कैलकुलस उदाहरण

$f (x) = x^{5}$

चरण 1

व्युत्पन्न की सीमा परिभाषा पर विचार करें.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

चरण 2

परिभाषा के घटक पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

$x = x + h$ पर फलन का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.1

व्यंजक में चर $x$ को $x + h$ से बदलें.

$f (x + h) = {(x + h)}^{5}$

चरण 2.1.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.2.1

द्विपद प्रमेय का प्रयोग करें.

$f (x + h) = x^{5} + 5 x^{4} h + 10 x^{3} h^{2} + 10 x^{2} h^{3} + 5 x h^{4} + h^{5}$

चरण 2.1.2.2

अंतिम उत्तर $x^{5} + 5 x^{4} h + 10 x^{3} h^{2} + 10 x^{2} h^{3} + 5 x h^{4} + h^{5}$ है.

$x^{5} + 5 x^{4} h + 10 x^{3} h^{2} + 10 x^{2} h^{3} + 5 x h^{4} + h^{5}$

चरण 2.2

पुन: व्यवस्थित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1

$x^{4}$ ले जाएं.

$x^{5} + 5 h x^{4} + 10 x^{3} h^{2} + 10 x^{2} h^{3} + 5 x h^{4} + h^{5}$

चरण 2.2.2

$x^{3}$ ले जाएं.

$x^{5} + 5 h x^{4} + 10 h^{2} x^{3} + 10 x^{2} h^{3} + 5 x h^{4} + h^{5}$

चरण 2.2.3

$x^{2}$ ले जाएं.

$x^{5} + 5 h x^{4} + 10 h^{2} x^{3} + 10 h^{3} x^{2} + 5 x h^{4} + h^{5}$

चरण 2.2.4

$x$ ले जाएं.

$x^{5} + 5 h x^{4} + 10 h^{2} x^{3} + 10 h^{3} x^{2} + 5 h^{4} x + h^{5}$

चरण 2.2.5

$x^{5}$ ले जाएं.

$5 h x^{4} + 10 h^{2} x^{3} + 10 h^{3} x^{2} + 5 h^{4} x + h^{5} + x^{5}$

चरण 2.2.6

$5 h x^{4}$ ले जाएं.

$10 h^{2} x^{3} + 10 h^{3} x^{2} + 5 h^{4} x + h^{5} + 5 h x^{4} + x^{5}$

चरण 2.2.7

$10 h^{2} x^{3}$ ले जाएं.

$10 h^{3} x^{2} + 5 h^{4} x + h^{5} + 10 h^{2} x^{3} + 5 h x^{4} + x^{5}$

चरण 2.2.8

$10 h^{3} x^{2}$ ले जाएं.

$5 h^{4} x + h^{5} + 10 h^{3} x^{2} + 10 h^{2} x^{3} + 5 h x^{4} + x^{5}$

चरण 2.2.9

$5 h^{4} x$ और $h^{5}$ को पुन: क्रमित करें.

$h^{5} + 5 h^{4} x + 10 h^{3} x^{2} + 10 h^{2} x^{3} + 5 h x^{4} + x^{5}$

चरण 2.3

परिभाषा के घटक पता करें.

$f (x + h) = h^{5} + 5 h^{4} x + 10 h^{3} x^{2} + 10 h^{2} x^{3} + 5 h x^{4} + x^{5}$

$f (x) = x^{5}$

$f (x + h) = h^{5} + 5 h^{4} x + 10 h^{3} x^{2} + 10 h^{2} x^{3} + 5 h x^{4} + x^{5}$

$f (x) = x^{5}$

चरण 3

घटकों में प्लग करें.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{5} + 5 h^{4} x + 10 h^{3} x^{2} + 10 h^{2} x^{3} + 5 h x^{4} + x^{5} - (x^{5})}{h}$

चरण 4

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.1

$x^{5}$ में से $x^{5}$ घटाएं.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{5} + 5 h^{4} x + 10 h^{3} x^{2} + 10 h^{2} x^{3} + 5 h x^{4} + 0}{h}$

