कैलकुलस उदाहरण

$y = 2 \sin (x) - \cos^{2} (x)$

चरण 1

$y = 2 \sin (x) - \cos^{2} (x)$ को एक फलन के रूप में लिखें.

$f (x) = 2 \sin (x) - \cos^{2} (x)$

चरण 2

दूसरा व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $2 \sin (x) - \cos^{2} (x)$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [2 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [- \cos^{2} (x)]$ है.

$\frac{d}{d x} [2 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [- \cos^{2} (x)]$

चरण 2.1.2

$\frac{d}{d x} [2 \sin (x)]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.2.1

चूंकि $2$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $2 \sin (x)$ का व्युत्पन्न $2 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ है.

$2 \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [- \cos^{2} (x)]$

चरण 2.1.2.2

$x$ के संबंध में $\sin (x)$ का व्युत्पन्न $\cos (x)$ है.

$2 \cos (x) + \frac{d}{d x} [- \cos^{2} (x)]$

चरण 2.1.3

$\frac{d}{d x} [- \cos^{2} (x)]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.3.1

चूंकि $- 1$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- \cos^{2} (x)$ का व्युत्पन्न $- \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$ है.

$2 \cos (x) - \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$

चरण 2.1.3.2

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = x^{2}$ और $g (x) = \cos (x)$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.3.2.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $\cos (x)$ के रूप में सेट करें.

$2 \cos (x) - (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

चरण 2.1.3.2.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ $n u^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$2 \cos (x) - (2 u \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

चरण 2.1.3.2.3

$u$ की सभी घटनाओं को $\cos (x)$ से बदलें.

$2 \cos (x) - (2 \cos (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

चरण 2.1.3.3

$x$ के संबंध में $\cos (x)$ का व्युत्पन्न $- \sin (x)$ है.

$2 \cos (x) - (2 \cos (x) (- \sin (x)))$

चरण 2.1.3.4

$- 1$ को $2$ से गुणा करें.

$2 \cos (x) - (- 2 \cos (x) \sin (x))$

चरण 2.1.3.5

$- 2$ को $- 1$ से गुणा करें.

$2 \cos (x) + 2 \cos (x) \sin (x)$

चरण 2.1.4

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.4.1

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$2 \cos (x) \sin (x) + 2 \cos (x)$

चरण 2.1.4.2

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.4.2.1

$2 \cos (x)$ और $\sin (x)$ को पुन: क्रमित करें.

$\sin (x) (2 \cos (x)) + 2 \cos (x)$

चरण 2.1.4.2.2

$\sin (x)$ और $2$ को पुन: क्रमित करें.

$2 \cdot \sin (x) \cos (x) + 2 \cos (x)$

चरण 2.1.4.2.3

ज्या दोहरा कोण सर्वसमिका लागू करें.

$f' (x) = \sin (2 x) + 2 \cos (x)$

चरण 2.2

दूसरा व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $\sin (2 x) + 2 \cos (x)$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [\sin (2 x)] + \frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$ है.

$\frac{d}{d x} [\sin (2 x)] + \frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$

चरण 2.2.2

$\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.2.1

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = \sin (x)$ और $g (x) = 2 x$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.2.1.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $2 x$ के रूप में सेट करें.

$\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$

चरण 2.2.2.1.2

$u$ के संबंध में $\sin (u)$ का व्युत्पन्न $\cos (u)$ है.

$\cos (u) \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$

चरण 2.2.2.1.3

$u$ की सभी घटनाओं को $2 x$ से बदलें.

$\cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$

चरण 2.2.2.2

चूंकि $2$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $2 x$ का व्युत्पन्न $2 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$\cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$

चरण 2.2.2.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$\cos (2 x) (2 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$

चरण 2.2.2.4

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$\cos (2 x) \cdot 2 + \frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$

चरण 2.2.2.5

$2$ को $\cos (2 x)$ के बाईं ओर ले जाएं.

