कैलकुलस उदाहरण

$y = \frac{3}{x - 2}$ , $[4, 7]$

चरण 1

$y = \frac{3}{x - 2}$ को एक फलन के रूप में लिखें.

$f (x) = \frac{3}{x - 2}$

चरण 2

किसी फलन का औसत मान ज्ञात करने के लिए, फलन को बंद अंतराल $[a, b]$ पर सतत होना चाहिए. यह पता लगाने के लिए कि $f (x)$ , $[4, 7]$ पर सतत है या नहीं, $f (x) = \frac{3}{x - 2}$ का डोमेन ज्ञात करें.

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चरण 2.1

$\frac{3}{x - 2}$ में भाजक को $0$ के बराबर सेट करें ताकि यह पता लगाया जा सके कि व्यंजक कहां अपरिभाषित है.

$x - 2 = 0$

चरण 2.2

समीकरण के दोनों पक्षों में $2$ जोड़ें.

$x = 2$

चरण 2.3

डोमेन $x$ के सभी मान हैं जो व्यंजक को परिभाषित करते हैं.

मध्यवर्ती संकेतन:

$(- \infty, 2) \cup (2, \infty)$

सेट-बिल्डर संकेतन:

${x | x \neq 2}$

मध्यवर्ती संकेतन:

$(- \infty, 2) \cup (2, \infty)$

सेट-बिल्डर संकेतन:

${x | x \neq 2}$

चरण 3

$f (x)$ $[4, 7]$ पर निरंतर है.

$f (x)$ निरंतर है

चरण 4

अंतराल $[a, b]$ पर फलन $f$ का औसत मान $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ के रूप में परिभाषित किया गया है.

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

चरण 5

किसी फलन के औसत मान के लिए वास्तविक मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करें.

$A (x) = \frac{1}{7 - 4} (\int_{4}^{7} \frac{3}{x - 2} d x)$

चरण 6

चूँकि $3$ बटे $x$ अचर है, $3$ को समाकलन से हटा दें.

$A (x) = \frac{1}{7 - 4} (3 \int_{4}^{7} \frac{1}{x - 2} d x)$

चरण 7

मान लीजिए $u = x - 2$ . फिर $d u = d x$ . $u$ और $d$ $u$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

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चरण 7.1

मान लें $u = x - 2$ . $\frac{d u}{d x}$ ज्ञात करें.

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चरण 7.1.1

$x - 2$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d x} [x - 2]$

चरण 7.1.2

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x - 2$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ है.

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

चरण 7.1.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$1 + \frac{d}{d x} [- 2]$

चरण 7.1.4

चूंकि $x$ के संबंध में $- 2$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 2$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$1 + 0$

चरण 7.1.5

$1$ और $0$ जोड़ें.

$1$

चरण 7.2

$x$ के लिए $u = x - 2$ में निचली सीमा को प्रतिस्थापित करें.

$u_{lower} = 4 - 2$

चरण 7.3

$4$ में से $2$ घटाएं.

$u_{lower} = 2$

चरण 7.4

$x$ के लिए $u = x - 2$ में ऊपरी सीमा को प्रतिस्थापित करें.

$u_{upper} = 7 - 2$

चरण 7.5

$7$ में से $2$ घटाएं.

$u_{upper} = 5$

चरण 7.6

$u_{lower}$ और $u_{upper}$ के लिए पाए गए मानों का उपयोग निश्चित समाकल का मूल्यांकन करने के लिए किया जाएगा.

$u_{lower} = 2$

$u_{upper} = 5$

चरण 7.7

$u$ , $d u$ और समाकलन की नई सीमाओं का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$A (x) = \frac{1}{7 - 4} (3 \int_{2}^{5} \frac{1}{u} d u)$

चरण 8

$u$ के संबंध में $\frac{1}{u}$ का इंटीग्रल $\ln (| u |)$ है.

$A (x) = \frac{1}{7 - 4} (3 (\ln (| u |)]_{2}^{5}))$

चरण 9

$5$ पर और $2$ पर $\ln (| u |)$ का मान ज्ञात करें.

$A (x) = \frac{1}{7 - 4} (3 (\ln (| 5 |) - \ln (| 2 |)))$

चरण 10

लघुगणक के भागफल गुण $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ का प्रयोग करें.

$A (x) = \frac{1}{7 - 4} (3 \ln (\frac{| 5 |}{| 2 |}))$

चरण 11

सरल करें.

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चरण 11.1

निरपेक्ष मान किसी संख्या और शून्य के बीच की दूरी है. $0$ और $5$ के बीच की दूरी $5$ है.

$A (x) = \frac{1}{7 - 4} (3 \ln (\frac{5}{| 2 |}))$

चरण 11.2

निरपेक्ष मान किसी संख्या और शून्य के बीच की दूरी है. $0$ और $2$ के बीच की दूरी $2$ है.

$A (x) = \frac{1}{7 - 4} (3 \ln (\frac{5}{2}))$

चरण 12

$7$ में से $4$ घटाएं.

$A (x) = \frac{1}{3} \cdot (3 \ln (\frac{5}{2}))$

चरण 13

$3$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

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चरण 13.1

$3 \ln (\frac{5}{2})$ में से $3$ का गुणनखंड करें.

$A (x) = \frac{1}{3} \cdot (3 (\ln (\frac{5}{2})))$

चरण 13.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$A (x) = \frac{1}{3} \cdot (3 \ln (\frac{5}{2}))$

चरण 13.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$A (x) = \ln (\frac{5}{2})$

चरण 14