चरण 4.1.2

$h^{5} + 5 h^{4} x + 10 h^{3} x^{2} + 10 h^{2} x^{3} + 5 h x^{4}$ और $0$ जोड़ें.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{5} + 5 h^{4} x + 10 h^{3} x^{2} + 10 h^{2} x^{3} + 5 h x^{4}}{h}$

चरण 4.1.3

$h^{5} + 5 h^{4} x + 10 h^{3} x^{2} + 10 h^{2} x^{3} + 5 h x^{4}$ में से $h$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.3.1

$h^{5}$ में से $h$ का गुणनखंड करें.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h \cdot h^{4} + 5 h^{4} x + 10 h^{3} x^{2} + 10 h^{2} x^{3} + 5 h x^{4}}{h}$

चरण 4.1.3.2

$5 h^{4} x$ में से $h$ का गुणनखंड करें.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h^{4}) + h (5 h^{3} x) + 10 h^{3} x^{2} + 10 h^{2} x^{3} + 5 h x^{4}}{h}$

चरण 4.1.3.3

$10 h^{3} x^{2}$ में से $h$ का गुणनखंड करें.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h^{4}) + h (5 h^{3} x) + h (10 h^{2} x^{2}) + 10 h^{2} x^{3} + 5 h x^{4}}{h}$

चरण 4.1.3.4

$10 h^{2} x^{3}$ में से $h$ का गुणनखंड करें.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h^{4}) + h (5 h^{3} x) + h (10 h^{2} x^{2}) + h (10 h x^{3}) + 5 h x^{4}}{h}$

चरण 4.1.3.5

$5 h x^{4}$ में से $h$ का गुणनखंड करें.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h^{4}) + h (5 h^{3} x) + h (10 h^{2} x^{2}) + h (10 h x^{3}) + h (5 x^{4})}{h}$

चरण 4.1.3.6

$h (h^{4}) + h (5 h^{3} x)$ में से $h$ का गुणनखंड करें.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h^{4} + 5 h^{3} x) + h (10 h^{2} x^{2}) + h (10 h x^{3}) + h (5 x^{4})}{h}$

चरण 4.1.3.7

$h (h^{4} + 5 h^{3} x) + h (10 h^{2} x^{2})$ में से $h$ का गुणनखंड करें.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h^{4} + 5 h^{3} x + 10 h^{2} x^{2}) + h (10 h x^{3}) + h (5 x^{4})}{h}$

चरण 4.1.3.8

$h (h^{4} + 5 h^{3} x + 10 h^{2} x^{2}) + h (10 h x^{3})$ में से $h$ का गुणनखंड करें.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h^{4} + 5 h^{3} x + 10 h^{2} x^{2} + 10 h x^{3}) + h (5 x^{4})}{h}$

चरण 4.1.3.9

$h (h^{4} + 5 h^{3} x + 10 h^{2} x^{2} + 10 h x^{3}) + h (5 x^{4})$ में से $h$ का गुणनखंड करें.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h^{4} + 5 h^{3} x + 10 h^{2} x^{2} + 10 h x^{3} + 5 x^{4})}{h}$

चरण 4.2

सामान्य गुणनखंडों को रद्द करके व्यंजक को छोटा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.1

$h$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h^{4} + 5 h^{3} x + 10 h^{2} x^{2} + 10 h x^{3} + 5 x^{4})}{h}$

चरण 4.2.1.2

$h^{4} + 5 h^{3} x + 10 h^{2} x^{2} + 10 h x^{3} + 5 x^{4}$ को $1$ से विभाजित करें.

$f' (x) = lim_{h \to 0} h^{4} + 5 h^{3} x + 10 h^{2} x^{2} + 10 h x^{3} + 5 x^{4}$

चरण 4.2.2

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.2.1

$h^{3}$ ले जाएं.

$f' (x) = lim_{h \to 0} h^{4} + 5 x h^{3} + 10 h^{2} x^{2} + 10 h x^{3} + 5 x^{4}$

चरण 4.2.2.2

$h^{2}$ ले जाएं.

$f' (x) = lim_{h \to 0} h^{4} + 5 x h^{3} + 10 x^{2} h^{2} + 10 h x^{3} + 5 x^{4}$

चरण 4.2.2.3

$h$ ले जाएं.