$2 \cos (2 x) + \frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$

चरण 2.2.3

$\frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.3.1

चूंकि $2$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $2 \cos (x)$ का व्युत्पन्न $2 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ है.

$2 \cos (2 x) + 2 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

चरण 2.2.3.2

$x$ के संबंध में $\cos (x)$ का व्युत्पन्न $- \sin (x)$ है.

$2 \cos (2 x) + 2 (- \sin (x))$

चरण 2.2.3.3

$- 1$ को $2$ से गुणा करें.

$f'' (x) = 2 \cos (2 x) - 2 \sin (x)$

चरण 2.3

$f (x)$ का दूसरा व्युत्पन्न बटे $x$ , $2 \cos (2 x) - 2 \sin (x)$ है.

$2 \cos (2 x) - 2 \sin (x)$

चरण 3

दूसरे व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें, फिर समीकरण $2 \cos (2 x) - 2 \sin (x) = 0$ को हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

दूसरे व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें.

$2 \cos (2 x) - 2 \sin (x) = 0$

चरण 3.2

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.1

$\cos (2 x)$ को $1 - 2 \sin^{2} (x)$ में बदलने के लिए दोहरा कोण सर्वसमिका का प्रयोग करें.

$2 (1 - 2 \sin^{2} (x)) - 2 \sin (x) = 0$

चरण 3.2.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$2 \cdot 1 + 2 (- 2 \sin^{2} (x)) - 2 \sin (x) = 0$

चरण 3.2.3

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$2 + 2 (- 2 \sin^{2} (x)) - 2 \sin (x) = 0$

चरण 3.2.4

$- 2$ को $2$ से गुणा करें.

$2 - 4 \sin^{2} (x) - 2 \sin (x) = 0$

चरण 3.3

$2 - 4 \sin^{2} (x) - 2 \sin (x)$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.1

$2 - 4 \sin^{2} (x) - 2 \sin (x)$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.1.1

$2$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$2 (1) - 4 \sin^{2} (x) - 2 \sin (x) = 0$

चरण 3.3.1.2

$- 4 \sin^{2} (x)$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$2 (1) + 2 (- 2 \sin^{2} (x)) - 2 \sin (x) = 0$

चरण 3.3.1.3

$- 2 \sin (x)$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$2 (1) + 2 (- 2 \sin^{2} (x)) + 2 (- \sin (x)) = 0$

चरण 3.3.1.4

$2 (1) + 2 (- 2 \sin^{2} (x))$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$2 (1 - 2 \sin^{2} (x)) + 2 (- \sin (x)) = 0$

चरण 3.3.1.5

$2 (1 - 2 \sin^{2} (x)) + 2 (- \sin (x))$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$2 (1 - 2 \sin^{2} (x) - \sin (x)) = 0$

चरण 3.3.2

गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.2.1

वर्गीकरण द्वारा गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.2.1.1

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$2 (- 2 \sin^{2} (x) - \sin (x) + 1) = 0$

चरण 3.3.2.1.2

फॉर्म $a x^{2} + b x + c$ के बहुपद के लिए, मध्य पद को दो पदों के योग के रूप में फिर से लिखें, जिसका गुणनफल $a \cdot c = - 2 \cdot 1 = - 2$ है और जिसका योग $b = - 1$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.2.1.2.1

$- \sin (x)$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

$2 (- 2 \sin^{2} (x) - \sin (x) + 1) = 0$

चरण 3.3.2.1.2.2

$- 1$ को $1$ जोड़ $- 2$ के रूप में फिर से लिखें

$2 (- 2 \sin^{2} (x) + (1 - 2) \sin (x) + 1) = 0$

चरण 3.3.2.1.2.3

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$2 (- 2 \sin^{2} (x) + 1 \sin (x) - 2 \sin (x) + 1) = 0$

चरण 3.3.2.1.2.4

$\sin (x)$ को $1$ से गुणा करें.

