कैलकुलस उदाहरण

$y = x^{5} + x^{3} - 2$

चरण 1

$y = x^{5} + x^{3} - 2$ को एक फलन के रूप में लिखें.

$f (x) = x^{5} + x^{3} - 2$

चरण 2

दूसरा व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x^{5} + x^{3} - 2$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2]$ है.

$\frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

चरण 2.1.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 5$ है.

$5 x^{4} + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

चरण 2.1.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 3$ है.

$5 x^{4} + 3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 2]$

चरण 2.1.4

चूंकि $x$ के संबंध में $- 2$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 2$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$5 x^{4} + 3 x^{2} + 0$

चरण 2.1.5

$5 x^{4} + 3 x^{2}$ और $0$ जोड़ें.

$f' (x) = 5 x^{4} + 3 x^{2}$

चरण 2.2

दूसरा व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $5 x^{4} + 3 x^{2}$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ है.

$\frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}]$

चरण 2.2.2

$\frac{d}{d x} [5 x^{4}]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.2.1

चूंकि $5$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $5 x^{4}$ का व्युत्पन्न $5 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ है.

$5 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}]$

चरण 2.2.2.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 4$ है.

$5 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [3 x^{2}]$

चरण 2.2.2.3

$4$ को $5$ से गुणा करें.

$20 x^{3} + \frac{d}{d x} [3 x^{2}]$

चरण 2.2.3

$\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.3.1

चूंकि $3$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $3 x^{2}$ का व्युत्पन्न $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ है.

$20 x^{3} + 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

चरण 2.2.3.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$20 x^{3} + 3 (2 x)$

चरण 2.2.3.3

$2$ को $3$ से गुणा करें.

$f'' (x) = 20 x^{3} + 6 x$

चरण 2.3

$f (x)$ का दूसरा व्युत्पन्न बटे $x$ , $20 x^{3} + 6 x$ है.

$20 x^{3} + 6 x$

चरण 3

दूसरे व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें, फिर समीकरण $20 x^{3} + 6 x = 0$ को हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

दूसरे व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें.

$20 x^{3} + 6 x = 0$

चरण 3.2

$20 x^{3} + 6 x$ में से $2 x$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.1

$20 x^{3}$ में से $2 x$ का गुणनखंड करें.

$2 x (10 x^{2}) + 6 x = 0$

चरण 3.2.2

$6 x$ में से $2 x$ का गुणनखंड करें.

$2 x (10 x^{2}) + 2 x (3) = 0$

चरण 3.2.3

$2 x (10 x^{2}) + 2 x (3)$ में से $2 x$ का गुणनखंड करें.

$2 x (10 x^{2} + 3) = 0$

चरण 3.3

यदि समीकरण के बांये पक्ष में कोई अकेला गुणनखंड $0$ के बराबर हो, तो सम्पूर्ण व्यंजक $0$ के बराबर होगा.

$x = 0$

$10 x^{2} + 3 = 0$

चरण 3.4

$x$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$x = 0$

चरण 3.5

$10 x^{2} + 3$ को $0$ के बराबर सेट करें और $x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.5.1

$10 x^{2} + 3$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$10 x^{2} + 3 = 0$

चरण 3.5.2

$x$ के लिए $10 x^{2} + 3 = 0$ हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.5.2.1

समीकरण के दोनों पक्षों से $3$ घटाएं.

$10 x^{2} = - 3$

चरण 3.5.2.2

$10 x^{2} = - 3$ के प्रत्येक पद को $10$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.5.2.2.1

$10 x^{2} = - 3$ के प्रत्येक पद को $10$ से विभाजित करें.

$\frac{10 x^{2}}{10} = \frac{- 3}{10}$

चरण 3.5.2.2.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.5.2.2.2.1

$10$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.5.2.2.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{10 x^{2}}{10} = \frac{- 3}{10}$

चरण 3.5.2.2.2.1.2

$x^{2}$ को $1$ से विभाजित करें.

$x^{2} = \frac{- 3}{10}$

चरण 3.5.2.2.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.5.2.2.3.1

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$x^{2} = - \frac{3}{10}$

चरण 3.5.2.3

बाईं ओर के घातांक को समाप्त करने के लिए समीकरण के दोनों पक्षों का निर्दिष्ट मूल लें I

$x = \pm \sqrt{- \frac{3}{10}}$

चरण 3.5.2.4

$\pm \sqrt{- \frac{3}{10}}$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.5.2.4.1

$- 1$ को $i^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$x = \pm \sqrt{i^{2} \frac{3}{10}}$

चरण 3.5.2.4.2

करणी से पदों को बाहर निकालें.

