कैलकुलस उदाहरण

$f (x) = \frac{1}{x}$

चरण 1

व्युत्पन्न की सीमा परिभाषा पर विचार करें.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

चरण 2

परिभाषा के घटक पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

$x = x + h$ पर फलन का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.1

व्यंजक में चर $x$ को $x + h$ से बदलें.

$f (x + h) = \frac{1}{x + h}$

चरण 2.1.2

अंतिम उत्तर $\frac{1}{x + h}$ है.

$\frac{1}{x + h}$

चरण 2.2

परिभाषा के घटक पता करें.

$f (x + h) = \frac{1}{x + h}$

$f (x) = \frac{1}{x}$

$f (x + h) = \frac{1}{x + h}$

$f (x) = \frac{1}{x}$

चरण 3

घटकों में प्लग करें.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{x + h} - (\frac{1}{x})}{h}$

चरण 4

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.1

$\frac{1}{x + h}$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{x}{x}$ से गुणा करें.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{x + h} \cdot \frac{x}{x} - \frac{1}{x}}{h}$

चरण 4.1.2

$- \frac{1}{x}$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{x + h}{x + h}$ से गुणा करें.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{x + h} \cdot \frac{x}{x} - \frac{1}{x} \cdot \frac{x + h}{x + h}}{h}$

चरण 4.1.3

प्रत्येक व्यंजक को $(x + h) x$ के सामान्य भाजक के साथ लिखें, प्रत्येक को $1$ के उपयुक्त गुणनखंड से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.3.1

$\frac{1}{x + h}$ को $\frac{x}{x}$ से गुणा करें.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{x}{(x + h) x} - \frac{1}{x} \cdot \frac{x + h}{x + h}}{h}$

चरण 4.1.3.2

$\frac{1}{x}$ को $\frac{x + h}{x + h}$ से गुणा करें.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{x}{(x + h) x} - \frac{x + h}{x (x + h)}}{h}$

चरण 4.1.3.3

$(x + h) x$ के गुणनखंडों को फिर से क्रमित करें.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{x}{x (x + h)} - \frac{x + h}{x (x + h)}}{h}$

चरण 4.1.4

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{x - (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

चरण 4.1.5

$\frac{x - (x + h)}{x (x + h)}$ को गुणनखंड रूप में फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.5.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{x - x - h}{x (x + h)}}{h}$

चरण 4.1.5.2

$x$ में से $x$ घटाएं.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{0 - h}{x (x + h)}}{h}$

चरण 4.1.5.3

$0$ में से $h$ घटाएं.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{- h}{x (x + h)}}{h}$

चरण 4.1.6

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- \frac{h}{x (x + h)}}{h}$

चरण 4.2

भाजक के प्रतिलोम से न्यूमेरेटर को गुणा करें.

$f' (x) = lim_{h \to 0} - \frac{h}{x (x + h)} \cdot \frac{1}{h}$

चरण 4.3

$h$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.1

$- \frac{h}{x (x + h)}$ में अग्रणी ऋणात्मक को न्यूमेरेटर में ले जाएं.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- h}{x (x + h)} \cdot \frac{1}{h}$

चरण 4.3.2

$- h$ में से $h$ का गुणनखंड करें.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h \cdot - 1}{x (x + h)} \cdot \frac{1}{h}$

चरण 4.3.3

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h \cdot - 1}{x (x + h)} \cdot \frac{1}{h}$

चरण 4.3.4

व्यंजक को फिर से लिखें.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- 1}{x (x + h)}$

चरण 4.4

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$f' (x) = lim_{h \to 0} - \frac{1}{x (x + h)}$

चरण 5

सीमा का मूल्यांकन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

$- 1$ पद को सीमा से बाभाजक ले जाएं क्योंकि यह $h$ के संबंध में स्थिर है.

$- lim_{h \to 0} \frac{1}{x (x + h)}$

चरण 5.2

$\frac{1}{x}$ पद को सीमा से बाभाजक ले जाएं क्योंकि यह $h$ के संबंध में स्थिर है.

$- \frac{1}{x} lim_{h \to 0} \frac{1}{x + h}$

चरण 5.3

जैसे ही $h$ $0$ की ओर आता है, सीमा भागफल नियम का उपयोग करके सीमा को विभाजित करें.

$- \frac{1}{x} \cdot \frac{lim_{h \to 0} 1}{lim_{h \to 0} x + h}$

चरण 5.4

$1$ की सीमा का मान ज्ञात करें जो $h$ के $0$ पर पहुँचने पर स्थिर होती है.

$- \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{lim_{h \to 0} x + h}$

चरण 5.5

जैसे-जैसे $h$ $0$ के करीब पहुंचता है, सीमा पर योग नियम का उपयोग करके सीमा को विभाजित करें.

$- \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{lim_{h \to 0} x + lim_{h \to 0} h}$

चरण 5.6

$x$ की सीमा का मान ज्ञात करें जो $h$ के $0$ पर पहुँचने पर स्थिर होती है.

$- \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x + lim_{h \to 0} h}$

चरण 6

$h$ के लिए $0$ को प्रतिस्थापित करके $h$ की सीमा का मान ज्ञात करें.

$- \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x + 0}$

चरण 7

उत्तर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1

$x$ और $0$ जोड़ें.

$- \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x}$

चरण 7.2

$- \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x}$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.1

$\frac{1}{x}$ को $\frac{1}{x}$ से गुणा करें.

$- \frac{1}{x \cdot x}$

चरण 7.2.2

$x$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$- \frac{1}{x^{1} x}$

चरण 7.2.3

$x$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$- \frac{1}{x^{1} x^{1}}$

चरण 7.2.4

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$- \frac{1}{x^{1 + 1}}$

चरण 7.2.5

$1$ और $1$ जोड़ें.

$- \frac{1}{x^{2}}$

चरण 8