$2 (- 2 \sin^{2} (x) + \sin (x) - 2 \sin (x) + 1) = 0$

चरण 3.3.2.1.3

प्रत्येक समूह के महत्तम समापवर्तक का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.2.1.3.1

पहले दो पदों और अंतिम दो पदों को समूहित करें.

$2 (- 2 \sin^{2} (x) + \sin (x) - 2 \sin (x) + 1) = 0$

चरण 3.3.2.1.3.2

प्रत्येक समूह के महत्तम समापवर्तक (GCF) का गुणनखंड करें.

$2 (\sin (x) (- 2 \sin (x) + 1) + 1 (- 2 \sin (x) + 1)) = 0$

चरण 3.3.2.1.4

महत्तम समापवर्तक, $- 2 \sin (x) + 1$ का गुणनखंड करके बहुपद का गुणनखंड करें.

$2 ((- 2 \sin (x) + 1) (\sin (x) + 1)) = 0$

चरण 3.3.2.2

अनावश्यक कोष्ठक हटा दें.

$2 (- 2 \sin (x) + 1) (\sin (x) + 1) = 0$

चरण 3.4

यदि समीकरण के बांये पक्ष में कोई अकेला गुणनखंड $0$ के बराबर हो, तो सम्पूर्ण व्यंजक $0$ के बराबर होगा.

$- 2 \sin (x) + 1 = 0$

$\sin (x) + 1 = 0$

चरण 3.5

$- 2 \sin (x) + 1$ को $0$ के बराबर सेट करें और $x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.5.1

$- 2 \sin (x) + 1$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$- 2 \sin (x) + 1 = 0$

चरण 3.5.2

$x$ के लिए $- 2 \sin (x) + 1 = 0$ हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.5.2.1

समीकरण के दोनों पक्षों से $1$ घटाएं.

$- 2 \sin (x) = - 1$

चरण 3.5.2.2

$- 2 \sin (x) = - 1$ के प्रत्येक पद को $- 2$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.5.2.2.1

$- 2 \sin (x) = - 1$ के प्रत्येक पद को $- 2$ से विभाजित करें.

$\frac{- 2 \sin (x)}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}$

चरण 3.5.2.2.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.5.2.2.2.1

$- 2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.5.2.2.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{- 2 \sin (x)}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}$

चरण 3.5.2.2.2.1.2

$\sin (x)$ को $1$ से विभाजित करें.

$\sin (x) = \frac{- 1}{- 2}$

चरण 3.5.2.2.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.5.2.2.3.1

दो नकारात्मक मानों को विभाजित करने से एक सकारात्मक परिणाम प्राप्त होता है.

$\sin (x) = \frac{1}{2}$

चरण 3.5.2.3

ज्या के अंदर से $x$ निकालने के लिए समीकरण के दोनों पक्षों की व्युत्क्रम ज्या लें.

$x = \arcsin (\frac{1}{2})$

चरण 3.5.2.4

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.5.2.4.1

$\arcsin (\frac{1}{2})$ का सटीक मान $\frac{π}{6}$ है.

$x = \frac{π}{6}$

चरण 3.5.2.5

पहले और दूसरे चतुर्थांश में ज्या फलन धनात्मक होता है. दूसरा हल पता करने के लिए, दूसरे चतुर्थांश में हल पता करने के लिए संदर्भ कोण को $π$ से घटाएं.

$x = π - \frac{π}{6}$

चरण 3.5.2.6

$π - \frac{π}{6}$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.5.2.6.1

$π$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{6}{6}$ से गुणा करें.

$x = π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

चरण 3.5.2.6.2

न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.5.2.6.2.1

$π$ और $\frac{6}{6}$ को मिलाएं.

$x = \frac{π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

चरण 3.5.2.6.2.2

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$x = \frac{π \cdot 6 - π}{6}$

चरण 3.5.2.6.3

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.5.2.6.3.1

$6$ को $π$ के बाईं ओर ले जाएं.