$x = \pm i \sqrt{\frac{3}{10}}$

चरण 3.5.2.4.3

$\sqrt{\frac{3}{10}}$ को $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{10}}$ के रूप में फिर से लिखें.

$x = \pm i \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{10}}$

चरण 3.5.2.4.4

$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{10}}$ को $\frac{\sqrt{10}}{\sqrt{10}}$ से गुणा करें.

$x = \pm i (\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{10}} \cdot \frac{\sqrt{10}}{\sqrt{10}})$

चरण 3.5.2.4.5

भाजक को मिलाएं और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.5.2.4.5.1

$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{10}}$ को $\frac{\sqrt{10}}{\sqrt{10}}$ से गुणा करें.

$x = \pm i \frac{\sqrt{3} \sqrt{10}}{\sqrt{10} \sqrt{10}}$

चरण 3.5.2.4.5.2

$\sqrt{10}$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$x = \pm i \frac{\sqrt{3} \sqrt{10}}{{\sqrt{10}}^{1} \sqrt{10}}$

चरण 3.5.2.4.5.3

$\sqrt{10}$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$x = \pm i \frac{\sqrt{3} \sqrt{10}}{{\sqrt{10}}^{1} {\sqrt{10}}^{1}}$

चरण 3.5.2.4.5.4

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$x = \pm i \frac{\sqrt{3} \sqrt{10}}{{\sqrt{10}}^{1 + 1}}$

चरण 3.5.2.4.5.5

$1$ और $1$ जोड़ें.

$x = \pm i \frac{\sqrt{3} \sqrt{10}}{{\sqrt{10}}^{2}}$

चरण 3.5.2.4.5.6

${\sqrt{10}}^{2}$ को $10$ के रूप में फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.5.2.4.5.6.1

$\sqrt{10}$ को $10^{\frac{1}{2}}$ के रूप में फिर से लिखने के लिए $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ का उपयोग करें.

$x = \pm i \frac{\sqrt{3} \sqrt{10}}{{(10^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

चरण 3.5.2.4.5.6.2

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{3} \sqrt{10}}{10^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

चरण 3.5.2.4.5.6.3

$\frac{1}{2}$ और $2$ को मिलाएं.

$x = \pm i \frac{\sqrt{3} \sqrt{10}}{10^{\frac{2}{2}}}$

चरण 3.5.2.4.5.6.4

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.5.2.4.5.6.4.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$x = \pm i \frac{\sqrt{3} \sqrt{10}}{10^{\frac{2}{2}}}$

चरण 3.5.2.4.5.6.4.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$x = \pm i \frac{\sqrt{3} \sqrt{10}}{10^{1}}$

चरण 3.5.2.4.5.6.5

घातांक का मान ज्ञात करें.

$x = \pm i \frac{\sqrt{3} \sqrt{10}}{10}$

चरण 3.5.2.4.6

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.5.2.4.6.1

रेडिकल के लिए उत्पाद नियम का उपयोग करके जोड़ें.

$x = \pm i \frac{\sqrt{3 \cdot 10}}{10}$

चरण 3.5.2.4.6.2

$3$ को $10$ से गुणा करें.

$x = \pm i \frac{\sqrt{30}}{10}$

चरण 3.5.2.4.7

$i$ और $\frac{\sqrt{30}}{10}$ को मिलाएं.

$x = \pm \frac{i \sqrt{30}}{10}$

चरण 3.5.2.5

पूर्ण हल के धनात्मक और ऋणात्मक दोनों भागों का परिणाम है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.5.2.5.1

सबसे पहले, पहला समाधान पता करने के लिए $\pm$ के धनात्मक मान का उपयोग करें.

$x = \frac{i \sqrt{30}}{10}$

चरण 3.5.2.5.2

इसके बाद, दूसरा हल ज्ञात करने के लिए $\pm$ के ऋणात्मक मान का उपयोग करें.

$x = - \frac{i \sqrt{30}}{10}$

चरण 3.5.2.5.3

पूर्ण हल के धनात्मक और ऋणात्मक दोनों भागों का परिणाम है.

$x = \frac{i \sqrt{30}}{10}, - \frac{i \sqrt{30}}{10}$

चरण 3.6

अंतिम हल वो सभी मान हैं जो $2 x (10 x^{2} + 3) = 0$ को सिद्ध करते हैं.

$x = 0, \frac{i \sqrt{30}}{10}, - \frac{i \sqrt{30}}{10}$

चरण 4

उन बिंदुओं को पता करें जहां दूसरा व्युत्पन्न $0$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

$y$ का मान ज्ञात करने के लिए $0$ को $f (x) = x^{5} + x^{3} - 2$ में प्रतिस्थापित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.1

व्यंजक में चर $x$ को $0$ से बदलें.

