि व्युत्पन्न $[0, 4]$ पर सतत है या नहीं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1

यह ज्ञात करने के लिए कि फलन $[0, 4]$ पर निरंतर है या नहीं, $f' (x) = x^{\frac{1}{2}}$ का डोमेन ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1.1

भिन्नात्मक घातांक वाले व्यंजकों को करणी में बदलें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1.1.1

घातांक को मूलक के रूप में फिर से लिखने के लिए नियम $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ लागू करें.

$\sqrt{x^{1}}$

चरण 2.2.1.1.2

किसी भी चीज़ को $1$ तक बढ़ा दिया जाता है, वह आधार ही होता है.

$\sqrt{x}$

चरण 2.2.1.2

रेडिकैंड को $\sqrt{x}$ में $0$ से बड़ा या उसके बराबर सेट करें ताकि यह पता लगाया जा सके कि व्यंजक कहां परिभाषित किया गया है.

$x \geq 0$

चरण 2.2.1.3

डोमेन $x$ के सभी मान हैं जो व्यंजक को परिभाषित करते हैं.

मध्यवर्ती संकेतन:

$[0, \infty)$

सेट-बिल्डर संकेतन:

${x | x \geq 0}$

मध्यवर्ती संकेतन:

$[0, \infty)$

सेट-बिल्डर संकेतन:

${x | x \geq 0}$

चरण 2.2.2

$f' (x)$ $[0, 4]$ पर निरंतर है.

फलन निरंतर है.

चरण 2.3

फलन $[0, 4]$ पर अलग-अलग है क्योंकि व्युत्पन्न $[0, 4]$ पर निरंतर है.

फलन अवकलनीय है.

चरण 3

चाप की लंबाई की गारंटी के लिए, फ़ंक्शन और इसके व्युत्पन्न दोनों को बंद अंतराल $[0, 4]$ पर निरंतर होना चाहिए.

बंद अंतराल $[0, 4]$ पर फलन और उसका व्युत्पन्न निरंतर हैं.

चरण 4

$f (x) = \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + 1$ का व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

$\frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [1]$

चरण 4.2

$\frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.1

$\frac{2}{3} \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [1]$

चरण 4.2.2

$\frac{2}{3} (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1}) + \frac{d}{d x} [1]$

चरण 4.2.3

$- 1$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{2}{2}$ से गुणा करें.

$\frac{2}{3} (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \frac{d}{d x} [1]$

चरण 4.2.4

$- 1$ और $\frac{2}{2}$ को मिलाएं.

$\frac{2}{3} (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [1]$

चरण 4.2.5

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{2}{3} (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [1]$

चरण 4.2.6

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.6.1

$- 1$ को $2$ से गुणा करें.

$\frac{2}{3} (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [1]$

चरण 4.2.6.2

$3$ में से $2$ घटाएं.

$\frac{2}{3} (\frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}}) + \frac{d}{d x} [1]$

चरण 4.2.7

$\frac{3}{2}$ और $x^{\frac{1}{2}}$ को मिलाएं.

$\frac{2}{3} \cdot \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [1]$

चरण 4.2.8

$\frac{2}{3}$ को $\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$ से गुणा करें.

$\frac{2 (3 x^{\frac{1}{2}})}{3 \cdot 2} + \frac{d}{d x} [1]$

चरण 4.2.9

$3$ को $2$ से गुणा करें.

$\frac{6 x^{\frac{1}{2}}}{3 \cdot 2} + \frac{d}{d x} [1]$

चरण 4.2.10

$3$ को $2$ से गुणा करें.

$\frac{6 x^{\frac{1}{2}}}{6} + \frac{d}{d x} [1]$

चरण 4.2.11

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{6 x^{\frac{1}{2}}}{6} + \frac{d}{d x} [1]$

चरण 4.2.12

$x^{\frac{1}{2}}$ को $1$ से विभाजित करें.

$x^{\frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [1]$

चरण 4.3

स्थिरांक नियम का उपयोग करके अंतर करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.1

चूंकि $x$ के संबंध में $1$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$x^{\frac{1}{2}} + 0$

चरण 4.3.2

$x^{\frac{1}{2}}$ और $0$ जोड़ें.

$x^{\frac{1}{2}}$

चरण 5

किसी फलन की चाप लंबाई ज्ञात करने के लिए, सूत्र $L = \int_{a}^{b} \sqrt{1 + {(f' (x))}^{2}} d x$ का उपयोग करें.

$\int_{0}^{4} \sqrt{1 + {(x^{\frac{1}{2}})}^{2}} d x$

चरण 6

समाकल का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

मान लीजिए $u = 1 + x$ . फिर $d u = d x$ . $u$ और $d$ $u$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1.1

मान लें $u = 1 + x$ . $\frac{d u}{d x}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1.1.1

$1 + x$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d x} [1 + x]$

चरण 6.1.1.2

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $1 + x$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$ है.

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$

चरण 6.1.1.3

चूंकि $x$ के संबंध में $1$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$0 + \frac{d}{d x} [x]$

चरण 6.1.1.4

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$0 + 1$

चरण 6.1.1.5

$0$ और $1$ जोड़ें.

$1$

चरण 6.1.2

$x$ के लिए $u = 1 + x$ में निचली सीमा को प्रतिस्थापित करें.

$u_{lower} = 1 + 0$

चरण 6.1.3

$1$ और $0$ जोड़ें.

$u_{lower} = 1$

चरण 6.1.4

$x$ के लिए $u = 1 + x$ में ऊपरी सीमा को प्रतिस्थापित करें.

$u_{upper} = 1 + 4$

चरण 6.1.5

$1$ और $4$ जोड़ें.

$u_{upper} = 5$

चरण 6.1.6

$u_{lower}$ और $u_{upper}$ के लिए पाए गए मानों का उपयोग निश्चित समाकल का मूल्यांकन करने के लिए किया जाएगा.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 5$

चरण 6.1.7

$u$ , $d u$ और समाकलन की नई सीमाओं का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$\int_{1}^{5} \sqrt{u} d u$

चरण 6.2

$\sqrt{u}$ को $u^{\frac{1}{2}}$ के रूप में फिर से लिखने के लिए $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ का उपयोग करें.

$\int_{1}^{5} u^{\frac{1}{2}} d u$

चरण 6.3

घात नियम के अनुसार, $u$ के संबंध में $u^{\frac{1}{2}}$ का समाकलन $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ है.

$\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{1}^{5}$

चरण 6.4

प्रतिस्थापित करें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.4.1

$5$ पर और $1$ पर $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ का मान ज्ञात करें.

$(\frac{2}{3} \cdot 5^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

चरण 6.4.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.4.2.1

$\frac{2}{3}$ और $5^{\frac{3}{2}}$ को मिलाएं.

$\frac{2 \cdot 5^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

चरण 6.4.2.2

एक का कोई भी घात एक होता है.

$\frac{2 \cdot 5^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1$

चरण 6.4.2.3

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{2 \cdot 5^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3}$

चरण 7

परिणाम कई रूपों में दिखाया जा सकता है.

सटीक रूप:

$\frac{2 \cdot 5^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3}$

दशमलव रूप:

$6.78689325 \dots$

चरण 8