$x = \frac{6 \cdot π - π}{6}$

चरण 3.5.2.6.3.2

$6 π$ में से $π$ घटाएं.

$x = \frac{5 π}{6}$

चरण 3.5.2.7

$\sin (x)$ का आवर्त ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.5.2.7.1

फलन की अवधि की गणना $\frac{2 π}{| b |}$ का उपयोग करके की जा सकती है.

$\frac{2 π}{| b |}$

चरण 3.5.2.7.2

आवर्त काल के लिए सूत्र में $b$ को $1$ से बदलें.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

चरण 3.5.2.7.3

निरपेक्ष मान किसी संख्या और शून्य के बीच की दूरी है. $0$ और $1$ के बीच की दूरी $1$ है.

$\frac{2 π}{1}$

चरण 3.5.2.7.4

$2 π$ को $1$ से विभाजित करें.

$2 π$

चरण 3.5.2.8

$\sin (x)$ फलन की अवधि $2 π$ है, इसलिए मान प्रत्येक $2 π$ रेडियन को दोनों दिशाओं में दोहराएंगे.

$x = \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n$ , किसी भी पूर्णांक $n$ के लिए

चरण 3.6

$\sin (x) + 1$ को $0$ के बराबर सेट करें और $x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.6.1

$\sin (x) + 1$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$\sin (x) + 1 = 0$

चरण 3.6.2

$x$ के लिए $\sin (x) + 1 = 0$ हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.6.2.1

समीकरण के दोनों पक्षों से $1$ घटाएं.

$\sin (x) = - 1$

चरण 3.6.2.2

$x = \arcsin (- 1)$

चरण 3.6.2.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.6.2.3.1

$\arcsin (- 1)$ का सटीक मान $- \frac{π}{2}$ है.

$x = - \frac{π}{2}$

चरण 3.6.2.4

तीसरे और चौथे चतुर्थांश में ज्या फलन ऋणात्मक होता है. दूसरा हल पता करने के लिए, संदर्भ कोण पता करने के लिए हल को $2 π$ से घटाएं. इसके बाद, तीसरे चतुर्थांश में हल पता करने के लिए इस संदर्भ कोण को $π$ में जोड़ें.

$x = 2 π + \frac{π}{2} + π$

चरण 3.6.2.5

दूसरा हल निकालने के लिए व्यंजक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.6.2.5.1

$2 π + \frac{π}{2} + π$ में से $2 π$ घटाएं.

$x = 2 π + \frac{π}{2} + π - 2 π$

चरण 3.6.2.5.2

$\frac{3 π}{2}$ का परिणामी कोण धनात्मक है, $2 π$ से कम है और $2 π + \frac{π}{2} + π$ के साथ कोटरमिनल है.

$x = \frac{3 π}{2}$

चरण 3.6.2.6

$\sin (x)$ का आवर्त ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.6.2.6.1

फलन की अवधि की गणना $\frac{2 π}{| b |}$ का उपयोग करके की जा सकती है.

$\frac{2 π}{| b |}$

चरण 3.6.2.6.2

आवर्त काल के लिए सूत्र में $b$ को $1$ से बदलें.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

चरण 3.6.2.6.3

निरपेक्ष मान किसी संख्या और शून्य के बीच की दूरी है. $0$ और $1$ के बीच की दूरी $1$ है.

$\frac{2 π}{1}$

चरण 3.6.2.6.4

$2 π$ को $1$ से विभाजित करें.

$2 π$

चरण 3.6.2.7

धनात्मक कोण प्राप्त करने के लिए प्रत्येक ऋणात्मक कोण में $2 π$ जोड़ें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.6.2.7.1

धनात्मक कोण ज्ञात करने के लिए $2 π$ को $- \frac{π}{2}$ में जोड़ें.

$- \frac{π}{2} + 2 π$

चरण 3.6.2.7.2

$2 π$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{2}{2}$ से गुणा करें.