$f' (x) = lim_{h \to 0} h^{4} + 5 x h^{3} + 10 x^{2} h^{2} + 10 x^{3} h + 5 x^{4}$

चरण 4.2.2.4

$h^{4}$ ले जाएं.

$f' (x) = lim_{h \to 0} 5 x h^{3} + 10 x^{2} h^{2} + 10 x^{3} h + 5 x^{4} + h^{4}$

चरण 4.2.2.5

$5 x h^{3}$ ले जाएं.

$f' (x) = lim_{h \to 0} 10 x^{2} h^{2} + 10 x^{3} h + 5 x^{4} + 5 x h^{3} + h^{4}$

चरण 4.2.2.6

$10 x^{2} h^{2}$ ले जाएं.

$f' (x) = lim_{h \to 0} 10 x^{3} h + 5 x^{4} + 10 x^{2} h^{2} + 5 x h^{3} + h^{4}$

चरण 4.2.2.7

$10 x^{3} h$ और $5 x^{4}$ को पुन: क्रमित करें.

$f' (x) = lim_{h \to 0} 5 x^{4} + 10 x^{3} h + 10 x^{2} h^{2} + 5 x h^{3} + h^{4}$

चरण 5

जैसे-जैसे $h$ $0$ के करीब पहुंचता है, सीमा पर योग नियम का उपयोग करके सीमा को विभाजित करें.

$lim_{h \to 0} 5 x^{4} + lim_{h \to 0} 10 x^{3} h + lim_{h \to 0} 10 x^{2} h^{2} + lim_{h \to 0} 5 x h^{3} + lim_{h \to 0} h^{4}$

चरण 6

$5 x^{4}$ की सीमा का मान ज्ञात करें जो $h$ के $0$ पर पहुँचने पर स्थिर होती है.

$5 x^{4} + lim_{h \to 0} 10 x^{3} h + lim_{h \to 0} 10 x^{2} h^{2} + lim_{h \to 0} 5 x h^{3} + lim_{h \to 0} h^{4}$

चरण 7

$10 x^{3}$ पद को सीमा से बाभाजक ले जाएं क्योंकि यह $h$ के संबंध में स्थिर है.

$5 x^{4} + 10 x^{3} lim_{h \to 0} h + lim_{h \to 0} 10 x^{2} h^{2} + lim_{h \to 0} 5 x h^{3} + lim_{h \to 0} h^{4}$

चरण 8

$10 x^{2}$ पद को सीमा से बाभाजक ले जाएं क्योंकि यह $h$ के संबंध में स्थिर है.

$5 x^{4} + 10 x^{3} lim_{h \to 0} h + 10 x^{2} lim_{h \to 0} h^{2} + lim_{h \to 0} 5 x h^{3} + lim_{h \to 0} h^{4}$

चरण 9

सीमा घात नियम का उपयोग करके घातांक $2$ को $h^{2}$ से सीमा से बाभाजक ले जाएं.

$5 x^{4} + 10 x^{3} lim_{h \to 0} h + 10 x^{2} {(lim_{h \to 0} h)}^{2} + lim_{h \to 0} 5 x h^{3} + lim_{h \to 0} h^{4}$

चरण 10

$5 x$ पद को सीमा से बाभाजक ले जाएं क्योंकि यह $h$ के संबंध में स्थिर है.

$5 x^{4} + 10 x^{3} lim_{h \to 0} h + 10 x^{2} {(lim_{h \to 0} h)}^{2} + 5 x lim_{h \to 0} h^{3} + lim_{h \to 0} h^{4}$

चरण 11

सीमा घात नियम का उपयोग करके घातांक $3$ को $h^{3}$ से सीमा से बाभाजक ले जाएं.

$5 x^{4} + 10 x^{3} lim_{h \to 0} h + 10 x^{2} {(lim_{h \to 0} h)}^{2} + 5 x {(lim_{h \to 0} h)}^{3} + lim_{h \to 0} h^{4}$

चरण 12

सीमा घात नियम का उपयोग करके घातांक $4$ को $h^{4}$ से सीमा से बाभाजक ले जाएं.

