कैलकुलस उदाहरण

$f (x) = 9 x^{2} - 27 x + 20$

चरण 1

व्युत्पन्न की सीमा परिभाषा पर विचार करें.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

चरण 2

परिभाषा के घटक पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

$x = x + h$ पर फलन का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.1

व्यंजक में चर $x$ को $x + h$ से बदलें.

$f (x + h) = 9 {(x + h)}^{2} - 27 (x + h) + 20$

चरण 2.1.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.2.1.1

${(x + h)}^{2}$ को $(x + h) (x + h)$ के रूप में फिर से लिखें.

$f (x + h) = 9 ((x + h) (x + h)) - 27 (x + h) + 20$

चरण 2.1.2.1.2

FOIL विधि का उपयोग करके $(x + h) (x + h)$ का प्रसार करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.2.1.2.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$f (x + h) = 9 (x (x + h) + h (x + h)) - 27 (x + h) + 20$

चरण 2.1.2.1.2.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$f (x + h) = 9 (x \cdot x + x h + h (x + h)) - 27 (x + h) + 20$

चरण 2.1.2.1.2.3

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$f (x + h) = 9 (x \cdot x + x h + h x + h \cdot h) - 27 (x + h) + 20$

चरण 2.1.2.1.3

समान पदों को सरल और संयोजित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.2.1.3.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.2.1.3.1.1

$x$ को $x$ से गुणा करें.

$f (x + h) = 9 (x^{2} + x h + h x + h \cdot h) - 27 (x + h) + 20$

चरण 2.1.2.1.3.1.2

$h$ को $h$ से गुणा करें.

$f (x + h) = 9 (x^{2} + x h + h x + h^{2}) - 27 (x + h) + 20$

चरण 2.1.2.1.3.2

$x h$ और $h x$ जोड़ें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.2.1.3.2.1

$x$ और $h$ को पुन: क्रमित करें.

$f (x + h) = 9 (x^{2} + h x + h x + h^{2}) - 27 (x + h) + 20$

चरण 2.1.2.1.3.2.2

$h x$ और $h x$ जोड़ें.

$f (x + h) = 9 (x^{2} + 2 h x + h^{2}) - 27 (x + h) + 20$

चरण 2.1.2.1.4

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$f (x + h) = 9 x^{2} + 9 (2 h x) + 9 h^{2} - 27 (x + h) + 20$

चरण 2.1.2.1.5

$2$ को $9$ से गुणा करें.

$f (x + h) = 9 x^{2} + 18 (h x) + 9 h^{2} - 27 (x + h) + 20$

चरण 2.1.2.1.6

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$f (x + h) = 9 x^{2} + 18 h x + 9 h^{2} - 27 x - 27 h + 20$

चरण 2.1.2.2

अंतिम उत्तर $9 x^{2} + 18 h x + 9 h^{2} - 27 x - 27 h + 20$ है.

$9 x^{2} + 18 h x + 9 h^{2} - 27 x - 27 h + 20$

चरण 2.2

पुन: व्यवस्थित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1

$- 27 x$ ले जाएं.

$9 x^{2} + 18 h x + 9 h^{2} - 27 h - 27 x + 20$

चरण 2.2.2

$9 x^{2}$ ले जाएं.

$18 h x + 9 h^{2} + 9 x^{2} - 27 h - 27 x + 20$

चरण 2.2.3

$18 h x$ और $9 h^{2}$ को पुन: क्रमित करें.

$9 h^{2} + 18 h x + 9 x^{2} - 27 h - 27 x + 20$

चरण 2.3

परिभाषा के घटक पता करें.

$f (x + h) = 9 h^{2} + 18 h x + 9 x^{2} - 27 h - 27 x + 20$

$f (x) = 9 x^{2} - 27 x + 20$

$f (x + h) = 9 h^{2} + 18 h x + 9 x^{2} - 27 h - 27 x + 20$

$f (x) = 9 x^{2} - 27 x + 20$

चरण 3

घटकों में प्लग करें.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{9 h^{2} + 18 h x + 9 x^{2} - 27 h - 27 x + 20 - (9 x^{2} - 27 x + 20)}{h}$

चरण 4

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{9 h^{2} + 18 h x + 9 x^{2} - 27 h - 27 x + 20 - (9 x^{2}) - (- 27 x) - 1 \cdot 20}{h}$

चरण 4.1.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.2.1

$9$ को $- 1$ से गुणा करें.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{9 h^{2} + 18 h x + 9 x^{2} - 27 h - 27 x + 20 - 9 x^{2} - (- 27 x) - 1 \cdot 20}{h}$

चरण 4.1.2.2

$- 27$ को $- 1$ से गुणा करें.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{9 h^{2} + 18 h x + 9 x^{2} - 27 h - 27 x + 20 - 9 x^{2} + 27 x - 1 \cdot 20}{h}$