$2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

चरण 3.6.2.7.3

न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.6.2.7.3.1

$2 π$ और $\frac{2}{2}$ को मिलाएं.

$\frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

चरण 3.6.2.7.3.2

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

चरण 3.6.2.7.4

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.6.2.7.4.1

$2$ को $2$ से गुणा करें.

$\frac{4 π - π}{2}$

चरण 3.6.2.7.4.2

$4 π$ में से $π$ घटाएं.

$\frac{3 π}{2}$

चरण 3.6.2.7.5

नए कोणों की सूची बनाएंं.

$x = \frac{3 π}{2}$

चरण 3.6.2.8

$x = \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , किसी भी पूर्णांक $n$ के लिए

चरण 3.7

अंतिम हल वो सभी मान हैं जो $2 (- 2 \sin (x) + 1) (\sin (x) + 1) = 0$ को सिद्ध करते हैं.

$x = \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , किसी भी पूर्णांक $n$ के लिए

चरण 3.8

उत्तरों को समेकित करें.

$x = \frac{π}{6} + \frac{2 π n}{3}$ , किसी भी पूर्णांक $n$ के लिए

चरण 4

उन बिंदुओं को पता करें जहां दूसरा व्युत्पन्न $0$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

$y$ का मान ज्ञात करने के लिए $\frac{π}{6}$ को $f (x) = 2 \sin (x) - \cos^{2} (x)$ में प्रतिस्थापित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.1

व्यंजक में चर $x$ को $\frac{π}{6}$ से बदलें.

$f (\frac{π}{6}) = 2 \sin (\frac{π}{6}) - \cos^{2} (\frac{π}{6})$

चरण 4.1.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.2.1.1

$\sin (\frac{π}{6})$ का सटीक मान $\frac{1}{2}$ है.

$f (\frac{π}{6}) = 2 (\frac{1}{2}) - \cos^{2} (\frac{π}{6})$

चरण 4.1.2.1.2

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.2.1.2.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$f (\frac{π}{6}) = 2 (\frac{1}{2}) - \cos^{2} (\frac{π}{6})$

चरण 4.1.2.1.2.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$f (\frac{π}{6}) = 1 - \cos^{2} (\frac{π}{6})$

चरण 4.1.2.1.3

$\cos (\frac{π}{6})$ का सटीक मान $\frac{\sqrt{3}}{2}$ है.

$f (\frac{π}{6}) = 1 - {(\frac{\sqrt{3}}{2})}^{2}$

चरण 4.1.2.1.4

उत्पाद नियम को $\frac{\sqrt{3}}{2}$ पर लागू करें.

$f (\frac{π}{6}) = 1 - \frac{{\sqrt{3}}^{2}}{2^{2}}$

चरण 4.1.2.1.5

${\sqrt{3}}^{2}$ को $3$ के रूप में फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.2.1.5.1

$\sqrt{3}$ को $3^{\frac{1}{2}}$ के रूप में फिर से लिखने के लिए $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ का उपयोग करें.

$f (\frac{π}{6}) = 1 - \frac{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}}$

चरण 4.1.2.1.5.2

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{π}{6}) = 1 - \frac{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}}$

चरण 4.1.2.1.5.3

$\frac{1}{2}$ और $2$ को मिलाएं.

$f (\frac{π}{6}) = 1 - \frac{3^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}$

चरण 4.1.2.1.5.4

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.2.1.5.4.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$f (\frac{π}{6}) = 1 - \frac{3^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}$

चरण 4.1.2.1.5.4.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$f (\frac{π}{6}) = 1 - \frac{3}{2^{2}}$

चरण 4.1.2.1.5.5

घातांक का मान ज्ञात करें.

$f (\frac{π}{6}) = 1 - \frac{3}{2^{2}}$

चरण 4.1.2.1.6

$2$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$f (\frac{π}{6}) = 1 - \frac{3}{4}$

चरण 4.1.2.2

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.2.2.1

एक सामान्य भाजक के साथ $1$ को भिन्न के रूप में लिखें.