$5 x^{4} + 10 x^{3} lim_{h \to 0} h + 10 x^{2} {(lim_{h \to 0} h)}^{2} + 5 x {(lim_{h \to 0} h)}^{3} + {(lim_{h \to 0} h)}^{4}$

चरण 13

$h$ की सभी घटनाओं के लिए $0$ को प्रतिस्थापित करके सीमा का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 13.1

$h$ के लिए $0$ को प्रतिस्थापित करके $h$ की सीमा का मान ज्ञात करें.

$5 x^{4} + 10 x^{3} \cdot 0 + 10 x^{2} {(lim_{h \to 0} h)}^{2} + 5 x {(lim_{h \to 0} h)}^{3} + {(lim_{h \to 0} h)}^{4}$

चरण 13.2

$h$ के लिए $0$ को प्रतिस्थापित करके $h$ की सीमा का मान ज्ञात करें.

$5 x^{4} + 10 x^{3} \cdot 0 + 10 x^{2} \cdot 0^{2} + 5 x {(lim_{h \to 0} h)}^{3} + {(lim_{h \to 0} h)}^{4}$

चरण 13.3

$h$ के लिए $0$ को प्रतिस्थापित करके $h$ की सीमा का मान ज्ञात करें.

$5 x^{4} + 10 x^{3} \cdot 0 + 10 x^{2} \cdot 0^{2} + 5 x \cdot 0^{3} + {(lim_{h \to 0} h)}^{4}$

चरण 13.4

$h$ के लिए $0$ को प्रतिस्थापित करके $h$ की सीमा का मान ज्ञात करें.

$5 x^{4} + 10 x^{3} \cdot 0 + 10 x^{2} \cdot 0^{2} + 5 x \cdot 0^{3} + 0^{4}$

चरण 14

उत्तर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 14.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 14.1.1

$10 x^{3} \cdot 0$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 14.1.1.1

$0$ को $10$ से गुणा करें.

$5 x^{4} + 0 x^{3} + 10 x^{2} \cdot 0^{2} + 5 x \cdot 0^{3} + 0^{4}$

चरण 14.1.1.2

$0$ को $x^{3}$ से गुणा करें.

$5 x^{4} + 0 + 10 x^{2} \cdot 0^{2} + 5 x \cdot 0^{3} + 0^{4}$

चरण 14.1.2

$0$ को किसी भी धनात्मक घात तक बढ़ाने से $0$ प्राप्त होता है.

$5 x^{4} + 0 + 10 x^{2} \cdot 0 + 5 x \cdot 0^{3} + 0^{4}$

चरण 14.1.3

$10 x^{2} \cdot 0$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 14.1.3.1

$0$ को $10$ से गुणा करें.

$5 x^{4} + 0 + 0 x^{2} + 5 x \cdot 0^{3} + 0^{4}$

चरण 14.1.3.2

$0$ को $x^{2}$ से गुणा करें.

$5 x^{4} + 0 + 0 + 5 x \cdot 0^{3} + 0^{4}$

चरण 14.1.4

$0$ को किसी भी धनात्मक घात तक बढ़ाने से $0$ प्राप्त होता है.

$5 x^{4} + 0 + 0 + 5 x \cdot 0 + 0^{4}$

चरण 14.1.5

$5 x \cdot 0$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 14.1.5.1

$0$ को $5$ से गुणा करें.

$5 x^{4} + 0 + 0 + 0 x + 0^{4}$

चरण 14.1.5.2

$0$ को $x$ से गुणा करें.

$5 x^{4} + 0 + 0 + 0 + 0^{4}$

चरण 14.1.6

$0$ को किसी भी धनात्मक घात तक बढ़ाने से $0$ प्राप्त होता है.

$5 x^{4} + 0 + 0 + 0 + 0$

चरण 14.2

$5 x^{4} + 0 + 0 + 0 + 0$ में विपरीत पदों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 14.2.1

$5 x^{4}$ और $0$ जोड़ें.

$5 x^{4} + 0 + 0 + 0$

चरण 14.2.2

$5 x^{4}$ और $0$ जोड़ें.

$5 x^{4} + 0 + 0$

चरण 14.2.3

$5 x^{4}$ और $0$ जोड़ें.

$5 x^{4} + 0$

चरण 14.2.4

$5 x^{4}$ और $0$ जोड़ें.

$5 x^{4}$

चरण 15