कैलकुलस उदाहरण

$y = x + \cos (2 x)$

चरण 1

$y = x + \cos (2 x)$ को एक फलन के रूप में लिखें.

$f (x) = x + \cos (2 x)$

चरण 2

दूसरा व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.1

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.1.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x + \cos (2 x)$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$ है.

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (\cos (2 x))$

चरण 2.1.1.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$f' (x) = 1 + \frac{d}{d x} (\cos (2 x))$

चरण 2.1.2

$\frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.2.1

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = \cos (x)$ और $g (x) = 2 x$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.2.1.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $2 x$ के रूप में सेट करें.

$f' (x) = 1 + \frac{d}{d u} (\cos (u)) \frac{d}{d x} (2 x)$

चरण 2.1.2.1.2

$u$ के संबंध में $\cos (u)$ का व्युत्पन्न $- \sin (u)$ है.

$f' (x) = 1 - \sin (u) \frac{d}{d x} (2 x)$

चरण 2.1.2.1.3

$u$ की सभी घटनाओं को $2 x$ से बदलें.

$f' (x) = 1 - \sin (2 x) \frac{d}{d x} (2 x)$

चरण 2.1.2.2

चूंकि $2$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $2 x$ का व्युत्पन्न $2 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$f' (x) = 1 - \sin (2 x) (2 \frac{d}{d x} (x))$

चरण 2.1.2.3

$f' (x) = 1 - \sin (2 x) (2 \cdot 1)$

चरण 2.1.2.4

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$f' (x) = 1 - \sin (2 x) \cdot 2$

चरण 2.1.2.5

$2$ को $- 1$ से गुणा करें.

$f' (x) = 1 - 2 \sin (2 x)$

चरण 2.2

दूसरा व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $1 - 2 \sin (2 x)$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (2 x)]$ है.

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (1) + \frac{d}{d x} (- 2 \sin (2 x))$

चरण 2.2.1.2

चूंकि $x$ के संबंध में $1$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$f'' (x) = 0 + \frac{d}{d x} (- 2 \sin (2 x))$

चरण 2.2.2

$\frac{d}{d x} [- 2 \sin (2 x)]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.2.1

चूंकि $- 2$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 2 \sin (2 x)$ का व्युत्पन्न $- 2 \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$ है.

$f'' (x) = 0 - 2 \frac{d}{d x} \sin (2 x)$

चरण 2.2.2.2

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = \sin (x)$ और $g (x) = 2 x$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.2.2.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $2 x$ के रूप में सेट करें.

$f'' (x) = 0 - 2 (\frac{d}{d u} (\sin (u)) \frac{d}{d x} (2 x))$

चरण 2.2.2.2.2

$u$ के संबंध में $\sin (u)$ का व्युत्पन्न $\cos (u)$ है.

$f'' (x) = 0 - 2 (\cos (u) \frac{d}{d x} (2 x))$

चरण 2.2.2.2.3

$u$ की सभी घटनाओं को $2 x$ से बदलें.

$f'' (x) = 0 - 2 (\cos (2 x) \frac{d}{d x} (2 x))$

चरण 2.2.2.3

चूंकि $2$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $2 x$ का व्युत्पन्न $2 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$f'' (x) = 0 - 2 (\cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} (x)))$

चरण 2.2.2.4

$f'' (x) = 0 - 2 (\cos (2 x) (2 \cdot 1))$

चरण 2.2.2.5

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$f'' (x) = 0 - 2 (\cos (2 x) \cdot 2)$

चरण 2.2.2.6

$2$ को $\cos (2 x)$ के बाईं ओर ले जाएं.

$f'' (x) = 0 - 2 (2 \cdot \cos (2 x))$

चरण 2.2.2.7

$2$ को $- 2$ से गुणा करें.

$f'' (x) = 0 - 4 \cos (2 x)$

चरण 2.2.3

$0$ में से $4 \cos (2 x)$ घटाएं.

$f'' (x) = - 4 \cos (2 x)$

चरण 2.3

$f (x)$ का दूसरा व्युत्पन्न बटे $x$ , $- 4 \cos (2 x)$ है.

$- 4 \cos (2 x)$

चरण 3

दूसरे व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें, फिर समीकरण $- 4 \cos (2 x) = 0$ को हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

दूसरे व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें.

$- 4 \cos (2 x) = 0$

चरण 3.2

$- 4 \cos (2 x) = 0$ के प्रत्येक पद को $- 4$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.1

$- 4 \cos (2 x) = 0$ के प्रत्येक पद को $- 4$ से विभाजित करें.