$f (\frac{π}{6}) = \frac{4}{4} - \frac{3}{4}$

चरण 4.1.2.2.2

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$f (\frac{π}{6}) = \frac{4 - 3}{4}$

चरण 4.1.2.2.3

$4$ में से $3$ घटाएं.

$f (\frac{π}{6}) = \frac{1}{4}$

चरण 4.1.2.3

अंतिम उत्तर $\frac{1}{4}$ है.

$\frac{1}{4}$

चरण 4.2

$\frac{π}{6}$ को $f (x) = 2 \sin (x) - \cos^{2} (x)$ में प्रतिस्थापित करने पर पता किया जाने वाला बिंदु $(\frac{π}{6}, \frac{1}{4})$ है. यह बिंदु एक विभक्ति बिंदु हो सकता है.

$(\frac{π}{6}, \frac{1}{4})$

चरण 5

$(- \infty, \infty)$ को उन बिंदुओं के आसपास के अंतराल में विभाजित करें जो संभावित रूप से विभक्ति बिंदु हो सकते हैं.

$(- \infty, \frac{π}{6}) \cup (\frac{π}{6}, \infty)$

चरण 6

यह निर्धारित करने के लिए कि यह बढ़ता या घटता है, अंतराल $(- \infty, \frac{π}{6})$ से एक मान को दूसरे व्युत्पन्न में प्रतिस्थापित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

व्यंजक में चर $x$ को $0.42359877$ से बदलें.

$f'' (0.42359877) = 2 \cos (2 (0.42359877)) - 2 \sin (0.42359877)$

चरण 6.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.1

$2$ को $0.42359877$ से गुणा करें.

$f'' (0.42359877) = 2 \cos (0.84719755) - 2 \sin (0.42359877)$

चरण 6.2.2

अंतिम उत्तर $2 \cos (0.84719755) - 2 \sin (0.42359877)$ है.

$2 \cos (0.84719755) - 2 \sin (0.42359877)$

चरण 6.3

$0.42359877$ पर, दूसरा व्युत्पन्न $0.50208433$ है. चूंकि यह धनात्मक है, इसलिए दूसरा अवकलज अंतराल $(- \infty, \frac{π}{6})$ पर बढ़ रहा है.

$f'' (x) > 0$ के बाद से $(- \infty, \frac{π}{6})$ पर बढ़ रहा है

चरण 7

यह निर्धारित करने के लिए कि यह बढ़ता या घटता है, अंतराल $(\frac{π}{6}, \infty)$ से एक मान को दूसरे व्युत्पन्न में प्रतिस्थापित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1

व्यंजक में चर $x$ को $0.62359877$ से बदलें.

$f'' (0.62359877) = 2 \cos (2 (0.62359877)) - 2 \sin (0.62359877)$

चरण 7.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.1

$2$ को $0.62359877$ से गुणा करें.

$f'' (0.62359877) = 2 \cos (1.24719755) - 2 \sin (0.62359877)$

चरण 7.2.2

अंतिम उत्तर $2 \cos (1.24719755) - 2 \sin (0.62359877)$ है.

$2 \cos (1.24719755) - 2 \sin (0.62359877)$

चरण 7.3

$0.62359877$ पर, दूसरा व्युत्पन्न $- 0.53195951$ है. चूँकि यह ऋणात्मक है, इसलिए अंतराल $(\frac{π}{6}, \infty)$ पर दूसरा व्युत्पन्न घट रहा है

$f'' (x) < 0$ से $(\frac{π}{6}, \infty)$ पर घटता हुआ

चरण 8

एक विभक्ति बिंदु एक वक्र पर एक बिंदु है, जिस पर अवतलता संकेत को जोड़ से घटाव या घटाव से जोड़ में बदल देती है. इस मामले में विभक्ति बिंदु $(\frac{π}{6}, \frac{1}{4})$ है.

$(\frac{π}{6}, \frac{1}{4})$

चरण 9