$f (0) = {(0)}^{5} + {(0)}^{3} - 2$

चरण 4.1.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.2.1.1

$0$ को किसी भी धनात्मक घात तक बढ़ाने से $0$ प्राप्त होता है.

$f (0) = 0 + {(0)}^{3} - 2$

चरण 4.1.2.1.2

$0$ को किसी भी धनात्मक घात तक बढ़ाने से $0$ प्राप्त होता है.

$f (0) = 0 + 0 - 2$

चरण 4.1.2.2

जोड़कर और घटाकर सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.2.2.1

$0$ और $0$ जोड़ें.

$f (0) = 0 - 2$

चरण 4.1.2.2.2

$0$ में से $2$ घटाएं.

$f (0) = - 2$

चरण 4.1.2.3

अंतिम उत्तर $- 2$ है.

$- 2$

चरण 4.2

$0$ को $f (x) = x^{5} + x^{3} - 2$ में प्रतिस्थापित करने पर पता किया जाने वाला बिंदु $(0, - 2)$ है. यह बिंदु एक विभक्ति बिंदु हो सकता है.

$(0, - 2)$

चरण 5

$(- \infty, \infty)$ को उन बिंदुओं के आसपास के अंतराल में विभाजित करें जो संभावित रूप से विभक्ति बिंदु हो सकते हैं.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

चरण 6

यह निर्धारित करने के लिए कि यह बढ़ता या घटता है, अंतराल $(- \infty, 0)$ से एक मान को दूसरे व्युत्पन्न में प्रतिस्थापित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

व्यंजक में चर $x$ को $- 0.1$ से बदलें.

$f'' (- 0.1) = 20 {(- 0.1)}^{3} + 6 (- 0.1)$

चरण 6.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.1.1

$- 0.1$ को $3$ के घात तक बढ़ाएं.

$f'' (- 0.1) = 20 \cdot - 0.001 + 6 (- 0.1)$

चरण 6.2.1.2

$20$ को $- 0.001$ से गुणा करें.

$f'' (- 0.1) = - 0.02 + 6 (- 0.1)$

चरण 6.2.1.3

$6$ को $- 0.1$ से गुणा करें.

$f'' (- 0.1) = - 0.02 - 0.6$

चरण 6.2.2

$- 0.02$ में से $0.6$ घटाएं.

$f'' (- 0.1) = - 0.62$

चरण 6.2.3

अंतिम उत्तर $- 0.62$ है.

$- 0.62$

चरण 6.3

$- 0.1$ पर, दूसरा व्युत्पन्न $- 0.62$ है. चूँकि यह ऋणात्मक है, इसलिए अंतराल $(- \infty, 0)$ पर दूसरा व्युत्पन्न घट रहा है

$f'' (x) < 0$ से $(- \infty, 0)$ पर घटता हुआ

चरण 7

यह निर्धारित करने के लिए कि यह बढ़ता या घटता है, अंतराल $(0, \infty)$ से एक मान को दूसरे व्युत्पन्न में प्रतिस्थापित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1

व्यंजक में चर $x$ को $0.1$ से बदलें.

$f'' (0.1) = 20 {(0.1)}^{3} + 6 (0.1)$

चरण 7.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.1.1

$0.1$ को $3$ के घात तक बढ़ाएं.

$f'' (0.1) = 20 \cdot 0.001 + 6 (0.1)$

चरण 7.2.1.2

$20$ को $0.001$ से गुणा करें.

$f'' (0.1) = 0.02 + 6 (0.1)$

चरण 7.2.1.3

$6$ को $0.1$ से गुणा करें.

$f'' (0.1) = 0.02 + 0.6$

चरण 7.2.2

$0.02$ और $0.6$ जोड़ें.

$f'' (0.1) = 0.62$

चरण 7.2.3

अंतिम उत्तर $0.62$ है.

$0.62$

चरण 7.3

$0.1$ पर, दूसरा व्युत्पन्न $0.62$ है. चूंकि यह धनात्मक है, इसलिए दूसरा अवकलज अंतराल $(0, \infty)$ पर बढ़ रहा है.

$f'' (x) > 0$ के बाद से $(0, \infty)$ पर बढ़ रहा है

चरण 8

एक विभक्ति बिंदु एक वक्र पर एक बिंदु है, जिस पर अवतलता संकेत को जोड़ से घटाव या घटाव से जोड़ में बदल देती है. इस मामले में विभक्ति बिंदु $(0, - 2)$ है.

$(0, - 2)$

चरण 9