$\frac{- 4 \cos (2 x)}{- 4} = \frac{0}{- 4}$

चरण 3.2.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.2.1

$- 4$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{- 4 \cos (2 x)}{- 4} = \frac{0}{- 4}$

चरण 3.2.2.1.2

$\cos (2 x)$ को $1$ से विभाजित करें.

$\cos (2 x) = \frac{0}{- 4}$

चरण 3.2.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.3.1

$0$ को $- 4$ से विभाजित करें.

$\cos (2 x) = 0$

चरण 3.3

कोज्या के अंदर से $x$ निकालने के लिए समीकरण के दोनों पक्षों की व्युत्क्रम कोज्या लें.

$2 x = \arccos (0)$

चरण 3.4

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.1

$\arccos (0)$ का सटीक मान $\frac{π}{2}$ है.

$2 x = \frac{π}{2}$

चरण 3.5

$2 x = \frac{π}{2}$ के प्रत्येक पद को $2$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.5.1

$2 x = \frac{π}{2}$ के प्रत्येक पद को $2$ से विभाजित करें.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{2}}{2}$

चरण 3.5.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.5.2.1

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.5.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{2}}{2}$

चरण 3.5.2.1.2

$x$ को $1$ से विभाजित करें.

$x = \frac{\frac{π}{2}}{2}$

चरण 3.5.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.5.3.1

भाजक के प्रतिलोम से न्यूमेरेटर को गुणा करें.

$x = \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2}$

चरण 3.5.3.2

$\frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2}$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.5.3.2.1

$\frac{π}{2}$ को $\frac{1}{2}$ से गुणा करें.

$x = \frac{π}{2 \cdot 2}$

चरण 3.5.3.2.2

$2$ को $2$ से गुणा करें.

$x = \frac{π}{4}$

चरण 3.6

पहले और चौथे चतुर्थांश में कोज्या फलन धनात्मक होता है. दूसरा हल पता करने के लिए, चौथे चतुर्थांश में हल पता करने के लिए संदर्भ कोण को $2 π$ से घटाएं.

$2 x = 2 π - \frac{π}{2}$

चरण 3.7

$x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.7.1

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.7.1.1

$2 π$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{2}{2}$ से गुणा करें.

$2 x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

चरण 3.7.1.2

$2 π$ और $\frac{2}{2}$ को मिलाएं.

$2 x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

चरण 3.7.1.3

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$2 x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

चरण 3.7.1.4

$2$ को $2$ से गुणा करें.

$2 x = \frac{4 π - π}{2}$

चरण 3.7.1.5

$4 π$ में से $π$ घटाएं.

$2 x = \frac{3 π}{2}$

चरण 3.7.2

$2 x = \frac{3 π}{2}$ के प्रत्येक पद को $2$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.7.2.1

$2 x = \frac{3 π}{2}$ के प्रत्येक पद को $2$ से विभाजित करें.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{3 π}{2}}{2}$

चरण 3.7.2.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.7.2.2.1

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.7.2.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{3 π}{2}}{2}$

चरण 3.7.2.2.1.2

$x$ को $1$ से विभाजित करें.

$x = \frac{\frac{3 π}{2}}{2}$

चरण 3.7.2.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.7.2.3.1

भाजक के प्रतिलोम से न्यूमेरेटर को गुणा करें.

$x = \frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{2}$

चरण 3.7.2.3.2

$\frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{2}$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.7.2.3.2.1

$\frac{3 π}{2}$ को $\frac{1}{2}$ से गुणा करें.

$x = \frac{3 π}{2 \cdot 2}$

चरण 3.7.2.3.2.2

$2$ को $2$ से गुणा करें.

$x = \frac{3 π}{4}$

चरण 3.8

$\cos (2 x)$ का आवर्त ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.8.1

फलन की अवधि की गणना $\frac{2 π}{| b |}$ का उपयोग करके की जा सकती है.

$\frac{2 π}{| b |}$

चरण 3.8.2

आवर्त काल के लिए सूत्र में $b$ को $2$ से बदलें.

$\frac{2 π}{| 2 |}$

चरण 3.8.3

निरपेक्ष मान किसी संख्या और शून्य के बीच की दूरी है. $0$ और $2$ के बीच की दूरी $2$ है.

$\frac{2 π}{2}$

चरण 3.8.4

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.8.4.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{2 π}{2}$

चरण 3.8.4.2

$π$ को $1$ से विभाजित करें.

$π$

चरण 3.9

$\cos (2 x)$ फलन की अवधि $π$ है, इसलिए मान प्रत्येक $π$ रेडियन को दोनों दिशाओं में दोहराएंगे.

$x = \frac{π}{4} + π n, \frac{3 π}{4} + π n$ , किसी भी पूर्णांक $n$ के लिए

चरण 3.10

उत्तरों को समेकित करें.