चरण 4.1.2.3

$- 1$ को $20$ से गुणा करें.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{9 h^{2} + 18 h x + 9 x^{2} - 27 h - 27 x + 20 - 9 x^{2} + 27 x - 20}{h}$

चरण 4.1.3

$9 x^{2}$ में से $9 x^{2}$ घटाएं.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{9 h^{2} + 18 h x - 27 h - 27 x + 20 + 0 + 27 x - 20}{h}$

चरण 4.1.4

$9 h^{2}$ और $0$ जोड़ें.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{9 h^{2} + 18 h x - 27 h - 27 x + 20 + 27 x - 20}{h}$

चरण 4.1.5

$- 27 x$ और $27 x$ जोड़ें.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{9 h^{2} + 18 h x - 27 h + 0 + 20 - 20}{h}$

चरण 4.1.6

$9 h^{2}$ और $0$ जोड़ें.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{9 h^{2} + 18 h x - 27 h + 20 - 20}{h}$

चरण 4.1.7

$20$ में से $20$ घटाएं.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{9 h^{2} + 18 h x - 27 h + 0}{h}$

चरण 4.1.8

$9 h^{2} + 18 h x - 27 h$ और $0$ जोड़ें.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{9 h^{2} + 18 h x - 27 h}{h}$

चरण 4.1.9

$9 h^{2} + 18 h x - 27 h$ में से $9 h$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.9.1

$9 h^{2}$ में से $9 h$ का गुणनखंड करें.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{9 h \cdot h + 18 h x - 27 h}{h}$

चरण 4.1.9.2

$18 h x$ में से $9 h$ का गुणनखंड करें.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{9 h \cdot h + 9 h (2 x) - 27 h}{h}$

चरण 4.1.9.3

$- 27 h$ में से $9 h$ का गुणनखंड करें.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{9 h \cdot h + 9 h (2 x) + 9 h \cdot - 3}{h}$

चरण 4.1.9.4

$9 h \cdot h + 9 h (2 x)$ में से $9 h$ का गुणनखंड करें.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{9 h (h + 2 x) + 9 h \cdot - 3}{h}$

चरण 4.1.9.5

$9 h (h + 2 x) + 9 h \cdot - 3$ में से $9 h$ का गुणनखंड करें.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{9 h (h + 2 x - 3)}{h}$

चरण 4.2

पदों को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.1

$h$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{9 h (h + 2 x - 3)}{h}$

चरण 4.2.1.2

$9 (h + 2 x - 3)$ को $1$ से विभाजित करें.

$f' (x) = lim_{h \to 0} 9 (h + 2 x - 3)$

चरण 4.2.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$f' (x) = lim_{h \to 0} 9 h + 9 (2 x) + 9 \cdot - 3$

चरण 4.3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.1

$2$ को $9$ से गुणा करें.

$f' (x) = lim_{h \to 0} 9 h + 18 x + 9 \cdot - 3$

चरण 4.3.2

$9$ को $- 3$ से गुणा करें.

$f' (x) = lim_{h \to 0} 9 h + 18 x - 27$

चरण 4.4

$9 h$ और $18 x$ को पुन: क्रमित करें.

$f' (x) = lim_{h \to 0} 18 x + 9 h - 27$

चरण 5

सीमा का मूल्यांकन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

जैसे-जैसे $h$ $0$ के करीब पहुंचता है, सीमा पर योग नियम का उपयोग करके सीमा को विभाजित करें.

$lim_{h \to 0} 18 x + lim_{h \to 0} 9 h - lim_{h \to 0} 27$

चरण 5.2

$18 x$ की सीमा का मान ज्ञात करें जो $h$ के $0$ पर पहुँचने पर स्थिर होती है.

$18 x + lim_{h \to 0} 9 h - lim_{h \to 0} 27$

चरण 5.3

$9$ पद को सीमा से बाभाजक ले जाएं क्योंकि यह $h$ के संबंध में स्थिर है.

$18 x + 9 lim_{h \to 0} h - lim_{h \to 0} 27$

चरण 5.4

$27$ की सीमा का मान ज्ञात करें जो $h$ के $0$ पर पहुँचने पर स्थिर होती है.

$18 x + 9 lim_{h \to 0} h - 1 \cdot 27$

चरण 6

$h$ के लिए $0$ को प्रतिस्थापित करके $h$ की सीमा का मान ज्ञात करें.

$18 x + 9 \cdot 0 - 1 \cdot 27$

चरण 7

उत्तर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1.1

$9$ को $0$ से गुणा करें.

$18 x + 0 - 1 \cdot 27$

चरण 7.1.2

$- 1$ को $27$ से गुणा करें.

$18 x + 0 - 27$

चरण 7.2

$18 x$ और $0$ जोड़ें.

$18 x - 27$

चरण 8