$x = \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}$ , किसी भी पूर्णांक $n$ के लिए

चरण 4

उन बिंदुओं को पता करें जहां दूसरा व्युत्पन्न $0$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

$y$ का मान ज्ञात करने के लिए $\frac{π}{4}$ को $f (x) = x + \cos (2 x)$ में प्रतिस्थापित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.1

व्यंजक में चर $x$ को $\frac{π}{4}$ से बदलें.

$f (\frac{π}{4}) = (\frac{π}{4}) + \cos (2 (\frac{π}{4}))$

चरण 4.1.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.2.1.1

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.2.1.1.1

$4$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$f (\frac{π}{4}) = \frac{π}{4} + \cos (2 (\frac{π}{2 (2)}))$

चरण 4.1.2.1.1.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$f (\frac{π}{4}) = \frac{π}{4} + \cos (2 (\frac{π}{2 \cdot 2}))$

चरण 4.1.2.1.1.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$f (\frac{π}{4}) = \frac{π}{4} + \cos (\frac{π}{2})$

चरण 4.1.2.1.2

$\cos (\frac{π}{2})$ का सटीक मान $0$ है.

$f (\frac{π}{4}) = \frac{π}{4} + 0$

चरण 4.1.2.2

$\frac{π}{4}$ और $0$ जोड़ें.

$f (\frac{π}{4}) = \frac{π}{4}$

चरण 4.1.2.3

अंतिम उत्तर $\frac{π}{4}$ है.

$\frac{π}{4}$

चरण 4.2

$\frac{π}{4}$ को $f (x) = x + \cos (2 x)$ में प्रतिस्थापित करने पर पता किया जाने वाला बिंदु $(\frac{π}{4}, \frac{π}{4})$ है. यह बिंदु एक विभक्ति बिंदु हो सकता है.

$(\frac{π}{4}, \frac{π}{4})$

चरण 5

$(- \infty, \infty)$ को उन बिंदुओं के आसपास के अंतराल में विभाजित करें जो संभावित रूप से विभक्ति बिंदु हो सकते हैं.

$(- \infty, \frac{π}{4}) \cup (\frac{π}{4}, \infty)$

चरण 6

यह निर्धारित करने के लिए कि यह बढ़ता या घटता है, अंतराल $(- \infty, \frac{π}{4})$ से एक मान को दूसरे व्युत्पन्न में प्रतिस्थापित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

व्यंजक में चर $x$ को $0.68539816$ से बदलें.

$f'' (0.68539816) = - 4 \cos (2 (0.68539816))$

चरण 6.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.1

$2$ को $0.68539816$ से गुणा करें.

$f'' (0.68539816) = - 4 \cos (1.37079632)$

चरण 6.2.2

अंतिम उत्तर $- 4 \cos (1.37079632)$ है.

$- 4 \cos (1.37079632)$

चरण 6.3

$0.68539816$ पर, दूसरा व्युत्पन्न $- 0.79467732$ है. चूँकि यह ऋणात्मक है, इसलिए अंतराल $(- \infty, \frac{π}{4})$ पर दूसरा व्युत्पन्न घट रहा है

$f'' (x) < 0$ से $(- \infty, \frac{π}{4})$ पर घटता हुआ

चरण 7

यह निर्धारित करने के लिए कि यह बढ़ता या घटता है, अंतराल $(\frac{π}{4}, \infty)$ से एक मान को दूसरे व्युत्पन्न में प्रतिस्थापित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1

व्यंजक में चर $x$ को $0.88539816$ से बदलें.

$f'' (0.88539816) = - 4 \cos (2 (0.88539816))$

चरण 7.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.1

$2$ को $0.88539816$ से गुणा करें.

$f'' (0.88539816) = - 4 \cos (1.77079632)$

चरण 7.2.2

अंतिम उत्तर $- 4 \cos (1.77079632)$ है.

$- 4 \cos (1.77079632)$

चरण 7.3

$0.88539816$ पर, दूसरा व्युत्पन्न $0.79467732$ है. चूंकि यह धनात्मक है, इसलिए दूसरा अवकलज अंतराल $(\frac{π}{4}, \infty)$ पर बढ़ रहा है.

$f'' (x) > 0$ के बाद से $(\frac{π}{4}, \infty)$ पर बढ़ रहा है

चरण 8

एक विभक्ति बिंदु एक वक्र पर एक बिंदु है, जिस पर अवतलता संकेत को जोड़ से घटाव या घटाव से जोड़ में बदल देती है. इस मामले में विभक्ति बिंदु $(\frac{π}{4}, \frac{π}{4})$ है.

$(\frac{π}{4}, \frac{π}{4})$

चरण 9